13.第九章——常微分方程2+考研数学李振（笔记））【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

第九章常微分方程 2（笔记）主讲教师：考研数学李振授课时间：2024.02.23粉笔考研官方微信1第九章第九章常微分方程常微分方程 2 2（笔记笔记）【注意】全微分方程（数学一）：全微分方程一般结合第二类曲线积分中与路径无关的情况进行考查，我们将在多元函数积分学部分讲解，这里不再赘述。【注意】1.高阶微分方程在学习过程中主要有两类，第一是关于线性微分方程的性质；高阶微分方程不是每个都可以求解，只有特定类型才能够求解，第二个内容是求解问题。2.一阶线性微分方程：y+p（x）y=q（x）。3.二阶线性微分方程：y+p（x）y+q（x）y=f（x），线性即 y、y、y 都是一次的。4.三阶线性微分方程：y+p（x）y+q（x）y+g（x）y=f（x）。2【注意】二阶线性微分方程：1.形如 y+p（x）y+q（x）y=f（x）的微分方程称为二阶线性微分方程。2.当 f（x）=0 时，即 y+p（x）y+q（x）y=0 称为二阶齐次线性微分方程；否则称为二阶非齐次线性微分方程。3.二阶线性微分方程的求解主要考查 p（x），q（x）恒为常数的情形，即二阶常系数线性微分方程，相应的齐次方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，一般形式为 y+py+qy=0；相应的非齐次方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程，一般形式为 y+py+qy=f（x）。4.不是所有的二阶线性微分方程都可以求解，只有特定的情况才能够求解，y和 y 前面的函数 p（x）、q（x）是常数时，对应的二阶线性微分方程才能够求解。3【注意】叠加原理：设 y1（x）是方程 y+p（x）y+q（x）y=f1（x）的特解，y2（x）是方程 y+p（x）y+q（x）y=f2（x）的特解，则 y=k1y1（x）+k2y2（x）是方程 y+p（x）y+q（x）y=k1f1（x）+k2f2（x）的解。4【注意】1.叠加原理就是等号右边函数 f（x）的叠加对应等号左边解的叠加。2.齐次解的任意线性组合仍是齐次的解，齐次解+非齐次解=非齐次解，非齐次解-非齐次解=齐次解。3.齐次通解=2 个线性无关的齐次解的线性组合，非齐次通解=齐次通解+非齐次特解。二阶微分方程，如果可以找到两个解，且不成比例，那么不能合并，二阶微分方程可以写为 y=c1y1+c2y2，c1y1+c2y2为所谓的二阶齐次线性微分方程的解。4.上述结构定理适用于 n 阶线性微分方程。5【解析】10.二阶非齐次线性微分方程通解的结构为非齐次通解=齐次通解+非齐次特解，只要找到齐次通解和非齐次特解即可，y1、y2、y3都可以作为非齐次特解，齐次通解等于两个线性无关解的线性组合，首先要找两个齐次的解，已知三个非齐次解，任意两个非齐次的解相减就是齐次的解。【注意】找齐通，加上一个非奇特，由于非奇特有三个，选取不同的非奇特，对于结果形式是没有影响的。【解析】11.解的叠加原理适用于任意阶数线性微分方程。y1+uy2对应 y+p（x）y=q（x）+uq（x）；y1-uy2对应 y+p（x）y=q（x）-uq（x），6+u=1，-u=0，=1/2，u=1/2，对应 A 项。【选 A】【注意】不是随便给一个二阶齐次线性微分方程都可以求解，只有特定形式才可以求解，当 y+p（x）y+q（x）y=0，p（x）和 q（x）都是常数时，y+py+qy=0 的通解是可以计算出来的，y和 y 前面只差一个系数，e求导和自己 只 差一个系数，假设 y=ex，y=ex，y=2ex，代入，2ex+pex+qex=0，ex0，约分可得2+p+q=0，计算出，可以得出对应的解，2+p+q=0 为特征方程，2对应 y，对应 y，0对应 y，且系数 p、q 是一样的，该特征方程是一元二次方程，它的解有三个情况，具体见 PPT。