（3）2024周洋鑫终极预测卷解析（数二卷1）.pdf

2024 周洋鑫考研数学终极预测卷解析（数学二卷 1）新浪微博考研数学周洋鑫 2024 周洋鑫考研数学终极预测卷答案解析 数学数学二二（卷卷 1 1）答案解析答案解析 一、一、选择题选择题【1】【答案】（D）【解析】（1）垂直渐近线.函数的无定义点为=x0，又+=+xeexxxxlim22lim0011，所以=x0为曲线的一条垂直渐近线.（2）水平渐近线 因为+=+=xexxxxlim2lim21，所以曲线无水平渐近线.（3）斜渐近线.因为=+xaexexxxxlimlim12111)(，=+=+bxexxeexxxxxxlim2lim21111)(=+x eexxxxlim1lim 211=+=+=+xxxlim21 231，所以=+yx3为曲线在+x方向的一条斜渐近线.又同理可得=+xaxexxlim1221)(，=+=bxexxxlim2321)(，2024 周洋鑫考研数学终极预测卷解析（数学二卷 1）新浪微博考研数学周洋鑫 所以=yx3为曲线在x方向的一条斜渐近线.故应选（D）.【2】【答案】（C）.【解析】由于max,02,2x xxxxxxx=xxx,0222 记=F xx xxx()max,d2，则+=+xxcxF xxcxxxcx32,2.112(),02132,01133222132 又F x()在=x0及=x2处连续，则=ccF(0)12，+=+=ccF32(2)223.令=cc2则=cc1，=+cc343，故(),02F xxcx+=+xxcxxxcx323,21142132,01132232 故应选（C）.【3】【答案】（A）【解析】如右图所示，在在区域D内有+xy04，即+xy401，进而+xyxyxy4442，根据二重积分的比较定理，可得III123，故应选（A）.【4】【答案】（D）2024 周洋鑫考研数学终极预测卷解析（数学二卷 1）新浪微博考研数学周洋鑫 【解析】令()2,22,2xxexxF xexx=+，则()1,21,2xxexFxex=+，令()0Fx=，解得0 x=，且2x=为()Fx不存在的点，故 x(),2 2()2,0 0()0,+y+不存在 0+y 递增 极大值 递减 极小值 递增 且()limxF x=，()22Fe=，()01F=，()limxF x+=+，可画草图，显然()F x有三个零点，即方程20 xex+=有三个根，应选（D）.【5】【答案】（C）.【解析】由题意可知，微分方程通解为()123cos2sin2xxC eeCxCx+，显然特征值为12,31,1 2i=，故可得特征方程()()()11 21 20ii+=，整理得32350+=，因此三阶常系数齐次线性微分方程为 350yyyy+=，应选（C）.【6】【答案】（D）【解析】因为()0fx，所以曲线()yf x=为凹曲线.如右图所示，其中直线 EF 为曲线()yf x=在0 x=处的切线，不难看出 ABDCABDCEFDCSSS梯形曲边梯形梯形,故()()()()11112d202fff xxf+，即()()()()1111d20fff xxf+，应选（D）.【小课堂小课堂】本题重点考察了 Hadamard 不等式，即 2024 周洋鑫考研数学终极预测卷解析（数学二卷 1）新浪微博考研数学周洋鑫 若()f x在,a b上二阶可导，且()0fx，则有()()()122baf af babff x dxba+.该问题在 2018 年及 2022 年真题中已有重点考察.【7】【答案】（A）【解析】显然0nx，0ny，根据基本不等式有 112nnnnnnxyxx yy+=，所以 1nnnnnnxx yx xx+=，122nnnnnnxyyyyy+=，即数列 nx单调递增，数列ny单调递减，故 121nnaxxxyyb=，可知数列 nx和ny均有界，根据单调有界准则，知limnnx与limnny都存在，选项（C）、（D）错误 设limnnxA=，limnnyB=，对12nnnxyy+=两边同取极限，得 1limlim2nnnnnxyy+=，即2ABB+=，解得AB=，故应选（A）【8】【答案】（B）【解析】显然()12,2r=，()12,2r=.因为既可由12,线性表示，也可由12,线性表示，所以()()()()12121212,rrrr=即()()1212,2,2.rr=于是有1223350,3404513xxyyzz=，即530 xyz+=，应选（B）.【9】【答案】（C）2024 周洋鑫考研数学终极预测卷解析（数学二卷 1）新浪微博考研数学周洋鑫 【解析】对于（A）,因为 AABAOOBOB行，BBABOAOOAOAOB行行，所以方程组=AABxOOB与=BBAxOOA同解，（A）正确.对于（B）,因为 ABAABAABOOBOAOA行行，ABBABBABOOAOBOB行行，所以方程组=ABAxOOB与=ABBxOOA同解，（B）正确.对于（D）,因为 AABAOOBOB行，BABBABBOAOOAOBOBOB行行行，所以方程组=ABAxOOB与=ABBxOOA同解，（D）正确.应选（C）.【小课堂】【小课堂】已知矩阵A与B均为n阶矩阵，有 若方程组=AxO与=BxO同解A经过初等行变换得到B A与B的行向量等价()()rrr=AABB.【10】【答案】（A）.【解析】令11232123333245yxxmxyxxnxyx=+=+=，显然1122333245001yxmynxyx=为可逆线性变换，可将二次型变换为2123fy yy=+.