二维复杂弹性空腔的边光滑有限元建模及分析.pdf

第41卷第1期2024 年2 月文章编号：10 0 0-49 39(2 0 2 4)0 1-0 2 2 5-0 8应用力学学报Chinese Journal of Applied MechanicsVol.41 No.1Feb.2024二维复杂弹性空腔的边光滑有限元建模及分析刘嘉明12,袁丽芸1-2,陆静1-2,陈莎1-2,文润旭1.2（1.广西科技大学机械与汽车工程学院,5450 0 6 柳州；2.广西科技大学广西汽车零部件与整车技术重点实验室，5450 0 6 柳州）摘要：在弹性空腔结构上敷设被动约束层阻尼（passive constraint layer damping,PCLD）可达到减振降噪的效果，针对这类复杂结构建立了二维复合弹性空腔的边光滑有限元耦合动力学模型。其中,PCLD结构采用两节点四自由度的PCLD梁单元，声场采用边光滑有限元模型。以二维全敷设复合矩形空腔模型为数值算例，以精细网格下的有限元法结果作为参考解，对比研究了在相同背景网格下，边光滑有限元法和有限元法的频响结果，发现前者更接近参考解，说明同样的计算成本下，边光滑有限元法具有更高的精确性,特别是在中频计算中。最后,分析了PCLD结构对某汽车驾驶舱的降噪效果，以及黏弹层和约束层厚度参数的影响规律，发现黏弹层厚度增大，可一定程度上降低空腔噪声，而约束层厚度增大，并不能在整个频段得到很好的降噪效果。关键词：边光滑有限元法；被动约束层阻尼；二维复合弹性空腔；降噪；声振耦合中图分类号：TB52Edge smoothed finite element modeling and analysis oftwo-dimensional composite elastic cavityLIU Jiaming,YUAN Liyun2,LU Jing*,CHEN Sha*,WEN Runxu-?(1.School of Mechanical and Automotive Engineering,Guangxi University of Science and Technology,545006 Liuzhou,China;2.Guangxi Key Laboratory of Automobile parts and vehicle Technology,Guangxi University ofAbstract:Laying passive constraint layer damping(PCLD)on elastic cavity structure can achieve theeffect of vibration and noise reduction.In this paper,an edge-smoothed finite element coupling model for atwo-dimensional composite elastic cavity is established.With the PCLD structure discretized by the twonodes and four freedoms PCLD beam element,the sound field adopts the edge smoothed finite elementmodel.Taking the two-dimensional fully layered composite rectangular cavity model as a numericalexample,by comparing the three results with the two finite element methods with rough mesh and finemesh,and with the present method,it is proved that the result obtained by the present method is closer tothe one of FEM with fine mesh compared with the result gained by the FEM with the same background收稿日期：2 0 2 1-0 7-0 5基金项目：国家自然科学基金资助项目（No.51665006）；国家自然科学基金青年基金资助项目（No.11502056）；广西科技大学研究生教育创新计划资助项目（No.GKYC202001;GKYC202002)通信作者：袁丽芸，副教授。E-mail：f l o w l i l y g x u s t.e d u.c n引用格式：刘嘉明，袁丽芸，陆静，等.二维复杂弹性空腔的边光滑有限元建模及分析J.