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大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案大学同步内部讲义大学同步内部讲义-概率论与数理统计概率论与数理统计-配套习题答案配套习题答案目录目录第一章 概率模型及概率公式.11.1 随机事件及其运算.11.2 概率的概念及性质.41.3 古典概型与几何概型.71.4 条件概率.141.5 独立性.19第二章 一维随机变量.242.2 离散型随机变量及其分布.242.3 连续性随机变量及其分布.352.4 随机变量函数的分布.44第三章 多维随机变量及其分布.513.1 二维随机变量.513.2 边缘分布.583.3 条件分布.643.4 相互独立的随机变量.693.5 二维随机变量函数的分布.76第四章数字特征.904.1 数学期望.904.2 方差.994.3 协方差与相关系数.106第五章大数定律及中心极限定理.1205.1 大数定律.1205.2 中心极限定理.122第六章数理统计的基本概念.1286.1 总体与样本.1286.2 统计量及抽样分布.1296.3 正态总体的样本均值与样本方差的分布.138第七章参数估计.1447.1 点估计.1447.2 区间估计.152第八章假设检验.1558.1 假设检验.155大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案8.2 正态总体均值和方差的假设检验.157大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案1第一章第一章 概率模型及概率公式概率模型及概率公式1.1 随机事件及其运算随机事件及其运算1.选择题(1)对任意事件,AB，则与ABB不等价的是（）()AAB()BBA()CAB ()D AB 分析：本题主要考查事件的运算。(2)对任意事件,ABC满足ACBC，则（）()AAB()BAB()CBA()D若C与,A B互斥，则AB分析：本题主要考查事件间的运算。(3)若事件A与B为互斥事件，则下列结论中正确的是（）()AAB ()BA与B为对立事件()CAB()DAB 分析：本题主要考查事件间的运算。大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案22.填空题(1)写出下列随机试验的样本空间：抛一枚硬币三次，观察出现正反面，则_。抛一枚硬币三次，观察正面出现的次数,则_。连续抛一枚硬币，直至出现正面为止，所进行的试验次数，则_。记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制计分)，则_。生产产品直到有 10 件正品为止，记录生产产品的总件数，则_。对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果，则_。分析：本题主要考查随机试验的样本空间。大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案3(2)某士兵向一靶子射击三次，用(1,2,3)iA i 表示“第i次射击击中靶子”，试用iA的运算关系表示下列各事件：第一次击中，第二次，第三次均未击中。至少有一次击中靶子_。恰有一次击中靶子_。恰有两次击中靶子_。至少有两次击中靶子_。三次均击中靶子_。三次均未击中靶子_。分析：本题主要考察事件的运算关系及事件的运算。大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案41.2 概率的概念及性质概率的概念及性质（A 组）组）1.选择题(1)设A和B为任意两个事件，且AB，则必有()()A)()(ABPAP()B)()(ABPAP()C)()(ABPAP()D)()(ABPAP分析：本题主要考查事件间的运算及概率的性质。2.填空题(1)设,A B为事件，3.0)(6.0)(BAPAP，则()P AB。分析：本题主要考查事件间的运算及概率公式。(2)若事件,A B满足()()P ABP AB且3/1)(AP，则()P B=。分析：本题主要考察事件间的运算及概率公式。(3)设,AB是两个随机事件，且()()0.8,P AP B()0.6,P AB()()P ABP AB_。分析：本题主要考查事件间的运算及概率公式。大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案53.解答题(1)已知111111(),(),(),(),(),()245101520P AP BP CP ABP ACP BC，1()30P ABC，求,AB AB ABC ABC ABC ABC的概率。分析：本题主要考查事件的运算及概率公式。(2)设11()()(),()()()48P AP BP CP ABP ACP BC，15()16P ABC，求()P ABC。分析：本题主要考查事件的运算及概率公式。（B 组）组）1.选择题大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案6(1)设事件A、B、C满足CAB，则下列结论正确的是()()A()()()1P CP AP B()B()()()1P CP AP B()C()()P CP AB()D()()P CP AB分析：本题主要考查事件间的运算及概率的性质。2.填空题(1)对于事件ABC、有，()P A 1()()4P BP C，1()8P AC，()()0P ABP BC，则,A,B C同时发生的概率为；,A,B C至少有一个发生的概率为。分析：本题主要考查事件间的运算及概率公式。