【考研数学一】全科基础精讲讲义（打印版）【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

第一部分第一部分 高等数学高等数学.1 1第一章第一章 函数与极限函数与极限.1 11.1 函数.11.2 极限的定义.101.3 极限的运算法则.211.4 极限的运算.251.5 函数的连续性.28第二章第二章 导数与微分导数与微分.34342.1 导数的概念.342.2 求导法则.382.3 高阶导数.412.4 隐函数求导.442.5 函数的微分.47第三章第三章 微分中值定理与导数应用微分中值定理与导数应用.50503.1 微分中值定理.503.2 函数的单调性和极值.553.3 函数的凹凸性、拐点、渐近线、曲率.61第四章第四章 不定积分不定积分.67674.1 基本概念.674.2 换元积分法.714.3 分部积分法.754.4 有理函数的不定积分.77第五章第五章 定积分定积分.82825.1 定积分的概念.825.2 微积分基本定理.865.3 换元法和分部积分法.885.4 反常积分.915.5 定积分的应用.96第六章第六章 常微分方程常微分方程.1011016.1 基本概念.1016.2 一阶微分方程.1026.3 可降阶的高阶微分方程.1066.4 高阶线性微分方程.1086.5 常系数高阶线性微分方程.111第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学.1181187.1 极限与连续.1187.2 全微分与偏导数.1217.3 复合函数与隐函数的偏导数.1287.4 多元函数的极值.134第八章第八章 二重积分二重积分.1381388.1 定义与性质.1388.2 二重积分的计算.141第九章第九章 无穷级数无穷级数.1491499.1 常数项级数.1499.2 幂级数.1589.3 将函数展开成幂级数.163第十章第十章 数一专题数一专题.16716710.1 向量代数与空间解析几何.16710.2 多元函数微分学.18510.3 傅里叶级数.19010.4 三重积分.19610.5 曲线积分.20110.6 曲面积分.21210.7 场论初步.221第二部分第二部分 线性代数线性代数.223223第一章第一章 行列式行列式.223223第一节 行列式的定义.223第二节 行列式的性质.228第三节 行列式按行（列）展开.231第四节 克拉默法则.234第二章第二章 矩阵矩阵.237237第一节 矩阵的概念.237第二节 矩阵的计算.240第三节 分块矩阵.248第四节 逆矩阵.251第五节 矩阵的初等变换.257第六节 矩阵的秩.264第三章第三章 线性方程组与向量线性方程组与向量.267267第一节 线性方程组的消元解法.267第二节 向量与向量组的线性组合.273第三节 向量的线性相关性.277第四节 向量组的秩.283第五节 线性方程组解的结构.287第四章第四章 矩阵特征值矩阵特征值.293293第一节 矩阵的特征值与特征向量.293第二节 相似矩阵与矩阵对角化.299第三节 实对称矩阵的特征值和特征向量.304第五章第五章 二次型二次型.313313第一节 二次型与对称矩阵.313第二节 二次型与对称矩阵的标准型.315第三节 二次型与对称矩阵的正定性.322第三部分第三部分 概率论与数理统计概率论与数理统计.326326第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率.326326第一节 随机事件.326第二节 概率.330第三节 条件概率与三个重要公式.338第四节 随机事件的独立性.343第二章第二章 一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布.347347第一节 随机变量.347第二节 离散型随机变量.349第三节 连续型随机变量.355第四节 随机变量的函数分布.362第三章第三章 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布.366366第一节 二维离散型随机变量.366第二节 二维连续型随机变量.372第三节 随机变量的独立性.378第四节 二维随机变量的函数的分布.380第四章第四章 数字特征数字特征.383383第一节 数字期望.383第二节 方差.388第三节 常见分布的数字特征.393第四节 协方差与相关系数.397第五章第五章数理统计的基本概念数理统计的基本概念.403403第一节 总体与样本.403第二节 统计量与抽样分布.406第三节 大数定律和中心极限定理.415第六章第六章 估计和假设检验估计和假设检验.418418第一节 点估计.418第二节 区间估计（数一）.426第三节 假设检验（数一）.431基础精讲讲义（数学一）1第一部分第一部分 高等数学高等数学第一章第一章 函数与极限函数与极限1.11.1 函数函数一、一、函数的定义：函数的定义：有两个变量和，如果对于变量的某个值，变量经对应法则有唯一的值与变量的值对应，那么称是的函数函数，记为=，其中称为自变量，称为因变量；自变量的取值范围称为定义域定义域，因变量的取值范围称为值域值域。