7【注意】求解二阶常系数齐次线性微分方程的一般步骤：1.写出 y+py+qy=0 对应的特征方程 r2+pr+q=0。2.求出特征方程的两个根 r1，r2。3.根据 r1，r2的不同形式，我们有如下的公式：（1）r2+pr+q=0 的两个根 r1，r2：微分方程 y+py+qy=0 的通解。（2）r1，r2为两个不等实根：y=C1er1x+C2er2x。（3）r1，r2为两个相等实根：y=（C1+C2）er1x。（4）r1，r2为一对共轭复根i：y=eax（C1cosx+C2sinx）。4.步骤和思想不仅适应于二阶，包括三阶、四阶，甚至 n 阶都是适合的，计算方法同理，第一步写特征方程，在所给 n 阶常系数齐次线性微分方程基础上改即可，系数不变，对应的写几次方即可，解的对应关系完全一模一样，有一个根，意味着x，有重根，乘以 x，再有重根，继续乘 x。8【解析】12.先写出特征方程，然后解出微分方程，一定要清楚特征方程的根以及微分方程的解对应关系，通解的 c1、c2原则上不写也对，但建议写上，写上一定是对的，不写一般也不错，但不能确保每年都正确，一定要做到让阅卷老师无懈可击。【解析】13.对于高次的方程有一个方法即试根法，对于这类方程，有一个根是比较明显的，例如 0、1、2、3、1/2，先看一下有没有满足的，=2 是满足的，一定有一个根是=2，-2 一定是因式，然后用多项式除法分解因式。9【注意】1.根据常系数齐次线性微分方程写出特征方程，y（n）对应 rn，每项系数不变，然后求出特征方程的所有根。2.r1为 k 重根，则对应的齐次方程的特解为 er1x，xk-1er1x；ai 为 k重根，则对应的齐次方程的特解为 eaxcosx，eaxsinx，xk-1eaxcosx，xk-1eaxsinx。【解析】14.给出解，反推微分方程，一定要熟知微分方程的根以及微分方程的解对应关系，看到 C1ex，对应的特征方程的根=1，由 cos2x、sin2x 立马10想到对应特征方程的根为=2i，有根就可以推出特征方程。【选 D】【解析】15.ex和 cos2x 为共轭虚根，12i，x 说明有重根，12i 是个二重根，得到该微分方程四个特解分别是 excos2x、exsin2x、xexcos2x，xexsin2x，可得 y=c1excos2x+c2sin2x+c3xexcos2x+c4xexsin2x，c1、c2、c3、c4为任意常数。【注意】考试的另一个角度是反向考查，要熟知特征方程的根和解的对应关系。11【注意】1.y=f（x，y）型的微分方程（缺 y 的可降解的二阶微分方程）：作变量代换 p=y，则有 y=dp/dx，代入原方程有 dp/dx=f（x，p），这是一个关于变量 x、p 的一阶微分方程，求解该一阶微分方程可得到 p，又因为 p=y=（x，C），所以再对 x 积分可得到 y。2.y=f（y，y）型的微分方程（缺 x 的可降解的二阶微分方程）：作变量代换 p=y，则有 y=dp/dx=（dp/dy）*dy/dx=p（dp/dy），代入原方程有 p（dp/dy）=f（y，p），这是一个关于变量 y、p 的一阶微分方程，求解该一阶微分方程，可得到 p，又因为 p=y=（y，C），所以再对 x 积分可得到 y。12【解析】9.（1）y前面有 x，不叫常系数，整个微分方程有 x、y、y ，但是没有 y，即缺 y 的可降解的二阶微分方程。令 p=y，则 y=dp/dx，代入，则 x（dp/dx）+p=0，这是可分离变量的微分方程，具体步骤见 PPT。（2）该方程不是常系数，也不是线性，有 y、y、y为缺 x 的可降解的二阶微分方程。令 P=y，则 y=dp/dx=（dp/dy）dy/dx=p（dp/dy），代入，y（dp/dy）=-p，依然为可分离变量的微分方程，具体步骤见 PPT。【注意】1.现阶段重中之重，对于可降解的微分方程一定要会做识别。2.识别之后，对应的解题方法基本的要掌握清楚，简单做法积累即可。13遇见不一样的自己Be your better self