3.解答题(1)设,A B是两事件且24(),()55P AP B。在什么条件下()P AB取到最大值，最大值是多少？在什么条件下()P AB取到最小值，最小值是多少？分析：本题主要考查概率的加法公式。大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案7(2)设,A B是两事件。已知ABAB，证明AB。证明事件A和事件B恰有一个发生的概率为()()2()P AP BP AB。分析：本题主要考察事件间的运算及概率公式。(3)在某城市中发行三种报纸A、CB、，经调查，订阅A报的有 50%，订阅B报的有30%，订阅C报的有 20%，同时订阅A及B报的有 10%，同时订阅A及C报的有 8%，同时订阅B及C报的有 5%，同时订阅A、CB、报的有 3%，试求下列事件的概率：只订阅A及B报。恰好订阅两种报纸。分析：本题主要考查事件间的运算及概率公式。解：有题意知，只订阅A及B报可表示为ABC，于是)()()(ABCABPCABPCABP)()(ABCPABP07.003.01.0。恰好订阅两种报纸可表示为ABCABCABC，由知()0.07P ABC，同理()()()0.050.030.02P ABCP BCP ABC，()()()0.080.030.05P ABCP ACP ABC。又事件ABC，ABC，ABC两两互斥，于是)()()()(CBAPBCAPCABPCBABCACABP14.005.002.007.0。1.3 古典概型与几何概型古典概型与几何概型（A 组）组）1.填空题(1)一个袋子中有 5 只黑球 3 只白球，从袋中任取两只球，若以A表示：“取到的两只球均为白球”；B表示：“取到的两只球同色”；C表示：“取到的两只球至少有一只白球”.则)(AP；)(BP；)(CP。分析：本题主要考察古典概型。大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案8(2)一盒子中黑球、红球、白球各占 50%、30%、20%，从中任取一球，结果不是红球，则取到的是白球的概率为；取到的是黑球的概率为。分析：本题主要考查古典概型。(3)一批产品共有 6 件正品 2 件次品，从中任取两件，则两件都是正品的概率为。恰有一件次品的概率为。两件都是次品的概率为。至少取到一件次品的概率为。分析：本题主要考查古典概型。大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案9(4)一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为_。分析：本题主要考查古典概型。2.解答题(1)10 片药片中有 5 片是感冒药。从中任意抽取 5 片，求其中至少有 3 片是感冒药的概率。从中每次取出一片，作不放回抽样，求前 3 次都取到感冒药的概率。分析：本题主要考查古典概型。大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案10(2)某油漆公司发出 17 桶油漆，其中白漆 10 桶、黑漆 4 桶、红漆 3 桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客，问一个订货为 4 桶白漆、3 桶黑漆和 2 桶红漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？分析：本题主要考查古典概型。(3)参观团共 8 位女士将进入 10 个房间，如每个房间进入的人数不限，求下列各事件的概率：每个房间中至多有 1 个人的概率。某指定 8 间房中各有 1 个人的概率。某指定房间中有 3 个人的概率。分析：本题主要考查古典概型。(4)两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达，设两艘轮船停靠泊位的时间分别为1h和2h，求有一艘轮船停靠泊位时不需要等待一段时间的概率。分析：本题主要考查几何概型。大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案11（B 组）组）1.填空题(1)一个盒子中有 10 个球，其中有 3 个红球，2 个黑球，5 个白球，从中取球两次，每次取一个(无放回)，则第二次取到黑球的概率为。取到的两只球颜色相同的概率为。取到的两只球至少有一个黑球的概率为。取到的两只球没有黑球的概率为。分析：本题主要考查古典概型。大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案12(2)袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个黄球，30 个白球，今由两人依次随机地各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是。两个人都取得黄球的概率是。至少有一人取得黄球的概率是。分析：本题主要考察古典概型。2.解答题(1)从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，问这 4 只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？分析：本题主要考察古典概型及求逆公式。(2)一位老师在一周 5 个工作日内给 10 名同学答疑都是在周二进行的，试问能否推断答疑是有时间规定的？大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案13分析：本题主要考查古典概型，由此给出实际推断原理。