(定义域)(对应法则)?(对应法则)?(值域)=，.定义域是使表达式或者实际问题有意义的自变量的集合.对于实际问题，必须书写函数自变量的范围；对于无实际背景的函数，书写时可以省略定义域.例 1：=12 4答案：=|2或=(,2 2,+)区间：区间：设 ，那么开区间，=|;闭区间，=|;半开区间，=|，=|，=|，=|，+=.基础精讲讲义（数学一）2邻域：邻域：以点为中心的任何开区间称为点的邻域，记作().点的领域：(,)=|+=|.点的去心领域：0|),(axxaUo点的左领域：，,点的右领域：，+.二、二、基本初等函数：基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数称为基本初等函数要掌握基本初等函数的图像.基础精讲讲义（数学一）3基础精讲讲义（数学一）4三、三、函数的运算函数的运算1.复合函数设有函数 ，Df，=g ，D，并且，=g ，D.称为、确定的复合函数，u 称为中间变量.例如，函数链 y=arcsinu，u=cosx，则可定义复合函数 y=arcsincosx,xR.基础精讲讲义（数学一）5当改为=2 1，虽然不能在自然域 R下构成复合函数，但是复合函数=arcsin(1 2),1,1.两个以上的函数也可以构成复合函数:=，0=cot，(=0,1,2,.)=2，(,+)可定义的复合函数：=cot2，(2，2+1，.约定：为简单计，书写复合函数使不一定写出其定义域，默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.2 +2时，cot2 0;例 1：设函数)(xf=3+1,1,1，求)(xff.解：()=3()+1,()1 0(),()1=9+4,03+1,0 1,12.反函数（1）反函数的概念以及性质若函数:为单射，那么存在一个新的映射：1:，使 ,1=，其中 =，称此映射1为的反函数.习惯上，)(xfy，的反函数记为)(1xfy，.性质：1）)(xfy 单调递增（减），其反函数)(1xfy存在，且也单调递增（减）.2）函数)(xfy 与其反函数)(1xfy的图形关于直线xy 对称.基础精讲讲义（数学一）6例如：指数函数xey,(,+)对数函数xyln，(0,+)这两个函数互为反函数，它们都是单调递增，并且关于直线 y=x 对称.例 2.求211001,2,ln,12xxxexxyx的反函数及其定义域.解：当1 0 时，=2(0,1,则=，(0,1,当 0 1 时，=ln (,0,则=，(,0,当 1 0,使|)(xf|M,称)(xf为有界函数.xI,M0,使|)(xf|M,称)(xf在I上有界.说明：还可定义有上界、有下界、无界.，)(xfM，称为有上界，)(xfM，称为有下界若对任意正数 M，均存在 xD，使|)(xf|M，则称)(xf无界.例 4：判断xxxfsin)(在(-,+)上是否有界.解析：由 sinx 函数是周期函数，可取22 nxn，代入得22sinnxxxfnnn，基础精讲讲义（数学一）9由部分函数nxf在(-,+)上无上下界，则xxxfsin)(在(-,+)上无界.（2 2）单调性）单调性21,xxI,21xx 时,若)()(21xfxf，称)(xf为I上的单调增函数；若)()(21xfxf，称)(xf为I上的单调减函数；（3 3）奇偶性）奇偶性xD,且有xD，若)()(xfxf，则称)(xf为偶函数；若)()(xfxf，则称)(xf为奇函数.说明：若)(xf在0 x有定义，则当)(xf为奇函数奇函数时，必有0)0(f.例如，2)(xxeexfy偶函数（4 4）周期性）周期性xD,l0，且有lxD，若 xflxf,则称)(xf为周期函数，称l为周期（一般指最小正周期）.基础精讲讲义（数学一）101.21.2 极限的定义极限的定义极限理论是微积分的重要组成部分，是整个微积分的基础.从数学的角度来讲，极限的定义是一个难度非常大的概念，对大部分学生而言，要理解它并不是一件容易的事情.但是，考研对数学定义的要求不高。