应用力学学报，2 0 2 4,41（1）：2 2 5-2 32.LIU Jiaming,YUAN Liyun,LU Jing,et al.Edge smoothed finite element modeling and analysis of two-dimensional composite elastic cavity J.Chinese journal of applied mechanics,2024,41(1):225-232.文献标志码：AScience and Technology,545006 Liuzhou,China)修回日期：2 0 2 2-0 6-12D0I:10.11776/j.issn.1000-4939.2024.01.024226mesh.It has higher accuracy and convergence than those of the finite element method,especially in thecalculation of intermediate-high frequency.Finally,the noise reduction effect of the PCLD structure on thedriving cavity of an automobile and the influence of the thickness parameters of viscoelastic layer andconstraint layer on the noise reduction performance of the coupling system are analyzed,and a conclusionis drawn that the thicker viscoelastic layer could bring better damping effect to some extent,while thickerconstrained layer could achieve worse damping effect in some peaksKey words:edge smooth finite element method(ES-FEM);passive constrained layer damping beam;two-dimensional composite elastic cavity;noise reduction;sound-vibration coupling随着人们生活品质的提高，船舶、飞机和汽车等驾驶舱中（弹性空腔）的噪声水平越来越受到人们的关注。在外力或外声源作用下，弹性空腔结构将会产生振动并在空腔内部引起很大的内部噪声，不仅降低乘坐的舒适性,还可能对结构产生声致疲劳和结构损伤,影响结构的寿命和安全。为了达到减振降噪的目的,通常会在空腔内部敷设吸声材料2 ,通过声波在吸声材料孔内的耗能达到降噪效果，这类降噪手段并没有从本质上降低激励源，因此还可以作进一步的改善。近年来,研究发现在弹性结构表面依次敷设黏弹层和约束层，形成被动约束层阻尼结构(passive constraint layer damping,PCLD）,可通过黏弹层的剪切耗能达到对结构振动响应的抑制作用3-5。理论上讲,将PCLD结构进一步运用于弹性空腔结构,可以从激励源上降低结构振动,从而降低空腔内部噪声。因此,对敷设有PCLD结构的复杂弹性空腔的声振特性分析具有重要的工程意义。然而，目前对该类复杂弹性空腔的声振特性研究并不多见。至今为止，复杂弹性空腔结构的研究多针对弹性空腔或敷设黏弹层材料的弹性空腔结构，这类结构具有非常强烈的声固耦合作用,其声振耦合特性分析是近几十年来声学工程领域的重要研究课题。胡东森等6 以弹性板下表面敷设多层黏弹性材料的复杂空腔为研究对象，结合多层介质声阻抗方法及波数扩展,采用模态展开法求解,探索了该类结构的声振特性。其中,将黏弹层敷设在弹性板上可构成自由阻尼层结构，能一定程度上降低弹性板的振动，因此可以对空腔结构的噪声起到抑制作用。EGAB等7 建立了敷设有弹性板的矩形空腔耦振模型，分析了空腔中的声场分布及声品质。NEFSKE等8 采用有限元法对汽车声固耦合系统的噪声进行了研究，使得有限元法成为计算声学问题以及声固耦合问题最广泛的数值方法。然而有限元法在声场模拟中有其局限性，不能用来计算外声场问题。屈伸应用力学学报等9 提出了一种分析敷设多孔吸声材料声腔特征值的径向积分边界元法，避免了复杂的非线性求解过程。但边界元法的求解前提是已知弹性边界的振动响应，单纯利用边界元法预报声固耦合场比较困难。为此，众多学者结合有限元和边界元的优点，提出了耦合的有限元-边界元法，并应用到声固耦合的数值计算中10-2 。