12.第三章——不定积分的计算4+考研数学李振（笔记）【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

第三章不定积分的计算 4（笔记）主讲教师：考研数学李振授课时间：2023.11.22粉笔考研官方微信1第三章第三章不定积分的计算不定积分的计算 4 4（笔记笔记）【解析】根式的积分：也叫无理式积分，在整个积分中看到根号是不喜欢的，需要想方设法消掉。【注意】在换元积分法中，对常见根式的两种积分方法总结如下：1.被积函数含有形如 +的项时，作变量代换 ax+b=t（x 可以反解，且不带根号）。2.被积函数根号内是二次函数时，基本思路是作对应的三角代换。234【解析】例 18.（1）不定积分有根号，基本思路是消掉根号，不管为几次根号，只要根号里面是一次函数，则可以整体做代换。（2）有两个根号，核心目的是消根号，通过做一次代换，消去两个根号，取最小公倍数，令 x=t6。（3）看到指数，可以令指数部分为 t，令 ex=t，根号下面是一次函数，再令 1+=u，这两步代换也可以合并为一个，直接令 1+ex=t。（4）整体代换的标准在于 x 能否解出，令1+xx=t，1+xx=t2，1+1=t2，x=1t21，注意回代之后和答案是不一样的，需要化简。看到cx+dax+b可以整体做代换，x 可以反解，且解出来不带根号，x 反解出来之后，dx 可以选择不解，直接分部积分。5（5）分母可看为 1+25，直接令 x=tant。（6）基本思路是消根号，根号内是一个二次函数，不能整体做代换。方法一：先配方，再做相应的三角代换，4x-x2=4-（x-2）2，把 x-2 当作整体，令 x-2=2sint。方法二：原式可写为 4?，1dx=2d x，上式=2d x4（x）2?，直接利用公式即可。【注意】1.当被积函数中含有简单根式如+，naex+b，+时，可以直接令整个因式为 t，因为这样可将 x 解出且不带根号。2.当被积函数中含有简单根式如（2 2），（2+2），（22），（2+）时，基本思路是作对应的三角代换，当根号内的二次函数含有一次项时，要先配方，再做相应的三角代换。6【注意】公式：?=uv-vdu?。1.分部积分法的使用范围：两种不同类型函数相乘或者被积函数中含有对数或反三角函数。2.分部积分法的使用规则：vdu?要比 udv?更容易积分。（1）u（x）的选取：求导易，即求导之后形式更简单（反对幂指三）。（2）v（x）的选取：易积分，即 v（x）的积分计算不应该太复杂。7【解析】例 19.（1）两个不同类型函数相乘，用分部积分法，按照反对幂指三，lnx 做 u，1（1）2做 v。（2）不同类型函数相乘，用分部积分法，根据反对幂指三，x 做 u。（3）不同类型函数相乘，用分部积分法，根据反对幂指三，x 做 u，单独给sin2x，可以利用倍角公式降次。（4）不同类型函数相乘，用分部积分法，根据反对幂指三，x3做 u，2dx=dv，82?dx 的原函数没办法用初等函数表示，（ex2）=2xex2，不能单独把ex2当作v，可以借一个 2x 出来，整体把 2xex2当作 v。【注意】1.u（x）的选取：求导易，即求导之后形式更简单（反对幂指三）。2.v（x）的选取：易积分，即 v（x）的积分计算不应该太复杂，一般通过常见的基本积分公式或者一次凑微分能将 v（x）dx 凑成 dv。91011【解析】例 20.（1）不同类型函数相乘，用分部积分法。12（1+2）dx=dv，这是一个有理函数积分，有理函数积分的思想是拆分算参数，这个比较特殊，直接裂项即可。（2）不同类型函数相乘，用分部积分法，出现指数有理数积分，分部+指数。方法一：先分部积分，后代换。方法二：先代换，后分部积分。方法三：利用 ex=tant，去掉反三角。（3）分部积分法结合根号，可以直接分部积分，也可以先代换，令 x=sint。（4）分部积分法+指数+根号。方法一：直接分部积分。方法二：令 1=t，则=t2+1。（5）不同类型函数相乘，用分部积分法，arctanx 做 u，凑微分的标准是通过常见的积分公式或一次凑微分解决，1（1+2）32?dx 属于凑微分不好凑的情况，故该题比较好的方法是先代换。（6）先做代换，令 x=tant，化简被积函数，原理是用两次分部积分。12【注意】1.考研中，分部积分法常与其他题型结合考查，此时分部积分法也会和对应题型的解题方法相结合。2.分部积分法与反三角函数、对数函数、指数函数以及根式结合考查的题目比较多，此时做题方法不唯一，可先分部积分再作变量代换；也可先作变量代换再分部积分，具体用哪种方法比较好，要具体问题具体分析。13【解析】例 21.（1）方法一：存在 arctan 一定要分部积分，有根号可以令 1=t，则 x=t2+1，原式=?*2tdt，然后再用分部积分法即可。方法二：做完代换后，dx 不解出来，直接写 d（t2+1）。（2）直接分部积分比较复杂，先做代换，有根号，可以令 t=2。【注意】考研数一、三有 4 个大题，数二有 5 个大题，知识点比较多，不定积分考查大题概率要降低很多，如果考查大题，错一个结果，过程是对的，可能可以得分。如果考查填空题，稍微有点差错，5 分直接没有了，整体对计算的要求非常高。14【注意】1.变量代换法与分部积分法结合使用时，先对（）?dx 作变量代换 x=（t），可得到 f（t）d（t）?，然后使用分部积分法时，若被积函数 f（t）是对数或者反三角函数，则 d（t）不用写成（t）dt，而是将其看作dv直 接 进 行 分 部 积 分，（）（）?=（t）f（t）-（t）df（t）?，此方法对含有+的积分最为经典。2.d（t）可根据f（t）的形式写成 d（t+a），可使（t）+af（t）得到化简，从而使得计算更加简便，该技巧比较灵活，了解即可。15【注意】总结：1.有理函数积分：（1）拆分。（2）参数的计算。2.三角有理式：（1）sinmxcosnxdx，m、n 奇偶性会影响积分方法。（2）万能公式。3.指数有理式：直接令 ax=t。4.根式的积分：（1）形如 +、+、+，做整体代换。（2）二次函数，做相应的三角代换。5.分部积分法的使用：会和上述题型结合，结合时对应的方法也会结合，具体问题具体分析。16遇见不一样的自己Be your better self