对备战考研而言，极限的数学定义是次要的，最重要的是要建立对极限的直观理解，相比于数学定义，极限的直观含义要容易得多，这是考生需要重点掌握的内容。一、数列极限的定义一、数列极限的定义敛收，nnnxnnnxnnnnnnnn1111,1,433421,2,1,43322111散发震荡，1112,1,1,1,1,2,8,4,2nnnnnnxnx自变量取正整数的函数称为数列，记作)(nfxn或 nx，nx称为通项（一般项）.任何一个数列，随着n不断增大，数列的值只有三种变化规律：（1）无限靠近一个常数a；（2）无限增大或无限减小或绝对值无限增大；（3）振荡变化，没有固定的变化趋势；1.1.数列极限的描述性定义数列极限的描述性定义对于数列nx，随着n无限增大时，如果数列nx的值无限靠近某一确定的常数a，则称常数a是数列nx的极限，或称数列nx收敛到a，记为axnnlim.11limnnn，11lim1nnnnnnx2和11nnx都不存在极限，但两者情况不同：nnx2虽不能无限靠近某个常数，但其变化趋势是确定的，数列的值一直在增加，这种数列称为“极限无穷大式不存”；基础精讲讲义（数学一）1111nnx不能无限靠近某个常数，且不是无穷大，这种数列称为“极限振荡式不存在”；2.2.数列极限的数学定义数列极限的数学定义若数列nx与常数a满足：对任意正数，总存在正整数 N，当nN 时，总有axn，则称a是数列nx的极限，记为axnnlim.简单的数列考研通过观察直接得出极限：021limnn，12lim1nn例例 1.1.【19991999 年数学二】年数学二】“对任意给定的1,0，总存在正整数 N，当nN 时，总有2axn”是“数列 nx收敛于a”的（）.(A)充分条件但非必要条件(B)必要条件但非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件解析解析：由数列极限的定义，(1)若 数 列 nx收 敛 于a，则 对 任 意 小 区 间2,2aaxn,则 不 等 式2axn成立，“对任意给定的1,0，总存在正整数N，当nN时，总有2axn”是“数列 nx收敛于a”的必要条件；(2)若2axn，则2,2aaxn，即总存在正整数 N，当nN 时数列 nx收敛于a,“对任意给定的1,0，总存在正整数 N，当nN 时，总有2axn”是“数列 nx收敛于a”的充分条件；故选(C).二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质1.1.收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.2.2.收敛数列一定有界收敛数列一定有界.基础精讲讲义（数学一）123.3.收敛数列具有保号性收敛数列具有保号性.若axnnlim，且0a，则 +，当 时，有nx0若数列从某项起nx0，且axnnlim，则0a例例 2.2.【20032003 年数学一、二】年数学一、二】设 nnncba,均为非负数列且nnnnnncbalim,1lim,0lim，则有（）.(A)成立对任意nbann(B)成立对任意ncbnn(C)不存在极限nnncalim(D)不存在极限nnncblim解析解析：由数列保号性可知，总存在正整数 N，当nN 时nnba，nncb 并不是任意n成立，(A)(B)错误；若nbnann,12，则01limlimncannnn，存在极限nnncalim；若2,1nbnann，则ncannnnlimlim，存在极限nnncalim，故(C)错误;，极限不存在nnncblim，故(D)正确;4.4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.说明：由此性质可知，若数列由两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散举 例：,2,111nxnn的 子 数 列，1lim12kkx；1lim2kkx，故,2,111nxnn发散！例例 3.3.【20152015 年数学三】年数学三】设 nx是数列，下列命题中不正确的是（）.(A)axxaxnnnnnn122limlim,lim则若(B)axaxxnnnnnnlim,limlim122则若(C)axxaxnnnnnn133limlim,lim则若(D)axaxxnnnnnnlim,limlim133则若基础精讲讲义（数学一）13解析解析：(A)数列 nx收敛于a，则子数列nx2，12 nx也收敛于a，(A)正确；(B)全部子数列nx2，12 nx收敛于a,则数列 nx也收敛于a，(B)正确；(C)数列 nx收敛于a，则子数列nx3，13 nx也收敛于a，(C)正确；(D)部分子数列nx3，13 nx收敛于a,而子数列23 nx不一定收敛于a，则数列 nx不一定收敛于a，(D)不正确；故选(B).