再令11221233yzzyzzyz=+=，112233110110001yzyzyz=依然为可逆线性变换，可将二次型变换为标准型222123fzzz=+，因此二次型正负惯性指数为2,1pq=，应选（A）.2024 周洋鑫考研数学终极预测卷解析（数学二卷 1）新浪微博考研数学周洋鑫 二、二、填空填空题题【11】【答案】3e【解析】()2112110lim1sinxxxxeex+()212110lim 1sinxxxeex+=+（非零因子先算出）220sinlim11xxexxe e+=（“1”型未定式极限）220sinlim11xxxe e+=（非零因子先算出）202lim1232xxxe ee ee=.【12】【答案】()2112ae【解析】本题重点考察“被积分函数为变限函数的定积分计算”，常规方法有两种：分部积分法与二次积分次序调换，该考点是考研中的热门考点之一.()()()000ddaaaf xxxf xx f x=()()()01 daa x a xxex+=220daaxexex=22012aaxee=()2112ae=.【13】【答案】(),1.【解析】由题意可得，()2222/331/331dy dtttyxdx dttt=+，2024 周洋鑫考研数学终极预测卷解析（数学二卷 1）新浪微博考研数学周洋鑫 ()()()()23222141433311dyxttyxdxdttttdt=+，当()0yx时，曲线()y x为凸曲线，解得0t.因为2330dxtdt=+，即()x t单调增加.又当0t=时，1x=，当t 时，x，因此曲线()y x为凸曲线时，(),1x.【14】【答案】2【解析】由公式法可知：1231232832zxxFFFFxyzFFFFzfxzxy+=+=+故12132(0,0,0)8(0,0,0)0(1,2)3(0,0,0)02(0,0,0)xFFfFF+=+2 1 8 223 12 3+=+.【15】【答案】2332+.【解析】令xut=，则()22220011121244xyxxudut dt=，其中2120t，即2 32 3t，所以33x.又221124234dyxxdx=，所以弧长为()332200231432sydxx dx=+=+.【16】【答案】94.【解析】由320EA+=，即302EA=，可知A的特征值132=.2024 周洋鑫考研数学终极预测卷解析（数学二卷 1）新浪微博考研数学周洋鑫 又由矩阵A的每行元素之和为3，可知A的特征值23=.因为()20 x=BE有非零解，所以20=BE，即102=EB，可知B的特征值312=，又因为矩阵,A B相似，所以A特征值为31,3,22，进而知A的特征值为33 924 2，因此()33992424tr A=+=.三、解答三、解答题题【17】【解析】方法一：补项法方法一：补项法+四则运算四则运算 因为()()()20ln 1sinlimln 1xxx f xx+()()()20ln 1sinsin1limxxxxxxf xx+=()()()222000sin1ln 1sinlimlimlimxxxxf xxxxxxxx +=+()322200011162limlimlimxxxxxf xxxx=+()011lim02xfxx=+=，所以()011lim2xf xx=，故()()()0lim101001xf xff=，进而()()()0010lim2xfxffx=.方法二：泰勒展开方法二：泰勒展开 因为()()()20ln 1sinlimln 1xxx f xx+2024 周洋鑫考研数学终极预测卷解析（数学二卷 1）新浪微博考研数学周洋鑫 ()()()()2222012limxxxo xxo xf xx+=()()()()22220112limxf xxxo xo xf xx+=()()()()222222000112limlimlimxxxxo xo xf xf xxxxx+=+()011lim02xfxx=，所以()011lim2xf xx=，故()()()0lim101001xf xff=，进而()()()0010lim2xfxffx=.方法三：关系定理反解方法三：关系定理反解()f x.由()()20ln 1sinlim0 xxx f xx+=，知当0 x 时，()()()2ln 1sinxx f xo x+=，进而()()()2ln 1sino xxf xx=，因为函数()f x在0 x=处连续，所以()()()()200ln 1limlim01sinxxo xxf xfx=，故()()()()()200ln 110sin0limlimxxo xxf xfxfxx=()()20ln 1sinlimsinxo xxxxx=()()()()22222012limxo xxxo xxo xx+=()2220112lim2xxo xx+=.2024 周洋鑫考研数学终极预测卷解析（数学二卷 1）新浪微博考研数学周洋鑫 【18】【解析】（）由于 ()()()()()0000ddddxu t xxxxtf txtux f uutf ttxf tt=+=+令，所以，原式可化为()()()000dddxxxxf tttf ttxf tt=+.上式两边求导得 ()()()()01dxf xxfxf ttxfx=+，即 ()()01dxf xf xt=+，且()01f=上式两边再求导得 ()()0fxfx+=，式两边求导得 ()()0fxfx=，将式中的x换为x得 ()()0fxf x+=，由与式得()()0fxf x+=，解得()12cossinf xCxCx=+.