(3)将编号为 1,2,3 的三本书随意排列在书架上，求至少有一本书从左排列的序号与他的标号相同的概率。分析：本题主要考查古典概型及求逆公式。(4)从(0,1)中随机地取两个数，试求下列事件的概率。两数之和不大于1的概率。两数之积不小于316的概率。以上两条同时满足的概率。分析：本题主要考察几何概型。大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案141.4 条件概率条件概率（A 组）组）1.选择题(1)已知5.0)(AP，8.0)|(ABP，则)(ABP()()A3/5()B2/5()C2/3()D1/3分析：本题主要考察条件概率公式。(2)已知5.0)(AP，6.0)(BP，8.0)|(ABP，则)(BAP()()A0.6()B0.7()C0.8()D0.9分析：本题主要考查条件概率公式和求和公式。2.填空题大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案15(1)一批产品共有 10 个正品 2 个次品，从中任取两次，每次取一个(有放回).则第二次取出的是次品的概率为。两次都取到正品的概率为。第一次取到正品，第二次取到次品的概率为。第一次取到次品，第二次取到正品的概率为。恰有一次取到次品的概率为。两次都取到次品的概率为。恰有一次取到正品的概率为。已知第一次取到的是次品，则第二次取到正品的概率为。已知第一次取到的是次品，则第二次取到次品的概率为。分析：本题主要考查古典概型及条件概率的计算。(2)由长期统计资料得知，某一地区在 4 月份下雨（记作事件A）的概率为 4/15，刮风（记作事件B）的概率为 7/15，刮风又下雨（记作事件C）的概率为 1/10.则大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案16)|(BAP；)|(ABP；)(BAP。分析：本题主要考查条件概率公式及求和公式。(3)已知工厂AB、生产产品的次品率分别为 1%和 2%，现从由AB、的产品分别占 60%和 40%的一批产品中随机抽取一件，则该产品是次品的概率为；若取到的是次品，那么该产品是A工厂的概率为。分析：本题主要考查全概率公式及贝叶斯公式。2.解答题(1)某人打电话忘记对方号码最后一位，因而对最后一位数随机拨号，设拨完某地区规定的位数才完成一次拨号，且假设对方不占线，求到第k次才拨通对方电话的概率。分析：本题主要考查乘法公式。解：令kA=第k次拨通对方电话（1,2,.,9,10k），则1()0.1P A12121911()()(),.,10910P A AP A P A A1211212119811(.)()().(.).10910110kkkkP A AAAP A P A AP A A AAk(2)设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中 1/2 是第一家工厂生产的，其余两家各生产 1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有 2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：取到的是次品的概率。若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。分析：本题主要考查全概率公式及贝叶斯公式。大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案17解：设事件A表示：“取到的产品是次品”；事件iA表示：“取到的产品是第i家工厂生产的”(i 123，)，则123111(),(),()244P AP AP A，123245(),(),()100100100P A AP A AP A A，由全概率公式知，取到次品的概率为：31)|()()(iiiAAPAPAP40013100541100441100221。由贝叶斯公式知，若已知取到的产品是次品，它是第一家工厂生产的概率为：P A A(|)1=1131()(|)()(|)iiiP A P A AP A P A A13440013100221。(3)有两箱同类零件，第一箱 50 只，其中一等品 10 只，第二箱 30 只，其中一等品 18只，今从两箱中任选一箱，然后从该箱中任取零件两次，每次取一只(有放回)，试求：第一次取到的是一等品的概率。两次都取到一等品的概率。分析：本题主要考查全概率公式。解：设iA表示：“取到第i箱零件”(12)i；iB表示：“第ii次取到的是一等品”(12)i则1211(),()22P AP A，11121018(),()5030P B AP B A，由全概率公式知，第一次取到一等品的概率为：1111212()()(|)()(|)P BP A P BAP A P BA52301821501021。由于221211221018(),()5030P B B AP B B A，由全概率公式知，两次都取得一等品的概率为：1211212122()()(|)()(|)P B BP A P B BAP A P B BA51)3018(21)5010(2122。（B 组）组）1.填空题(1)设,A B是两个随机事件，已知()0.3,P A B()0.4,P B A()0.7,P A B 则()_P AB。分析：本题主要考查条件概率公式，求逆公式及求和公式。大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案182 解答题(1)设3.0)(AP，4.0)(BP，5.0)(BAP，求)(|(BABP.分析：本题主要考查条件概率计算公式。