三、函数极限的定义三、函数极限的定义数列极限是指随着n变化时数列值nx的变化趋势，从函数的观点来看数列，数列极限就是研究随着自变量n的增加函数值nx的变化规律.(1)x无限接近固定值0 x，用0 xx 来表示这一变化过程；(2)x从0 x的左侧（即小于0 x）无限接近0 x，用0 xx表示；(3)x从0 x的右侧（即大于0 x）无限接近0 x，用0 xx表示；(4)x的绝对值x无限增大，用x表示；(5)x小于零且绝对值x无限增大，用x表示；(6)x大于零且绝对值x无限增大，用x表示；1.1.0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义设函数)(xf在点0 x的某去心邻域内有定义，若0,0，当00 xx时，有 Axf，则称常数A为函数)(xf当0 xx 时的极限，记作 Axfxx0lim即lim0 =0,0,当,0 xUxo时，有 Axf几何解释：基础精讲讲义（数学一）142.2.0 xx时函数极限的定义时函数极限的定义设函数)(xf在点0 x的某右去心邻域内有定义，若0,0，当00 xx时，有 Axf，则称常数A为函数)(xf当0 xx时的右极限，记作 Axfxx0lim几何解释：3.3.0 xx时函数极限的定义时函数极限的定义设 函 数)(xf在 点0 x的 某 左 去 心 邻 域 内 有 定 义，若0,0，当00 xx时，有 Axf，则称常数A为函数)(xf当0 xx时的左极限，记作 Axfxx0lim几何解释：例 4.给定函数 000,1,0,1xxxxxsxf讨论0 x时)(xf的极限是否存在解：11limlim00 xxfxx基础精讲讲义（数学一）15 11limlim00 xxfxx xfx0lim振荡不存在.Axfxx0lim的充要条件是 Axfxx0lim且 Axfxx0lim.4.4.x时函数极限的定义时函数极限的定义设函数)(xf当x大于某一正数时有定义，若0,0X，当Xx 时，有 Axf，则称常数A为函数)(xf当x时的极限，记作 Axfxlim定义中Xx 表示XxXx或；Axf表示 AxfA.几何解释：5.5.极限与左右极限的关系极限与左右极限的关系(1)Axfxx0lim的充要条件是 Axfxx0lim且 Axfxx0lim.(2)Axfxlim的充要条件是 Axfxlim且 Axfxlim.6.6.初等函数的极限初等函数的极限在CCxx0lim(C 为常数)，112lim1xx，当00 x时00limxxxx.基础精讲讲义（数学一）16设)(xf是初等函数，且)(xf在0 x的某个邻域内有定义，则 00limxfxfxx.只要10 x，都有1111lim02020 xxxxxx四、函数极限的性质四、函数极限的性质1.1.局部有界局部有界如果 Axfxx0lim，则存在,0 xUo，在,0 xUxo上)(xf有界.几何解释：2.2.保号性定理保号性定理若 Axfxx0lim，且0A，则存在,0 xUo，使当,0 xUxo时，0)(xf.几何解释：3.3.保号性定理（通过函数值判断极限）保号性定理（通过函数值判断极限）若在0 x的某去心邻域内0)(xf，且 Axfxx0lim，则0A.4.4.海涅定理海涅定理在 Axfxx0lim成 立 的 充 要 条 件 是：对 任 意 收 敛 到0 x的 数 列 nx都 有基础精讲讲义（数学一）17Axfnnlim.例 5.分析Axx1sinlim0是否存在.解析：取数列nxn21，则0)2sin(limlimnxfnnn；若取数列221nyn，则1)22sin(limlimnyfnnn；由海涅定理可知xx1sinlim0振荡不存在.五、无穷小与无穷大的定义五、无穷小与无穷大的定义若0 xx（或x）时，函数 0 xf，则称函数 xf为0 xx（或x）时的无穷小无穷小.例如：01lim1xx，表示函数1x当1x时为无穷小；01limxx，表示函数x1当x时为无穷小；011limxx，表示函数x11当x时为无穷小.说明：除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小！定理（无穷小与函数极限的关系）定理（无穷小与函数极限的关系）lim0 =Axf，其中为0 xx 时的无穷小量.若任给0M，总存在0（正数 X），使对一切满足不等式00 xx（Xx）的x，总有 Mxf则称函数 xf当0 xx（或x）时为无穷大无穷大，记作基础精讲讲义（数学一）18 xfxx0lim（xfxx0lim）.