22.第十三章——幂级数2+考研数学李振（讲义+笔记）（2025考研系统班图书大礼包·数学）【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

第十三章幂级数 2（讲义+笔记）主讲教师：考研数学李振 授课时间：2024.03.29 粉笔考研官方微信 1 第十三章第十三章幂级数幂级数 2 2（笔记）（笔记）【注意】今天主要介绍幂级数展开、幂级数求和。近些年考查幂级数的大题往往是幂级数求和。四、幂级数展开 【注意】泰勒级数收敛定理：和泰勒公式长得很像，泰勒公式经常用于计算极限。1.展开为泰勒级数。2.在泰勒级数中，取 x0=0 时的级数称为麦克劳林级数。2 【注意】常见函数的麦克劳林级数：1.需要了解常见的麦克劳林公式，记住常见的麦克劳林级数。3 2.随着 a 的值不同，收敛域不一样。3.公式可背可不背，背下来最好。【解析】4.将lnx 展开为x-2的幂级数，看到 lnx，将lnx 改写成ln（2+x-2），最终化简一下即可，具体步骤见上图。4 【解析】5.是个多项式，要展开成 x 的幂级数，需要变的就是 1/（2+x-x），看到分式，可以想到拆分，分母有理化。先处理函数，拆分展开再求和，具体步骤见上图。【解析】6.所学的公式中没有 arctan，需要用到逐项求导与逐项积分定理，函数先求个导数，再利用公式即可，后面可以用到等替，具体步骤见上图。【注意】逐项求导与逐项积分只是不改变收敛半径。五、幂级数求和 5 【注意】要把握好幂级数求和的理论基础。1.理论基础：几何级数求和。2.系数为有理函数：核心是“清君侧”。（1）分子有 n：先逐项积分后求导。（2）分母有 n：先逐项求导，而后积分。6 【解析】7（1）.求幂级数的和函数，如果没有 n 就很简单，就想办法把 n去掉，利用逐项求导与逐项积分定理，具体步骤见上图。将题目改一下，不能直接积分，将式子提一个 x 出来，后面的部分可以直接用逐项求导与逐项积分，具体步骤见上图。7 【解析】7（2）.分母有 n，收敛半径 R=1，并且 x=1 时均收敛，故收敛域为-1,1；提出一个 x，令 s（x）=xg（x），逐项求导之后要关注下标的变换，具体步骤见上图。【解析】8.看到假分式，变为真分式，先算出收敛半径 R=1，当 x=1 时发 8 散，故收敛域为（-1,1），再求和函数，有两种方法，一种是将该点代入幂级数转化为常数项级数，求常数项级数的和;二是利用和函数的性质，幂级数的和函数在收敛域内都是连续的，利用极限值等于函数值解出该点处的和。具体步骤见上图。【解析】9.求幂级数的和函数，观察式子，分母有 n，可以求导，但是有阶乘。先算出收敛域为 R，分母有 n，凑常见的 ex，具体步骤见上图。9 【解析】10.（1）证明过程如图所示。（2）是一个二阶常系数非齐次线性微分方程，求特解，需要知道初始值，因为 y+y+y=ex，说明 y（0）=1，y（0）=0，具体步骤见上图。10 【解析】11.算常数项级数，把 sin 和 cos 的幂级数展开式写出来，令 x=1，算出 sin1 和 cos1，式子化简，对应 B 项。具体步骤见上图。如果是填空题，转化为幂级数，提出一个 x，具体步骤见上图。11 遇见不一样的自己 Be your better self