解：由于()(|()()P B ABP BABP AB()(|()()P B ABP BABP AB，而()B ABBABBBA，且0.5()()()()P ABP AABP AP AB，即()()0.5P ABP A又()1()10.30.7P AP A ，故()()()0.50.70.50.2P B ABP ABP A从而()()()()0.7(1 0.4)0.50.8P ABP AP BP AB，故P B ABP B ABP AB(|()()().020814。(2)有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为 3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为 1/4、1/3、1/12、1/8.求：此人来迟的概率。若已知来迟了，此人乘火车来的概率。分析：本题主要考查全概率公式及贝叶斯公式。解：设事件AA表示：“此人来迟了”；事件iA(123i1,2,3,4i)分别表示：“此人乘火车、轮船、汽车、飞机来”，则12343112(),(),(),()105105P AP AP AP A，12341111(),(),(),(),43128P A AP A AP A AP A A由全概率公式知，此人来迟的概率为：41)|()()(iiiAAPAPAP518152121101315141103。由贝叶斯公式知，已知此人来迟前提下，是乘火车来的概率为：大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案19P A A(|)1=4111)|()()|()(jjjAAPAPAAPAP3131041/58。1.5 独立性独立性（A 组）组）1.选择题(1)对于任意概率不为零的事件A和B，下列命题肯定正确的是()()A如果A和B互不相容，则A与B也互不相容()B如果A和B相容，则A与B也相容()C如果A和B互不相容，则A和B相互独立()D如果A和B相互独立，则A与B也相互独立分析：本题主要考察事件互斥和独立的概念。(2)甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0.5，现已知目标被命中，则它是乙射中的概率是()()A3/5()B5/11()C5/8()D6/11分析：本题主要考察事件相互独立的条件下概率的计算、求和公式及贝叶斯公式。2.解答题大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案20(1)设事件A与B相互独立，已知5.0)(AP，8.0)(BAP，则)(BAP=；()P AB=。分析：本题主要考查事件相互独立的条件下概率的计算、减法公式、求逆公式及求和公式。(2)设事件A、B相互独立，已知4.0)(5.0)(BPAP，则)(BAP；)(BAP；)(BAP.分析：本题主要考查事件相互独立的条件下概率的计算、减法公式、求逆公式及加法公式。3.解答题(1)甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为 0.8，乙击中敌机的概率为 0.5，求下列事件的概率：敌机被击中。甲击中乙击不中。乙击中甲击不中。分析：本题主要考查事件相互独立的条件下概率的求法、求和公式及减法公式。解：设事件AA表示“甲击中敌机”，事件B表示“乙击中敌机”，事件C表示“敌机被击中”。则CAB，于是敌机被击中的概率为：)(1)(1)()(BAPBAPBAPCP9.01.01。甲击中乙击不中的概率为：4.0)5.01(8.0)()()(BPAPBAP。乙击中而甲击不中的概率为：1.05.0)8.01()()()(BPAPBAP。(2)某射手打靶 5 次，每次射中的概率均为 0.6，求，前 3 次中靶，后 2 次脱靶的概率。第一、三、五次中靶，第二、四次脱靶的概率。5 次中恰有 2 次中靶的概率。5 次中至少有 1 次中靶的概率。大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案21分析：本题主要考查事件相互独立的条件下概率的计算。(3)一工人照看三台机床，在一小时内，甲机床需要照看的概率是 0.6，乙机床和丙机床需要照看的概率分别是 0.5 和 0.8.求：在一小时中没有一台机床需要照看的概率。在一小时中至少有一台机床不需要照看的概率。分析：本题主要考查相互独立事件的概率。解：设A表示：“没有一台机床需要照看”，iC表示：“第i台机床需要照看”(i=1，2，3).则321CCCA。)()(321CCCPAP)()()(321CPCPCP04.0)(1)(1)(1(321CPCPCP设B表示：“至少有一台机床不需要照看，则321CCCB。)()(321CCCPBP)(321CCCP)(1321CCCP76.0)()()(1321CPCPCP（B 组）组）1.选择题(1)设事件,A B C两两独立，则,A B C相互独立的充分必要条件是()()AA与BC独立()BAB与AC独立()CAB与AC独立()DAB与AC独立分析：本题主要考查事件独立性的判定。大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案222.填空题(1)三个人独立地解答一道难题，他们能单独正确解答的概率分别为 1/5、1/3、1/4，则此难题被正确解答的概率为；恰有两个人正确解答的概率为。分析：本题主要考查事件相互独立的条件下概率的计算。3.解答题(1)盒中有编号为 1,2,3,4 的 4 只球，随机地自盒中取一只球，事件A为“取得的是 1 号或2 号球”，事件B为“取得的是 1 号或 3 号球”，事件C为“取得的是 1 号或 4 号球”，试证明,A B C两两独立，但不相互独立。分析：本题主要考查事件两两独立与相互独立的判定。