在利用有限元和边界元法计算声固耦合问题时，为保证计算精度，一个波长内至少需要6个网格，导致中高频时网格数量急剧增加，计算效率降低；另一方面，随着频率的升高，即使满足上述条件，但由于存在色散误差和耗散性误差，其数值结果与精确解仍可能相差较大。针对传统有限元法/边界元法的上述不足，近年来，LIU等13 针对有限元方法(FEM)中声刚度矩阵“过刚 的问题,将标准有限元方法和光滑梯度技术结合起来，提出了一系列基于梯度光滑的有限元算法。HE等2 将边光滑有限元(ES-FEM)方法拓展应用到声学领域中，通过数值分析发现,该方法的计算精度和收敛性均优于FEM,特别是在中频的数值计算中。相对于文献6 中的自由阻尼层,PCLD结构的由于约束层的存在，可以进一步增加黏弹层的剪切变形,提高其热耗散，因此减振性能更佳。李恩奇等3 对黏弹层采用了复常量模型和复变量模型,用传递函数法对形状规则的PCLD梁建立了解析模型,并对其动力学特性进行了分析。研究表明，该类结构具有很好的耗散性能，然而该方法仅限于结构规整的PCLD梁。石银明等4 对黏弹层采用GHM模型,建立了PCLD梁的有限元模型,由于耗散坐标的引人,计算规模较大。迄今为止,PCLD结构多敷设在弹性结构上对结构进行振动抑制，而将其敷设在空腔内部,形成复杂的弹性空腔结构的耦振研究，还需进一步展开。本研究将对敷设有PCLD结构的二维复杂弹性空腔进行声振耦合建模及分析。其中,PCLD结构将投稿网站：http：/c j a m.x j t u.e d u.c n 微信公众号：应用力学学报第41卷第1期采用两节点四自由度的PCLD梁单元，其黏弹层采用复常量剪切模型；声腔域采用三节点的三角形声学单元进行离散，结合ES-FEM建立声场动力学模型;随后,考虑二者的耦合,建立整体结构的声振耦合光滑有限元模型，并对黏弹层和约束层厚度参数对腔内声场的影响规律进行探索，通过腔内声压级响应曲线揭示其影响机理，分析其对耦合系统的降噪效果。1二维复合弹性空腔光滑有限元耦合模型图1所示的二维复合弹性空腔,由声腔域、弹性层和部分敷设PCLD覆盖层组成。本研究针对此类结构,对声腔、弹性层以及PCLD层分别进行建模，然后考虑空腔与弹性层或PCLD层处的耦合条件，得到该类结构的声振耦合方程。其中,结构域中弹性层采用两节点两自由度的梁单元进行有限元建模;PCLD层采用与文献2 类似的方法，黏弹层采用复常量剪切模型,建立两节点四自由度的PCLD梁单元的有限元方程；而声腔域则采用三节点的有限元基准网格，进行光滑处理。声腔域耦合边界2tnb敷设PCLD覆盖层图1二维复合弹性空腔示意图Fig.1Schematic diagram of two-dimensionalcomposite elastic cavity1.1丝结构域控制方程建立复合弹性空腔结构域可看成弹性层子域和PCLD层子域共同构成,其中PCLD层由基梁结构(b）、黏弹层（v）、约束层（c)组成,不失一般性,梁上施加的荷载为q（），如图2 所示。该类结构通常采用以下假设3：各层宽度相同；黏弹层采用复常量模型,其剪切模量为一复常数;各层之间理想连续，无相对滑移；各层均满足线性理论；同一点上各层的横向位移相同。令基梁、黏弹层和约束层厚度分别为hb、h，、h。，刘嘉明，等：二维复杂弹性空腔的边光滑有限元建模及分析CMb图2 被动约束层阻尼梁载荷图Fig.2 Load diagram of passive constraint layer damping beam首先，考虑图2 中的弹性层子结构，将其沿轴线方向离散成2 节点梁单元，单元长度为，节点位移为u,=wr,r,w,T,节点力向量F=F,M,F,M,T,引入位移插值型函数,并应用变分原理，不难得到梁单元在频域内的运动控制方程为14k-wmlui,=Ff+Fm其中：F为保证声固耦合边界处应力连续，空腔声压对梁所产生的耦合力向量；k和m分别为两节点梁单元的刚度矩阵和质量矩阵。对弹性梁子结构进行单元集成，可得该子结构频域内运动方程为K,-w M,Ju,=F,+Fa式中：K，、M,分别是弹性梁子结构的整体刚度矩阵和整体质量矩阵；F，为节点外激励向量；F为声压耦合力。若耦合边界处节点声压记为Pb，N.为结构单元型函数在流固耦合边界上的值，N，为流体单元型函数在流固耦合边界上的值，n为耦合边界处的法向量。则Fa,=H,Ph,H,=JNn N,d其中，H，为弹性梁与空腔的耦合矩阵。此后,参照文献3,针对PCLD子结构,考虑基层和约束层在I、J两节点处的轴向位移ub、u。（下标b、c 分别指基层和约束层），以及轴力分量FNb、Fn e，引人PCLD梁节点位移向量和外激励力向量,即u,=wr,e,ua,uw,wj,ej,ua,uwT,Fg=Fr,M,Fnel,FNb,Fj,M,FNel,FNw T可得PCLD梁的单元运动控制方程为mug+kou,=F,+Fp其中，F为PCLD复合梁单元所受到的声压耦合力向量。