2007年数学三真题答案解析【公众号“不易学长”持续更新中】.pdf

一、选择题一、选择题(1)【答案】B【详解】方法方法 1：排除法：由几个常见的等价无穷小，当0 x 时，11;11;2xexxx2221 cos2sin2(),222xxxx当0 x时，此时0 x，所以11();11;2xexxx211 cos(),2xx可以排除A、C、D，所以选(B).方法方法 2：1ln1xx1ln1xxxxln11xxx当当0 x时，11x，01xxx，又因为0 x 时，ln 1xx，所以ln11 11xxxxxxxxxxx，选（B）.方法方法 3：0001111ln()ln()()1111limlimlim12xxxxxxxxxxxxxx洛2001111211221limlim1112xxxxxxxxxxxxxx 设2211111xxxABxxxx，则11422AxBxxxx x对应系数相等得：2,1Ax B，所以原式0022121limlim1111xxxxxxxxxx 0021limlim0 111xxxxx1，选(B).2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析(2)【答案】D【详解】方法方法 1：论证法，证明,A B C都正确，从而只有D不正确。由0()limxf xx存在及()f x在0 x 处连续，所以0(0)lim()xff x0000()()()limlimlim0 limxxxxf xf xf xxxxxx 0，所以(A)正确；由选项(A)知，(0)0f，所以00()(0)()limlim0 xxf xff xxx存在，根据导数定义，0()(0)(0)lim0 xf xffx存在，所以(C)也正确；由()f x在0 x 处连续，所以()fx在0 x 处连续，从而000lim()()lim()lim()(0)(0)2(0)xxxf xfxf xfxfff0000()()()()()()2(0)limlimlim0 lim0 xxxxf xfxf xfxf xfxfxxxxx，即有(0)0f，所以(B)正确，故此题选择(D).方法方法 2：举例法，举例说明(D)不正确。例如取()f xx，有00()()limlim00 xxxxf xfxxx 存在而 0000limlim100 xxf xfxxx ，0000limlim100 xxf xfxxx，左右极限存在但不相等，所以()f xx在0 x 的导数(0)f不存在。(D)不正确，选(D).(3)【答案】C【详解】由题给条件知，()f x为x的奇函数，则()()fxf x，由0()(),xF xf t dt知000()()()()()()()()xxxFxf t dttufu dufuf uf u duF x 令因为，故()F x为x的偶函数，所以(3)(3)FF.而20(2)()Ff t dt表示半径1R 的半圆的面积，所以220(2)()22RFf t dt，323002(3)()()()Ff t dtf t dtf t dt，其中32()f t dt表示半径12r 的半圆的面积的负值，所以22321()2228rf t dt 所以2302333(3)()()(2)2884 24Ff t dtf t dtF所以3(3)(3)(2)4FFF，选择 C(4)【答案】B【详解】画出该二次积分所对应的积分区域:2sin1Dxxy，交换积分次序，则积分区域可化为：:01,arcsinDyyx所以11sin0sin2(,)(,)xarcydxf x y dydyf x y dx，所以选择(B).(5)【答案】D【详解】()21.()160280Q PPPPQ PPP需求弹性若180PP，80PP，无意义；若180PP，解得：40.P 所以选(D)(6)【答案】D【详解】因为001limlimln(1)xxxyex001limlimln(1)xxxex，所以0 x 是一条铅直渐近线；因为1limlimln(1)xxxyex-1limlim ln(1)000 xxxex ，所以0y 是沿x 方向的一条水平渐近线；令21ln(1)1ln(1)limlimlimxxxxxeyexaxxxx21ln(1)limlimxxxexx10lim11xxxee 洛必达法则令1limlimln(1)xxxbya xexx1limlim ln(1)xxxexxln0lim ln(1)lnxxxxxeee 1lim ln()xxxeelim ln(1)ln10 xxe所以yx是曲线的斜渐近线，所以共有 3 条，选择(D)(7)【答案】A【详解】方法方法 1：根据线性相关的定义，若存在不全为零的数123,k k k，使得1122330kkk成立，则称123,线性相关.因122331()()()0，故122331，线性相关，所以选择(A).方法方法 2：排除法因为122331,1231232101,110,011C 其中2101110011C，且2101110011C1 1101111(1)2011111011 行行（）1 1 11 （）20.故2C是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积，2C右乘123,时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有122331123(,)(,)3rr 所以122331,线性无关，排除(B).因为1223312,2,2 1231233102,210,021C 其中3102210021C，3102210021C 1 1102141014121021 行 2+2行（）1 124 （）（）=-70.故3C是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积,3C右乘123,时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有122331123(2,2,2)(,)3rr 所以1223312,2,2 线性无关，排除(C).因为1223312,2,2 1231234102,210,021C 其中4102210021C，4102210021C1 1102141(2)2014121021 行行（）1 124 （）90.故4C是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积,4C右乘123,时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有122331123(2,2,2)(,)3rr 所以1223312,2,2 线性无关，排除(D).