大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案23(2)设第一个盒子中装有 3 只红球，2 只黑球，2 只白球；第二个盒子中装有 2 只红球，3 只黑球，4 只白球。独立地分别从两个盒子中各取一球。求至少有一只红球的概率。求有一只红球一直白球的概率。已知至少有一只白球，求有一只红球一只白球的概率。分析：本题主要考查事件的运算、大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案24第二章第二章 一维随机变量一维随机变量2.2 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布（A 组）组）1.选择题(1)在下列函数中，可以作为某个随机变量X分布函数的是()()A21()1F xx()B0,0()cos,01,xF xxxx()C0,(),1,xaxaF xaxbbaxb()D1,0()0,0 xexF xx 分析：本题主要考查分布函数的性质。(2)设)2,1)(ixFi为iX的分布函数。为使1()()F xaF xb2()F x是某一随机变量的分布函数，则下列给定的各组数值中应取()()A3/52/5ab，()B1/32/3ab，()C1/23/2ab，()D2/32/1 ba，分析：本题主要考查分布函数的性质。2.填空题大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案25(1)设随机变量X的分布函数为 0,10.4,110.8,131,3xxF xxx ，则随机变量X的分布律为。分析：本题主要考查由离散型随机变量分布函数求随机变量的分布律。解：由P XxP XxP Xx=()(0)F xF x知，1(1)(1 0)0.4P XFF ，1(1)(1 0)0.80.40.4P XFF，3(3)(30)1 0.80.2P XFF。因此随机变量X的分布律为。(2)设随机变量X的分布律为201214Xccc，则c _。(3)设随机变量X服从参数为的泊松分布，且1012P XP X，则1PX=_。分析：本题主要考查泊松分布的分布律。解：由于X的分布律为e(0,1,2.),!kP Xkkk又101,2P XP X即010!21!ee，解得2,于是21101P XP Xe。3.解答题大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案26(1)设随机变量X的分布函数为0,00.2,01()0.7,121,2xxF xxx求0,01,01,01,2P XPXPXPXP X。(1.5)F。分析：本题主要考查分布函数的概念。(2)设X的分布函数为20,0(),011,1xF xAxxx求A及0.50.8PX。分析：本题主要考查分布函数的概念及性质。(3)设随机变量X的分布函数为()arctan()F xABxx ，求：,A B的值。11PX。分析：本题主要考查分布函数的概念和性质。大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案27(4)从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都相等。设 X 表示途中遇到红灯的次数，求 X 的分布律及分布函数。分析：本题主要考查二项分布的分布律。解：由题意知，每个交通岗遇到红灯和绿灯的概率是相同的，故遇到红灯或绿灯的概率均为12，故X服从参数为12的二项分布，即1(3,)2XB，从而81)211(03XP；1231131(1)228P XC；2231132()(1)228P XC；81)21(33XP。即X的概率分布律可表示为X0123p1/83/83/81/8由分布函数定义知当0 x 时，()0F xP Xx；当01x时，1()08F xP XxP X；当12x时，131()01882F xP XxP XP X；当23x时，1337()0128888F xP XxP XP XP X；当3x 时，()01231F xP XxP XP XP XP X。综上所述，得随机变量X的分布函数为大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案28)(xXPxF001/8014/8127/82313xxxxx，。(5)一盒子中装有 10 只红球，5 只黑球，现从中依次取球，每次取一只，直到取到红球为止，以X表示取球的次数，试写出随机变量X的分布律。分析：本题主要考查离散型随机变量的分布律，分放回和不放回两种情形。大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案29(6)某一山区公路上每天发生交通事故的次数服从参数0.5泊松分布，计算一天内无交通事故的概率。一天内至少有 2 次交通事故的概率。（B 组）组）1.选择题(1)设随机变量X的分布函数为()F x，则下列函数中可作为某随机变量的分布函数的是()()A2()F x()B()Fx()C 1()Fx()D(21)Fx 分析：本题主要考查分布函数的性质。2.填空题大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案30(1)一实习生用一台机器接连独立地制造 3 个同种零件，第i个零件是不合格品的概率11,2,31iPii，以X表示 3 个零件中合格品的个数，则2P X。分析：本题主要考查事件间的运算及离散型随机变量概率的计算。解：设iA表示“第i个零件为合格品”，1,2,3i。