011.第四五章周直播讲义解析版【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

第四章/第五章高等数学篇【答案】【解析】注意隐函数存在定理：设函数F(x,少，z)在点P(x,乙)的某邻域内存在迮续的偏子数，H上(x,2)=0.F(x,)0，则方程F(x,2=0在点Px,6,)的某邻域内能忙一确定一个连续A只有迁续偏导数的函数z=f(x,),满足=f(x,),并有&x Fv考研数学郭伟其，F,F,F分别定.元函数F(七，)对，=的m宁数。所给命题缺少隐函数存在定理的第三个条件F(x,z)0与F(x,乙)=0，故此命题不i确4、考虑二元函数f(x,y)的四条性质：f(x,)在点(x:)处近续；f(x,)在点(x,)处的两个偏导数远续f(x,y)在点(x,)处可微：f(x,y)在点(x,)处的两个偏导数存在考研数学郭伟苏川“PQ”表示川山性质P推出性质Q，,则有()(A)(B)1(C)(D)【答案】(A)【解析】下述重岁内果关系成记住，其中A三B衣小川A可扯出B.尤箭头者无内果关系，箭头的逆向不)成立f(x,y)与f(x,)迁续f(,)u微f(x,.)与f(x,)存在郭f(x,)迹续考研数学郭伟其均指在同点处.记住上述关系，不难答本选择题，故应选（入）5、“点M。为二=(x,y)的极值点”=0=0”,(c【答案】【解析】如=V天2+y2在点M,(0,0)处取得极小值，们在M。处ex8v都不存在如2=3，则知色=x,点(0,0)为其驻点，们不为其极值点考研数学郭传综上“点，为2=，0的牧值点”与”CxMo0=0”九必然联系【注】与一元函数相仿，元函数的极点处函数可能不存在偏导数，2高等数学篇第四章/第五章I果点M(x)为=f(xy)的枚值点，且2=(x,)在点M(x处存在偏导数，圳必有0=0学郭伟数学郭伟考研数学郭伟6、(仅数一）“行在”“方问宁数行在”.(a【答案】x,=0y,x=0【解析】f(x,y)=1,+y=H90，m=1,2.2O,else中定义可知f(0,0)=1,f0,0)=1研数学郭伟1,V2+2x=1考研数学郭情义对于沿H线.y=x的方向1，有f(x,x)=0,elsef在x=0处不连续，不存在如z=x+在点(0,0)处的2个偏导数都不存在，仁给方问1，共与x轴止向夹布为日x=pcos6,v=psing,lim-f(pcos0,osin)-fo.msind=cos+sinnz知行在.这表明在点M(x,)处z=fx,)沿任意向的方问宁数存在，也不一定保诽在郭伟M(x,)处内个偏导数存在从而不能保证z=(x,y)在点M(x:)处可微分.可知命题不止确，需要指出的足：j向导数定义1im1n+Ax,+A=fW中p02l而促导驳定义+A)-化中Ar-,0心可以从正、分2个向始T0 x因此方创宁数存在并不意味若伽宁缀存布w考研致学郭俐考研数学郭伟w考研致学郭伟3第四章/第五章高等数学篇典型题目易错清障1、设，(x),y(x)是y+P(x)y=0的两个个同特解，其屮P(x)在(-0，+o)内连续，且P(x)不恒为0，则下列结论屮错误的是(学郭伟A.(x)-乃(x)=常数B.C()-(定方程的通解考研数学郭伟C.(x)-y(x)在任一点不为0D.(四=常数(x)0)出(x)【答茶】A【解析】依题意，(r)-y(x)烂y+P(x)y=0的解.当P(不恒为0时，非娄常数不能定y+P(x)=0的解，枚A错误：D正确，内为y+P(xy=0的通解为y=Cca，所以任意两个解柑养个常数内了c确，假设存在：使得4)=0.即为()=(，中于巴c,那得,(x)2(x）敬因=1，即5)=，.与心知条件矛盾(x)2、水个阶数尽可能低的带系数齐次微分方程，使得数y=2与2=3sin2x龙心的解【解析】由片=2xe,片，=3sim2x是常系数线性齐次微分方程的解=1为其特征方程的二重根，r=2：也为其特征方程的根心即其特征方释为(1-1)(2-2)（元+2）0门考研教学郭传所以对成齐次微分方科为p4-2”+5y”-8y+4y=03、求y-y=州的通解。【解析】j程y”-y=0的通解为y=Ce+C,er0,y”-=,设该非齐次万程的个特解为y=在e不考研数学郭伟不来得4放方的r-ye(K0通鲜为v=Ce+Ge+x0)道解为r=Ce+Ce_写2因为方程-=0的解x=0出连线，放0=职=仰)=G+C,即y=Ce+Ce+e款学郭研数学郭伟4、微分方程少=(x+y2满是0=0的解为考研数学郭伟【答突】y-acan(+)+年=0或x=am(y+4【解折】令x+y=“,+=,y=1=1】dxdx(x+y)2u2-I+u2)du=dx=u-arctamu=x+e.-arclan(v+x)=,代入必，=0灯e=-年即y-arctan(y+灯+=0或r=tan(y+【力法总纳】死形如：考研数学郭伟解法：令4=，则)y=u+x,转化为关丁未知函数4的变是可分肉微分方料形如：=-py+刘dx解法：令“=y+x,则=-1，转化为关于术知数”的变上可分离微分方得dx dx5、求微分方程y-x)k-2x=0的通解【解桥】由(x)d-2:=0,得-马新做学郭伟考研数学郭佛写+x0-r+c,0即原方释的通解为y=+C(共巾C为仟意常数).【注】二元数常用的基本不等式或放缩方法：rsY+AR,A.Ay都有+BAS+Ba44学郭伟考研教学郭伟0sin+产产+yw225