010.第九章上课手稿【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

复习笔记第九章曲线积分与曲面积分高等数学篇此枚限为函数P(,y)在行向山线弧L对坐标x的山线积分，记作，P(x,y。类似地，如果Q(5,:)心，的做限值总存在，则称此枚限为函数2(x,)在有问出线弧L上对水标y出线积分，记作：学郭佛f(x,v)ds,学郭伟即，ar=2P5na,xd山R20ag荞上述两个极限均存在H相等，则称此极限为P(x:y)和Q(x,)对曲线的第类曲线积分，下=干n91=(Px.x3】或称为对坐标的山线积分，记作，P(x,y)+Q(x,)。F(5,7)B=Mw-1FHS140考家学郭佛A=M【注】对于第二类曲线积分要注意曲线的方向，对于平面上封闭曲线的正向作如下规定：当观察者沿着曲面的这个方向行走时，封闭曲线国成的区域始终在其左边，则该方向为正向。对华体曲线积分的性质克(9,8R6.】JaP(x,)d=aJ P(x,dx争为行向山线弧，L为L一方向相反的山线则考研数学郭佛P(xydr=-P(xp,(dr=-(x,设=7,+,则，Pd+Od=Par+d+Pd+d:考研数学郭伟守华标的曲线积分的基木计算1行也伐以我楚代入.无力衣十将)对坐标的山线积分的基木思想是将山线方程代入，将共转化为定积分计算。注意此时定积分下限对应发，上限对应终点K=()老曲线L的方程为：其起点利终点分别对应参数t=和t=B，则v=v(t)考研学郭ptr+P(00网+Or巴t数学郭伟若出线L的方程为：=)，共起点和终点分别对应参数x-“和x号b,则P(xa+2(x,)d=P(x,y(x+g(x,y(x)p(x小3)内类出线积分之时的关系138复习笔记第九章曲线积分与曲面积分高等数学篇性质：与二重积分类似fx,片2)=1时.小函为山i的前积考研-投代招)华研教学郭用对积的曲而积分的基木计算方法（投影法苏曲的方程z三z(x)为单函数，在xOy的投影区域为D,则可2s=0f儿zkw+.9+5adds若血卫的方得（日为中值函数，布x0z血上的投影区域为D,则大5-+e+cx=td数学郭传石防之o安考研数学郭佛考研教学郭佛【注】上述计算过程可归纳为：一投二代三替换。3)对面积的曲面积分的简化运算利刀奇棡性对称性若火丁xO对称，则f(x5。-z)=-f(xy,z）考研教余郭伟ff.).)其中，是在z0部分，花丁0z,x0z对称，布在类似结论.美研款子不。利用轮换对称性Ls小-aG8=jfes140高等数学篇第九章曲线积分与曲面积分复习笔记2:z-0a2k2-97【例题95】计算南面积分八2ds，其曲面是抹面：+2二。救平面z=0经)截的顶部。32492:a2中5=了，火2dr dya+a-iy学郭D:足45。二2久青九6】计算曲面积分八(x+z)S,其曲面为x2+y+:46+y2)d+25了5=5=多a54g5-号径)as:芳g,(2)对坐标的曲血积分81281)对坐标的山积分的概念与性质数学郭伟定义：设为北消的有向M而，R(x,”,)在上有界，把分成块S,S在xOy而投形(S,(,:)是人5，上们点，若力0，mR(55AS存在，称此极限值为R(x,y,z)在上对水标X,y的出面积分，或R(x,)dxdy在有问出面上的第二类面9分，记为八ayid,即exed=空R-5as,类似的，P,Q对yO2及Ox山积分分别为：川Pdyd=lmmP5,h,5as,)，八0ddc=1imp(5,R5,aS,a如宋对丁仁意分制方式和仁意取点方式，上述极限均存在凡相等，则该极限为P(,z),Q(,=),R(,)在有问出面上的第二类出面积分，或称为对华标的册面积分，记作：数学郭情ffP(x.y.z)dvdiz+(xy,z)dzdx+R(xy,z)dxdvdyd?=ds asddadk=ds to6【注】对于第二美曲面积分要注意曲面的方向，也就是曲西不同的侧是不同的盈，对学封闭曲面，规定外侧为正侧。对于非封闭曲面，规定其外法线方向与所对应的坐标轴正向夹角为锐角为正侧。上为玉，府为品方为运玉：AU(8=A,可：可(a92(Px920 x2).x1.8)郭伟(.iw p.Gor)=n2=t(b2.(o分2x(3）(mf)众犬1x)os心B分r=(p求，t).:不)，(.7，下y141（P1.R)o5d+.个，阝+宝1：)w个62