由题意可知123,A A A相互独立，由此可得123,A A A、123,A A A、123,A A A均相互独立，于是1231231232P XP A A AA A AA A A123123123P A P AP AP A P AP AP A P AP A=1 2 11 1 31 2 3112 3 42 3 42 3 424。(2)设每次试验成功的概率为34p，X表示首次成功需要试验的次数，则X取偶数的概率为_。分析：本题主要考查几何分布。解：由题意知，随机变量X服从几何分布，即3()4X G，从而1(1)(1,2,.)nP Xnppn，其中3()4p。于是随机变量X取偶数的概率为：2122113113142(1).31(1)451(1)4kkkpP Xkpppp。3.解答题(1)一台设备有三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为 0.10，0.20，0.30，假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的概率分布。分析：本题主要考查事件间的运算及离散型随机变量概率的计算。解：设)321(，iAi表示“部件i需要调整”，则112233()0.1,()0.9,()0.2,()0.8,()0.3,()0.7P AP AP AP AP AP A。又123,A A A相互独立，于是1231230()()()()0.9 0.8 0.70.504P XP A A AP A P A P A；1231231231P XP A A AA A AA A A123123123()()()P A A AP A A AP A A A大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案31123123123()()()()()()()()()P A P A P AP A P A P AP A P A P A0.90.80.30.90.20.70.1 0.80.70.398；1231231232P XP A A AA A AA A A123123123()()()P A A AP A A AP A A A212313123()()()()()()()()()P A P A P AP A P AP AP A P A P A0.90.20.30.1 0.80.30.1 0.20.70.092。006.0)()()()(3321321APAPAPAAAPXP故随机变量X的分布律为：X0123pp0.5040.3980.0920.006。(2)有三个盒子，第一个盒子中有 4 个红球 1 个黑球，第二个中有盒子 3 个红球 2 个黑球，第三个盒子有 2 个红球 3 个黑球，如果任取一个盒子，从中任取 3 个球，以X表示红球的个数。试写出X的分布律。求所取到的红球个数不少于 2 个的概率。分析：本题主要考查全概率公式及离散型随机变量的分布律。解：设kA表示“取第k个盒子”（1,2,3k）,且1()3kP A。随机变量X所有可能取值为 0,1,2,3。由全概率公式知，若0X，根据每个盒子中球的个数，可得331233510|0,0|0,0|10CP XAP XAP XAC由全概率公式知，11223310(0)()(0)()(0)()30P XP XA P AP XA P AP XA P A。若1X，根据每个盒子中球的个数，可得121232231233355331|0,1|,1|105C CC CP XAP XAP XACC，由全概率公式知：1122331(1)()(1)()(1)()P XP XA P AP XA P AP XA P A131313031035310。若2X，根据每个盒子中红球的个数，可得2121213223411233335553332|,2|,2|5510C CC CC CP XAP XAP XACCC，由全概率公式知：1122332(2)()(2)()(2)()P XP XA P AP XA P AP XA P A大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案32313131153531032若3X，根据每个盒子中球的个数，可得33341233355313|,3|,3|0510CCP XAP XAP XACC，由全概率公式知1122333(3)()(3)()(3)()P XP XA P AP XA P AP XA P A21111105310336。综上所述，随机变量X的分布律为：1122263P X。(3)一房间有 3 扇大小相同的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，它飞向各扇窗子是随机的。以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数。如户主所说是确实的，试求Y的分布律。求试飞次数X小于Y的概率和试飞次数Y小于X的概率。分析：本题主要考查几何分布的分布律及离散型随机变量概率的计算。大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案33(4)有一大批产品，其验收方案如下，先作第一次检验：从中任取 10 件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于 2 拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取 5 件，仅当 5件中无次品时接受这批产品。若产品的次品率为10%，求这批产品经第一次检验就能接受的概率。需作第二次检验的概率。这批产品按第二次检验的标准被接受的概率。这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过的概率。