若在定义中将式改为 Mxf（Mxf），则记作 xfxxx0lim（xfxxx0lim）注意：1.无穷大不是很大的数，它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大，必定无界，但反之不真！例如，函数,cosxxxxf，nnnf当22但nnf当02所以x时，xf不是无穷大！无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系定理定理.在自变量的同一变化过程中，若 xf为无穷大，则 xf1为无穷小；若 xf为无穷小，且 0 xf，则 xf1为无穷大；说明：说明：据此定理，关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.六、无穷小量的比较六、无穷小量的比较引例.0 x时，x3,2x,xsin都是无穷小，但03lim20 xxx，313sinlim0 xxx，20sinlimxxx可见无穷小趋于 0 的速度是多样的.设、是在同一个极限过程中的无穷小，0基础精讲讲义（数学一）19若0lim，则称是比高阶高阶的无穷小，记作 o；若lim，则称是比低阶低阶的无穷小；若0lim c，则称与是同阶同阶无穷小；若0lim ck，则称是的 k k 阶阶无穷小。若1lim，则称是与是等价等价无穷小，记作 或；例如：0limlim0230 xxxxx表明在 x 0 时，3是2的高阶无穷小量，2是3的低阶无穷小量，记为3=2；111limlim02320 xxxxxx故23xx 和2在 x 0 时是等价无穷小量，可记为3+22.例 5.当 x 0 时，下列式子中错误的是（）.(A)2=3(B)2=3(C)2+2=2(D)+2=2解析：(A)令=2，=3，则lim0=lim0 23=lim0 22=0，可知 2是比3高阶的无穷小，(A)正确；(B)令=2，=3，则lim0=lim0 23=lim0 22=0，可知 2是比3高阶的无穷小，(B)正确；基础精讲讲义（数学一）20(C)令=2+2，=2，则lim0=lim0 2+22=lim0 22+22=0，可知 2+2是比2高阶的无穷小，(C)正确；(D)令=+2，=2，则lim0=lim0 +22=lim0 2+22=lim0 20，可知 +2不能确定是2高阶的无穷小，(D)错误；故选择(D)七、等价无穷小量（常用的等价无穷小量）当 x 0 时，有sin;tan;arcsin ;arctan ;1;ln 1+;1+1 0;1 cos122;sin163;arcsin 163;可知 tan 133;arctan133.定理定理 =+证：证：lim=1lim 1=0,即 lim+=0 =，即=+例如例如，0 时，sin，tan，故 x 0 时，sin=+，tan=+.定理定理.设,且 lim存在，则lim=lim证：证：lim=lim=limlimlim=lim例如例如：lim0tan2sin5=lim02x5x=25.例例 6.6.求 lim0tansin3.解解：原式=lim0tan 1cos3=lim0 x1223=12.注意：原式 lim03例例 7.7.求 lim01+2131cos1.基础精讲讲义（数学一）21解解：当 x 0 时，1+213 1132，cos 1 122，所以，原式=lim0132122=23.1.31.3 极限的运算法则极限的运算法则一、无穷小运算法则一、无穷小运算法则定理定理.有限个无穷小的和还是无穷小.设 0时，1，2，是无穷小量，其中k是确定的正整数，则lim01+2+=0.定理定理.有限个无穷小的乘积是无穷小.设 0时，1，2，是无穷小量，其中k是确定的正整数，则lim01 2 =0.定理定理.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.设 0时，是无穷小量，在0的去心邻域内有界，则lim0 =0.例例 1 1.求limsin.解解：sin 1,lim1=0 limsin=0二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则定理.若 lim =,lim =，则有lim =lim lim =lim =lim lim =lim =lim lim=0例 2.若 lim 存在，lim 不存在，问 lim +是否存在？为什么？基础精讲讲义（数学一）22答：不存在.否则由 =+，利用极限四则运算法则可知 lim 存在，与已知条件矛盾.例例 3 3.求 lim111.解解：用根式有理化，原式=lim11+11=lim1+1=2.例例 4 4.求lim324+329.