与文献3 不同的是，为了降低计算规模,黏投稿网站：http：/c j a m.x j t u.e d u.c n 微信公众号：应用力学学报227密度分别为piPP。，基梁和约束层弹性模量分别为 EVE。，黏弹层剪切模量为 CG：=2(1+)，E、儿、分别为黏弹层的弹性模量和泊松比。VJrbfEq(x)(1)(2)(3)(4)228弹层采用复常量剪切模型2 耗散坐标。因此，式(5）中没有特定的阻尼项。单元质量矩阵m和单元刚度矩阵k为m=m,+m。+mv,ke=k,+k+G,kv式中：质量矩阵基层分量m、约束层分量m。和黏弹层分量m、，以及刚度矩阵基层分量k，、约束层分量k。和黏弹层弹性分量k，均与文献3相同,不再给出。通过单元集成，不难得到PCLD子结构在频域内的有限元方程为K,-M,lu,=F,+Fp式中：u为PCLD梁节点位移向量；K，为PCLD梁整体刚度矩阵；M，为整体质量矩阵；F,为结构的节点等效外部激励向量；考虑图1所示PCLD敷设位置，F为空腔对PCLD梁的节点等效声压向量。若耦合边界处节点声压记为Pp，则Fg=Hpp,H,=JNin N,drrJrpf其中，H,为PCLD子结构与空腔的耦合矩阵。1.2声腔域光滑有限元模型的建立假设图1所示任意形状空腔内部介质是无粘滞性的理想流体,满足Helmholtz方程。在该封闭声腔问题域2 内，通过标准的伽辽金方法可得Helmholtz方程的积分弱形式15 为Je(Vp)-Vpd-ke foppd+jpw Jopvd=0(8)式中：p表示声压幅值；k=为声波波数，c是在介质中传播声波的波速，为激励频率；unp为边界处介质的法向振速和密度。采用光滑梯度处理,并利用节点声压变分8 P的任意性，可以得到声学域光滑有限元的离散形式为K,-kg,M,P=-jpo F,+Fur+Fpr(9)其中：P表示节点声压载荷矢量；K，表示声光滑刚度矩阵;M,表示声质量矩阵;F为空腔在边界处的振动所引起的激励力，具体表达式可参见文献11;Fbr和Fpr分别为基层和PCLD层与空腔耦合边界处，为保证法向位移连续,所产生的耦合力为Fur=-poH,up,Fpr=-pa H,up(10)应用力学学报需要指出的是,文中对式(9)中的声压刚度矩阵计算进行了光滑处理,无需对声压型函数求偏导，一定程度上可避免由于单元网格畸形带来的声压梯度矩阵的计算误差，从而提高计算精度(5)1.3基于边光滑有限元法的声-固耦合方程整理式(2）、（3）、（6）、（7）、（9）、（10）,可得图1所示空腔声固耦合系统方程为K,-kaM,poH,-K,-oM,(6)-HP为了进一步对声场的声学特性进行分析,取某参考点 G的声压p(G）为对象,定义声压级频响函数为16 SPL=20lg(p(G)/Prer)(7)其中,Prf=2 10-5 Pa。根据式(11）所建立的复杂空腔光滑有限元耦合模型,采用MATLAB软件计算，可对该类结构进行声学特性分析。2楼数值算例2.1声振耦合模型验证首先，对PCLD梁子结构进行验证，其材料参数为2 :p=Pp。=8 50 k g/m,p、=1 340 k g/m,C=(8.582+2.985i)MPa,E,=E。=2 10 G Pa。厚度h,=h、=h。=0.0 0 1m,梁的约束条件是基梁两端固支，约束层和黏弹层两端自由。表1给出了本研究数值模型与文献2 给出的PCLD梁解析模型的振动模态结果对比。表1PCLD梁振动模态对比Tab.1Comparison for the modal analysis of a PCLD beam参数阶数文献2 固有频率12损耗因子12由表1可以看出,PCLD梁结构的固有频率和损耗因子和文献2 的解析解结果之间的误差很小，投稿网站：http:/德微信公众号：应用力学学报第41卷FpoH2P0FLupLF0K,-本研究1310.041 310.066.991.476.912.980.006.970.006 890.027 620.026 93(11)(12)误差/%0.001 51.121.142.50第1期说明PCLD子结构模型足够精确。除非特殊说明，后面的PCLD层参数保持不变。随后,考虑PCLD无敷设情形时的弹性空腔声振特性,即式(11)的退化形式,采用本研究模型结合MATLAB软件，对图1所示矩形弹性空腔的声振模态进行了分析，并与ANSYS软件计算结果作对比。空腔尺寸为1m1m，内部介质是空气,密度p=1.225kg/m,波速c=343m/s,空腔四角铰支。其固有频率计算结果如表2 所示。表2 结果表明,本研究方法中,声场模型及声固耦合条件的处理,具有较高精度的可行性。因此,只要PCLD结构模型精度较高,本研究方法应该切实可行。