又()01f=，且由式得()()001ff=，解得11C=，21C=.因此()cossinf xxx=.（）由（）可知=e(cos()-sin)xF xxx，故(sincos)(cossin(ee)xxxxxxF x=2c seoxx=.()2sin ose2cexxFxxx=+2(sins)ecoxxx=+，令)0(Fx=，解得34x=，74x=，可画表得 2024 周洋鑫考研数学终极预测卷解析（数学二卷 1）新浪微博考研数学周洋鑫 x 30,4 34 37,44 74 7,24()Fx+0 0+()F x 凹 拐点 凸 拐点 凹 因此，函数的凹区间为30,4和7,24，凸区间为37,44，且拐点为343,24e，47724e,.【19】【分析】本题所证不等式可转化为()222312x yxyee+，即仅需求解函数()22(,)3ex yf x yxy=+在区域(),0,0Dx y xy=内最大值即可.【解析】解析：记二元函数()22(,)3ex yf x yxy=+.（1）区域内：()1,0,0Dx y xy=.令()()()()()()222222222 e3e23e06 e3e63e0 x yx yx yxx yx yx yyfxxyxxyfyxyyxy =+=+=，即22222363xxyyxy=+=+，解得3212xy=或00 xy=，故(,)f x y在区域1D仅有唯一的极值可疑点3 1,2 2.（2）边界上，两个边界分别为0(0)xy=与0(0)yx=.当0(0)xy=时，记2()3eyg yy=，且()2()3 2e3(2)eyyg yyyyy=.所以在边界0 x=上最值可疑点为(0,0)，(0,2).当0(0)yx=时，记2()exh xx=，且()2()2e(2)exxh xxxxx=，所以在边界0y=上最值可疑点为(0,0)，(2,0).2024 周洋鑫考研数学终极预测卷解析（数学二卷 1）新浪微博考研数学周洋鑫 综上所述，(,)f x y在(0,2)处取最大值，且最大值为2(0,2)12ef=，即()2223e12ex yxy+，得证.【小课堂】【小课堂】本题类似于 2022 年数学一卷种中的第 13 题，对于二元函数闭区域最值问题，多年未在大题中直接命题，需引起大家今年的重点关注.【20】【解析】联立221xy+=与222xyy+=，可得两曲线的交点为3 1,22.()()2sin216,d ddarctan tandDf x yx y r r=2sin222216611d2sind22r=2222666111cos2ddsin2242=2226611sin2sin2 d1822=+226110sincos2182 634=23318248=+.【21】【勘误】题目中条件改为“()f x在区间,a b上导函数连续”.【解析】（I）因为()fx在区间,a b上连续，且()0fx，所以()fx在区间,a b上必然恒正或恒负，不妨设()0fx.令()()d()()()()baF xf xxf b xaf a bx=，则()F x在区间,a b上连续，且()()()()()d()()baF af xxf a baf f aba=,()()()()()d()()baF bf xxf b baf f bba=,2024 周洋鑫考研数学终极预测卷解析（数学二卷 1）新浪微博考研数学周洋鑫 其中ab.因为()0fx，所以()f x在区间,a b上单调递增，进而()()()f aff b，所以()0,()0F aF b，即()()0F a F b，由零点定理可知结论成立.（II）由（I）可得()d()()()()()baf xxf a baf bf aa=，则 2()d()()()()()baf xxf a baf bf aabababa=，两边取ba+的极限，得 2()d()()()()1()limlimlim()()2()2babababaf xxf a baaf bf afafabababa+=，故1lim2baaba+=.【22】【勘误】题目中“0a”条件改为“0a”.【解析】（）由题意可知，二次型所对应矩阵为1111111aa=A，且A的特征值为122=，3b=，故tr2220b=+=AEA，解得1a=，1b=.（）当122=时，解()2=EA xO，可得特征向量为 T1(1,1,0)=，T2(1,1,2)=，当31=时，解()=EA xO，可得特征向量为T3(1,1,1)=.因为T1(1,1,0)=，T2(1,1,2)=，T3(1,1,1)=已经正交，仅需单位化，得 T111,022=e，T2112,666=e，T3111,333=e，故()123,=Qe e e，二次型()123,f x x x经正交变换=xQy化为标准型22212322yyy+（）因为TT=x xy y，所以在2222233yyy+=的条件下，()222222212312332223fyyyyyyy=+=+()22212326yyy+=，2024 周洋鑫考研数学终极预测卷解析（数学二卷 1）新浪微博考研数学周洋鑫 ()22222222123123122233fyyyyyyyy=+=+()2221233yyy+=,且当123,0yy=，30y=时，6f=；当1230,3yyy=时，3f=，所以f的最大值为 6，最小值为-3，且最大值点与最小值点分别为 1233112261130133131322600206xxx=，12311261110126130132031613xxx =.