解解：原式=lim3313+3=lim31+3=26=13注意注意：本题是00型，解题方法是消去无穷小因子.例例 5 5.求lim12325+4.解解：=1 时，分母=0，分子 0，但因lim125+423=1251+4213=0 lim12325+4=.考虑lim0()（），其中 P（x）和 Q（x）是 x 的多项式，（1）当 Q（0）0 时，用代入法可得lim0()Q（x）=(0)Q（0）.（2）当 Q（0）=0 并且 P（0）0 时，lim0()Q（x）=.（3）Q（0）=P（0）=0 时，先将分子分母的公因式（x-0）约去以后再求极限.例例 6 6.求 lim423+952+21.解解：时，分子，分母，是型，解题方法是“抓大头”.分子分母同除以2，则原式=lim431+9125+2112=45考虑lim0+11+.+0+11+.+，（1）当 nm 时，lim0+11+.+0+11+.+=.基础精讲讲义（数学一）23例例 7 7：lim+(2+1-x)解解：原式=lim+2+1+=lim+112+1+1=12.例例 8 8：试确定常数 使得lim（31 3）=0.解解：令=1(变量替换)，0=lim031 13-=lim0331，所以lim033 1-a=0所以-1-a=0，即 a=-1.三、复合函数的极限三、复合函数的极限定理定理:设 lim0(x)=a,并且 x 满足 0|x-0|0，a0，limnxn.解解：因为+1=12（+）xnaxn=，+1=121+axn2121+=1.所以数列单调有下界，所以极限存在，设lim=，则由递推公式=12+基础精讲讲义（数学一）24A=a，因为10，所以0，limnxn=a.练习练习.已知1=1，+1=1+2(n=1,2,.)，求limnxn时下列做法是否正确，说明理由.设lim=,由递推式两边取极限得到=2+1，解得=1.分析分析：lim，所以题目中的分析方式不对！此处lim=.五、夹逼准则五、夹逼准则定理定理.(1)(2)（=1,2,.）lim=lim=lim=定理.当 U0,时，g ，且lim0()g =lim0()=lim0()=例 11.证明lim12+12+12+=1.证：22+12+12+12+0.解解：原式是型原式=lim+11=lim+1=0.例例 4 4.求lim 0,0.解解：n 为正整数的情形，原式是型原式=lim1=lim 1 22=lim!=0例 3，例 4 表明+时，ln，(0)，0后者比前者趋于+更快.二、其他未定式：二、其他未定式：，型型例 5.求 lim0+ln 0.解：原式是 0 型原式=lim0+ln=lim0+11=lim0+=0例 6.求 lim2sec tan.解：原式是 型原式=lim21cossincos=lim21sincos=lim2cossin=0例 7.求 lim0+.解：原式是 00型洛洛洛洛洛洛洛洛基础精讲讲义（数学一）27lim0+=lim0+ln=0=1.三、四则运算法则三、四则运算法则例 8.求 lim03sin+2cos11+cos ln 1+.解：原式=lim03+2cos12=lim03+cos12=32.例例 9 9.求 lim32+2 2 +1+.解解：令 =1，则原式=lim01+22+1+12=lim01+212 1+122=lim0 1+232+121+322=14.四、左右极限四、左右极限例 10.求 lim02+11+4+sin.解：左极限：lim02+11+4sin=lim02+11+4 lim0sin=2+01+0 1=1；右极限：lim0+2+11+4+sin=lim0+2+11+4+lim0+sin（lim0+2+11+4是型）方法一：令=1，则 lim0+2+11+4=lim+2+1+4=lim+44=lim+143=0，所以，原式=0+1=1；方法二：lim0+24+1314+1=01=0，所以，原式=1；故，原式左极限=右极限=1.洛洛洛洛基础精讲讲义（数学一）281 1.5 5 函数的连续性函数的连续性一、连续性的定义一、连续性的定义定义定义.设函数=在0的某邻域内有定义，且lim0 =0则称函数 在0连续.可见，函数 在点0连续必须具备下列条件：（1）在点0有定义，即 0存在；（2）极限lim0 存在；（3）lim0 =0.若 在某区间上每一点都连续，则称它在该区间上连续，或称它为该区间上的连续函数.定理定理.lim0 =0 0=0=0+例例 1 1.=sin1，+2，0 0，=时 为连续函数。解解：0=左极限：0=lim0sin1=0，无穷小量和有界函数的乘积是无穷小；右极限：0+=lim0+2=，由 为连续函数 0=0=0+=0.