表2 四角铰支矩形弹性空腔固有频率对比Tab.2Comparison for the frequencies of an elastic rectangularcavity with simply-supported at the four angles.阶数12345678此后,为了比较本研究所建立的复杂空腔模型的精确性,本研究分别采用了FEM 和ES-FEM 对上一算例中相同尺寸的复杂空腔进行分析,其内部弹性层全敷设PCLD。左侧边界中点处有振动声速U,=0.001 m/s。G刘嘉明，等：二维复杂弹性空腔的边光滑有限元建模及分析FEM法的计算精度。图4给出了ES-FEM以及FEM计算G(0.5m,0.35m）点的声压级响应曲线以及对应的参考曲线。由于0 2 0 0 Hz处，3条曲线基本重合，因此仅给出了2 0 0 10 0 0 Hz区间内的声压级对比曲线。由图4可以看出，随着激励频率的增大,3条曲线形状基本相同,但峰值频率的区别逐渐增大。且整体来讲，ANSYS本研究5.2655.48714.93414.93629.68529.09950.19247.94377.15971.487100.6099.760138.79132.870171.64168.191229894,单元平均尺寸0.0 5m），和图3（b）的精细网格（节点个数16 8 1，单元个数32 0 0，单元平均尺寸0.025m）。这两种网格均能保证结果收敛的最大计算频率为1143Hz。一般而言，在保证结果收敛的前提下,精细网格会得到更精确的计算结果。因此,将精细网格下FEM所得的复合弹性空腔声振耦合频谱曲线作为参考解REF,对比研究粗糙网格下ES-FEM法和误差/%ES-FEM的峰值频率和REF的结果更接近，而FEM4.21的峰值频率则会偏大。例如在A处附近的峰值频0.01率，精细网格所得结果是30 3.0 1Hz，粗糙网格下光1.97滑有限元和有限元法所得结果分别是30 3Hz和304Hz,明显地粗糙网格下ES-FEM所得结果更接4.48近REF。同理，在B处,ES-FEM、FEM 和REF,3种7.35结果分别为：8 36.7 5、8 54.2 6、8 36.7 6 Hz,ES-FEM和0.83REF的峰值频率误差几乎为O,而FEM的结果和4.26REF的峰值频率误差为2.1%。出现这种现象的原2.07因在于,ES-FEM能够适度软化离散声场的刚度,从而获得更接近连续系统的刚度，使数值解更加接近真实解。该算例说明ES-FEM能够提高声固耦合系统在中频的计算精度,可以进一步应用到复杂的声固耦合系统分析中。303.00 Hz100r304.00 Hz303.01,HzA808P/单G836.75HzB854.26Hz836.76Hz156040(a)粗糙网格(b)精细网格图3网格示意图Fig.3Diagram of the grid同时，为了对比研究这两种方法的计算精度，在保证声学计算精度17 的前提下，基准网格采用了两种：图3（a）的粗糙网格（节点个数48 8，单元个数.ES-FEMFEMREF20200Fig.4(Comparison of sound pressure levelresponse curves of G-spot投稿网站：http：/c j a m.x j t u.e d u.c n 微信公众号：应用力学学报400图4G点的声压级响应曲线对比600频率/Hz80010002302.2汽车驾驶舱声固耦合分析下面将这种建模方法进一步拓展到实际问题应用中，图5为汽车驾驶舱简化后的二维模型，底部敷设了PCLD层。除了耦合面为弹性边界外,汽车驾驶舱的其表面均为刚性边界7 。舱内介质为空气，发动机边界上施加法向振动速度，=0.0 0 1m/s。为了模拟出驾驶舱在悬架上的放置方式，底部梁的两端点A、B视为铰支点。考虑到耦合边界中结构域和声腔域之间节点关系,对汽车驾驶舱声固耦合系统进行离散时，分别选取长度为0.0 5m的二维梁单元和三角形流体单元对结构域和声腔域进行划分（节点数140 6,单元数2559）,频率段范围为0 10 0 0 Hz,满足声学经验法则16 要求的频率范围为 0 1 143 Hz。V.=0.001 m/s敷设PCLD结构AL-3.2 m图5二维汽车驾驶舱示意图Fig.5Schematic diagram of two-dimensional cardrivers cavities采用ES-FEM分别对汽车驾驶舱（弹性空腔）和敷设PCLD结构汽车驾驶舱(PCLD空腔)网格进行计算,得到对应模型驾驶员人耳17 c(1.57m,1.19m)处的声压级响应曲线，如图6 所示。