这批产品被接受的概率。分析：本题主要考查二项分布。大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案34(5)设某本书上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验 4 页，每页上都没有印刷错误的概率。(6)保险公司在一天内承保了 1000 张相同年龄，为期一年的寿险保单，每人一份。在合同有效期内若投保人死亡，则公司需赔付 3 万元。设在一年内，该年龄段的死亡率为 0.003，且各投保人是否死亡相互独立。求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过 30 万元的概率(利用泊松定理计算)。大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案352.3 连续性随机变量及其分布连续性随机变量及其分布（A 组）组）1.选择题(1)设随机变量X的概率密度为01()0Axxf x，其它，则21XP=()()A43()B31()C41()D21(2)设随机变量X的密度函数为34,01()0,xxf x其它，则使)()(aXPaXP成立的常数a().()A421()B42()C21()D4211大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案36(3)设随机变量X的密度函数为,()0,xAexaf xxa（0a，A为常数），则P aXab的值()()A与b无关，且随a的增加而增加()B与b无关，且随a的增加而减少()C与a无关，且随b的增加而增加()D与a无关，且随b的增加而减少(4)设随机变量1,7,XU则方程2290 xXx有实根的概率为()()A12()B13()C23()D0(5)设，)(2NX则随着的增大，概率P X().()A保持不变()B单调减少()C单调增加()D增减不定大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案37(6)设X和Y均服从正态分布22(4)(5)XNYN，记14pP X，25pP Y，则().()A对任何实数都有12pp()B对任何实数都有12pp()C仅对的个别值有12pp()D对任何实数都有12pp2.填空题(1)设随机变量X的概率密度为cos()20Axxf x其它，则系数A=；20 XP=。(2)设随机变量X的概率分布为f xAxx()，其它010，以Y表示对X的三次独立重复观察中事件12X 出现的次数，则2P Y=。大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案38(3)设X的概率分布为000)(xxexfx，则 3XP；2XP；X的分布函数()F x。(4)若随机变量2(2)XN，且240.3PX，则 2XP；0P X；4XP3.解答题(1)设随机变量X的分布函数为1()arctanF xax)(x求：系数a。大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案39X落在区间（1，1）中的概率。随机变量X的概率密度。分析：本题主要考查分布函数的定义、性质及分布函数与概率密度函数之间的关系。解：由分布函数的非负有界性知，11()lim()limarctan()12xxFF xaxa，解得a 12。于是11()arctan2F xx()x 11(10)(1)PXFF)4(121412121所求概率密度为2111()()(arctan)2(1)f xF xxx()x(2)设(),()f xg x都是概率密度函数，试证明()()(1)(),01h xaf xa g xa也是一个概率密度函数。(3)在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等 1，2，3 路汽车，设每个人等车时间（单位：分钟）均服从0，5上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过 2 分钟的概率。分析：本题主要考查均匀分布及二项分布。解：设X表示每个人等车时间，且X服从0，5上的均匀分布，其概率密度为1,05()50,xf x其它，且22012()0.45P Xf x dxdx。又设Y表示等车时间不超过 2 分钟的人数，则(3,0.4)YB，所求概率为211P YP Y 03123310.60.4 0.60.352CC。大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案40(4)设2(,)XN，计算下列概率：2 P X；3 P X；2 PX；|2 PX；3PX。（(2)0.9772，(3)0.9987，(1)0.8413）(5)一工厂生产的某种元件的寿命X(以小时计)服从参数为160,(0)的正态分布。若要求1202000.80PX，允许最大为多少？（(1.282)0.9）（B 组）组）1.选择题(1)设随机变量X的密度函数为(),f x且()f x为偶函数，X的分布函数为()F x，则对任意实数a，有()大学同步讲义-概率论与数理统计-配题答案41()A0()1()aFaf x dx()B01()()2aFaf x dx()C()()FaF a()D()2()1FaF a(2)设随机变量2(,)XN,其分布函数为()F x，则对任意常数a有()()A()()1F aF a()B()()1F aFa()C()()1F aFa()D()()1F aFa(3)设随机变量211(,)XN，222(,)YN，且12|1|1PXPY，则必有()大学同步讲义-概率论与数理统