二、函数的间断点二、函数的间断点设 在点0的某去心邻域内有定义，则下列情形之一，函数 在0不连续：（1）函数 在0无定义；（2）函数 在0虽有定义，但lim0 不存在；（3）函数 在0虽有定义，且lim0 存在，但lim0 0，这样的点0称为间断点.间断点分类：左连续左连续右连续右连续基础精讲讲义（数学一）29第一类间断点：0及 0+均存在，若 0=0+，称0为可去间断点可去间断点.若 0 0+，称0为跳跃间断点跳跃间断点.第二类间断点：0及 0+中至少一个不存在，若其中有一个为，称0为无穷间断点无穷间断点.若其中有一个为振荡，称0为振荡间断点振荡间断点.例如例如：（1）=tan=2为无穷间断点.（2）=sin1=0 为振荡间断点.（3）=211=1 为可去间断点.（4）=，12，1=1显然lim1 =1 1=1 为可去间断点.（5）=1，0 0=1，0+=1=0 为其跳跃间断点.基础精讲讲义（数学一）30例例 2 2.讨论函数 =2123+2间断点的类型.解解：由分母不为零可知，原函数在间断点=1，=2 无定义，lim1+1112=lim1+12=2，=1 是可去间断点；lim2+1112=lim2+12=，=2 是无穷间断点.例 3.确定函数 =111.解：函数间断点为=0，=1.lim0 =，=0 为无穷间断点；当 x 1时，1+，0当 x 1+时，1，1故=1 为跳跃间断点，在 0，1 处，连续.三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性定理定理.在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为 0）运算，结果仍是一个在该点连续的函数.定理定理.连续单调递增函数的反函数也是连续单调递增.定理定理.连续函数的复合函数是连续的.例 1.设 与 g 均在，上连续，证明函数 =max ，g，=min ，g，也在，上连续.证：=12 g+g =12 +g g，根据连续函数运算法则，可知 ，也在在，上连续基础精讲讲义（数学一）31基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如例如，=1 2的连续区间为 1,1（端点为单侧连续）=lnsin的连续区间为 2,2+1 ，而=cos 1的定义域为=2，因此它无连续点例例 2 2.设 =2，12 ，1，=，1+4，1，讨论复合函数 的连续性.解解：=2，12 ，1=2，12 ，1，1 时 为初等函数，故此时连续；而lim1 =lim12=1，lim1+=lim1+2 =3，故 在点=1 不连续，=1 为第一类间断点.四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质最值定理最值定理定理定理 1 1.在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值.即：设 ,，则1，2,，使 1=min ，2=max .推论推论.在闭区间上连续的函数在该区间上有界.注意：若函数在开区间上连续，或在闭区间内有间断点，结论不一定成立.例如，=，0,1，无最大值和最小值.基础精讲讲义（数学一）32又如，=+1，0 11，=1+3，1 2，也无最大值和最小值.定理定理 2 2.（零点定理）,，且 0，1=2 01，0 lim0 0+0不存在，即 在=0 不可导.单侧导数定义定义 2.设函数=在点0的某个右（左）邻域内有定义，若极限 lim0+0=lim0+0 0+0存在，则称此极限值为 在0处的右（左）导数，记作：+00即+0=lim0+0+0.例如例如，=在=0 处有+0=+1，0=1基础精讲讲义（数学一）36定理定理.函数=在点0可导的充分必要条件是+0与0存在，且+0=0简写为f x 存在 f+x0=fx0若函数 在开区间，内可导，且+与 都存在，则称 在闭区间，上可导.例例 6.设 =sin,0,0，问取何值时，f x 在,+都存，并求出 .解解：显然该函数在=0 连续.0=lim0sin00=1，+0=lim0+00=，故=1 时，0=1，此时 在,+都存在，=cos,0，曲线过 0，0上升；若 0 0，则 arcsin =1sin=1cos=11sin2=112类似可求类似可求：arctan =11+2，arccot =11+2.例例 4.设=+，求其反函数的导数.解解：=1+，=1=11+三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理 3.=g 在点可导，=在点=g 可导 复合函数=g 在点可导，且=g .