130120F11010090aP/Tds807060504030010020030040055006007008009001000频率/Hz图6驾驶员人耳G处声压级响应对比曲线Fig.6Contrast curve of sound pressure levelresponse at G of drivers human ear应用力学学报由图6 可知，在2 8 0 Hz以上频段，敷设PCLD后,G处声压级响应幅值均得到了有效的降低,有些峰值点处声压级幅值降低达到2 0 dB,说明敷设有PCLD结构的汽车乘员腔有很好的降噪效果。而在0150 Hz频段,有些低频峰值反而有些微回升,如大约56 Hz处。主要原因可能在于黏弹层的剪切耗散性能主要呈现在中高频段，低频段的降噪效果不佳。此外,敷设 PCLD后,结构在56 Hz 附近的两个相邻波峰发生了融合，导致峰值进一步增大。为进一步研究在弹性空腔内敷设黏弹层和约束层后的降噪效果,使用本研究提出的ES-FEM对不同敷设厚度时驾驶员人耳G处的声压级进行计算。图7 为驾驶员人耳G处声压级响应受h、和h。影响的变化曲线图。图7（a)中，随着黏弹层厚度的增加，结构的在大部分峰值都有所降低，如图中2 2 7、399、47 6.6 7 5H z 等处。G+110 h=0.003 m1009B.3&90花花cEEttlttttttttt*8070B60504030200120100弹性空腔806040200PCLD空腔图7 h、h。变化对驾驶员人耳G处声压级影响Fig.7Effect of hv,h,change on sound pressurelevel at human ear G of drivers说明一般情形下，黏弹层厚度的增大可以增加投稿网站：http：/c j a m.x j t u.e d u.c n微信公众号：应用力学学报第41卷100.49103.70100.6792.4894.0392.028798.806h.=0.002mh-0.001m1227399;476200400频率/Hz(a)h,变化h=0.003mh.=0.002mh.=0.001 m20099.6499.29.6758501600800400600频率/Hz(b)h.变化97.6098.231AAAA10008001000第1期结构的耗散性能,抑制结构振动,从而进一步地降低空腔噪声。但在8 50 Hz处的峰值，当黏弹层厚度由0.001m变化到0.0 0 2 m时,峰值由10 3.7 dB降低到9 7.6 dB,黏弹层厚度由0.0 0 2 m变化到0.0 0 3m时,峰值反而回升到9 8.2 3dB。原因可能在于黏弹层厚度的增大，会引起系统质量的增大,改变系统的固有频率,从而使得结构峰值向左偏移或者多个峰值产生融合,因此在原峰值处的声压级反而可能有所回升。而随着约束层厚度的增大，会同时影响结构的惯性质量和刚度,因此结构的固有频率会发生很大的改变，空腔内部声压级的变化逐渐复杂。从图7(b)中可以看出,整体而言,由于约束层的厚度增大,频谱曲线发生了向左偏移,有些波峰发生了融合现象。因此有些频段峰值有所下降,如频段A处；有些频段峰值有所降低,如频段C处;而有些频段峰值变化趋势不清晰，如频段B处。3结束语基于PCLD结构的层合理论,本研究把 PCLD结构等效成被动约束阻尼梁，内部声场采用光滑有限元模型建模,考虑二者之间的耦合,得到了二维复合弹性空腔边光滑有限元声固耦合控制方程。并以二维全敷设复合矩形空腔模型为数值算例，验证了边光滑有限元法在中频范围内计算声压级响应的精确性,最后,通过探讨某汽车驾驶舱耦合系统中，不同厚度的黏弹层和约束层对腔内声场特性的影响规律,分析得出在一定频率范围内，黏弹层的厚度越厚,耦合系统降噪效果越好；而随着约束层厚度的增大,其降噪规律变得更加复杂，需进行进一步的优化。参考文献：1贺银芝,杨志刚，王毅刚.某轿车车内气动噪声特性的试验研究J.汽车工程,2 0 16,38(1):7 2-7 7.HE Yinzhi,YANG Zhigang,WANG Yigang.An experimental studyon the interior aerodynamic noise characteristics of a sedan J.Au-tomotive engineering,2016,38(1):72-77(in Chinese).2HE Z C,LIU G R,ZHONG Z H,et al.An edge-based smoothed fi-nite element method(ES-FEM)for analyzing three-dimensional a-coustic problemsJ.Computer methods in applied mechanics and刘嘉明，等：二维复杂弹性空腔的边光滑有限元建模及分析214-220(in 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