推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.例如例如，=，=，=关键关键：搞清复合函数结构，由外向内逐层求导.例例 5.设=lncos，求.解：=1cos sin =tan 思考思考：若 存在，如何求 lncos 的导数？=lncos lncos =注意：和 这两个记号含义不同；lncos=lncos.例 6.设=ln +2+1，求.基础精讲讲义（数学一）40解：=1+2+1 1+12 2+1 2=12+1重要公式：基本初等函数的导数公式重要公式：基本初等函数的导数公式例例 7.=+1 1+1+1，求.解解：先化简后求导 =22 212=2 1 =1 12 21 2=1 21.例例 8.设=+0，求.解解：=1+ln 1+ln ln例例 9.=sin2arctan2 1，求.解解：=sin2 cos2 2 arctan2 1+sin21212 21 2=2cos2sin2arctan2 1+1 21sin2关键：搞清复合函数结构，由内向外逐层求导关键：搞清复合函数结构，由内向外逐层求导例例 10.设=12arctan1+2+14ln1+2+11+21，求.解解：=1211+1+221+2+1411+2+11+211+211+2基础精讲讲义（数学一）41=121+212+212=12+31+2例例 11.设 =1 2 99，求 0.解解：方法 1.利用导数定义.0=lim0 00=lim0 1 2 99=99!方法 2.利用求导公式.=1 2 99+1 2 99 0=99!例例 12.设 =，其中 在=处连续，在求 时，下列做法是否正确？因 =+，故 =.正确解法正确解法：由于 =0，故 =lim =lim =lim =.例例 13.设=，其中=可导，求.解解：=.2.32.3 高阶导数高阶导数一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义定义定义.若函数=的导数=可导，则称 的导数为 的二阶导数，记作或22，即=或22=.类似的，二阶导数的导数称为三阶导数，依此类推，1 阶导数的导数称为阶导数，分别记作，4，或33，44，例例 1.设=，求.解解：=，=2，=3，=.特别有：=.例例 2.设=ln 1+，求.基础精讲讲义（数学一）42解解：=11+，=11+2，=12121+2，=111!1+，注意：规定 0!=1.例例 3.设=sin，求.解解：=cos=sin +2，=cos +2=sin +2+2=sin +2 2，=cos +2 2=sin +3 2，=sin +2.一般地，sin=sin +2，类似可证：cos=cos +2例例 4.已知 任意阶可导，且 =2，则当 2 时，=!+1.提示提示：=2 =2!3，=2!3 2 =3!4，=!+1.例例 5.设 =33+2，求使0 存在的最高阶数=.分析分析：=23,043,0 0=lim0230=0，+0=lim0+430=0 =62,0122,0；又0=lim0620=0，+0=lim0+1220=0 =12,0，0，1两边取对数?ln=ln+ln ln+ln ln两边对求导?=ln+=ln+又如又如，=1234两边取对数?ln=12ln 1+ln 2 ln 3 ln 4两边对求导?=1211+121314=12123411+121314例例 4.设=由方程+=确定，求 0，0.解解：方程两边对求导，得+=0，再求导，得2+2=0，当=0 时，=1，故由得 0=1，代入得 0=12.二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数基础精讲讲义（数学一）46若参数方程=可确定一个与之间的函数关系，可导，且 2+2 0，则=1=22=1=21=3注意注意：已知=，22 .例例 5.设=，且 0，求22.解解：=，22=1 例例 6.设=32+2sin +1=0，求=0.解解：方程组两边同时对求导，得=6+2sin+cos=0?=cos1 sin=0=0=cos1 sin6+2=0=2内容小结：内容小结：1.隐函数求导法则直接对方程两边求导；2.对数求导法：适用于幂指函数及某些用连乘，连除表示的函数；3.参数方程求导法求高阶导数时，从低到高每次都用参数方程求导公式.基础精讲讲义（数学一）472.52.5 函数的微分函数的微分一、微分的概念一、微分的概念定义定义：若函数=在点0的增量可表示为=0+0=+(为不依赖于的常数)则称函数=在点0可微，而称为 在点0的微分，记作或，即=也称为=0+0的线性主部.定理定理：函数=在点0可微的充要条件是=在点0处可导，且=0，即=0证证：“必要性”