综上知应选(A).(8)【答案】B【详解】方法方法 1：211121112EA112 312112、列分别加到 列111121112 提出11111030112 行（）+2行11111030003 行（）+3行1 130103（）230则的A特征值为 3，3，0;B是对角阵，对应元素即是的特征值，则B的特征值为1，1，0.,A B的特征值不相同，由相似矩阵的特征值相同知，AB与不相似.由,A B的特征值可知，,A B的正惯性指数都是 2，又秩都等于 2 可知负惯性指数也相同，则由实对称矩阵合同的充要条件是有相同的正惯性指数和相同的负惯性指数，知A与B合同，应选(B).方法方法 2:因为迹(A)=2+2+2=6，迹(B)=1+1=26，所以 A 与 B 不相似(不满足相似的必要条件)。又2(3)EA，2(1)EB，A 与 B 是同阶实对称矩阵，其秩相等，且有相同的正惯性指数，故 A 与 B 合同。(9)【答案】C【详解】把独立重复射击看成独立重复试验.射中目标看成试验成功.第4次射击恰好是第2次命中目标可以理解为：第4次试验成功而前三次试验中必有1次成功，2次失败.根据独立重复的伯努利试验，前3次试验中有1次成功2次失败.其概率必为123(1).C pp再加上第4次是成功的，其概率为p.根据独立性原理：若事件1,nAA独立，则 1212nnP AAAP A P AP A所以，第4次射击为第二次命中目标的概率为12223(1)3(1).C ppppp所以选(C)(10)【答案】A【详解】二维正态随机变量(,)X Y中，X与Y的独立等价于X与Y不相关.而对任意两个随机变量X与Y，如果它们相互独立，则有(,)()()XYf x yfx fy.由 于 二 维 正 态 随 机 变 量(,)X Y中X与Y不 相 关，故X与Y独 立，且(,)()()XYf x yfx fy.根据条件概率密度的定义，当在Yy条件下，如果()0,Yfy 则(,)(|)()X YYf x yfx yfy()()()()XYXYfx fyfxfy.现()Yfy显然不为 0，因此(|)().XX Yfx yfx所以应选(A).二、填空题二、填空题(11)【答案】0【详解】方法方法 1：由洛必达法则，3231lim2xxxxx2223262limlim2 ln2 32ln26xxxxxxxxx 36lim0,2 ln26xx 而1sin1x，1cos1x，所以(sincos)xx是有界变量，根据无穷小量乘以有界量仍是无穷小量，所以3231lim(sincos)0.2xxxxxxx方法方法 2：3231lim(sincos)2xxxxxxx313331lim(sincos)21xxxxxxxxx133311lim(sincos)lim(sincos)2121xxxxxxxxxxxx而3lim 2xxx23222 ln22(ln2)limlimlim36xxxxxxxxx 32(ln2)lim6xx，所以323311lim(sincos)lim(sincos)0221xxxxxxxxxxxx(12)【答案】1(1)2!3nnnn【详解】112323yxx，1 11 111(1)232(1)1!223yxxx ，32 1222(1)(2)223(1)2!223,yxx 由数学归纳法可知1()(1)2!23,nnnnynx 把0 x 代入得()1(1)2!(0)3nnnnny(13)【答案】122()yxffxy【详解】121221xyyzyxffffxxxxy，12xyyzxffyyy1221xffxy 所以12122211zzyxxyxffy ffxyxyxy 1212yxyxffffxyxy 122()yxffxy(14)【答案】1 lnxx【详解】典型类型按标准解法.令yux，有,d uxdyduduuxxuxdxdxdxdx原方程化为31,2duuxuudx即32,dudxux 此式为变量可分离的微分方程，两边积分，32dudxux 121ln xCu 得21ln xCu，即22ln|xxCy由11xy知应取0,0 xy且1,C 所以得特解1 lnxyx(15)【答案】1【详解】20 1 0 00 1 0 00 0 1 00 0 1 00 0 1 00 0 0 10 0 0 10 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0A320 0 1 00 1 0 00 0 0 10 0 0 10 0 1 00 0 0 00 0 0 00 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0AAA由阶梯矩阵的行秩等于列秩，其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数，知31.r A(16)【答案】3 4【详解】不妨假定随机地抽出两个数分别为XY和，它们应是相互独立的.如果把,X Y（）看成平面上一个点的坐标，则由于01,01,XY所以,X Y（）为平面上正方形：01,01XY中的一个点.XY和两个数之差的绝对值小于12对应于正方形中12XY的区域.所有可能随机在区间(0,1)中随机取的两个数,X Y，可以被看成上图中单位正方形里的点.12XY的区域就是正方形中阴影的面积D.根据几何概率的定义：211 213.214DPXY的面积单位正方形面积三、解答题三、解答题(17)【详解】讨论曲线()yy x的凹凸性，实际上就是讨论y的符号，而()yy x是由方程ln0yyxy确定，所以实际上就是求隐函数的二阶导数并讨论其符号.对方程两边求导得1ln1ln210yyyyyyyyy 移项得12lnyy 再两边求导得223ln12ln2ln2lnyyyyyyyy 在(1，1)点的值131101(2ln1)8xy ，又由y在1y 的附近连续，所以在1y 的附近0y，曲线为凸.(18)【详解】由区域的对称性和被积函数的奇偶性有1xOD11212y1(,)4(,)DDf x y df x y d其中1D为D在第一项限的部分，而11112(,)(,)(,)DDDf x y df x y df x y d其中，11(,)|01,01Dx yyxx，12(,)|12,0,0Dx yxyxy(如下图所示).因为11111112220001(,)(1)12xDDf x y dx ddxx dyxx dx1212221(,)DDf x y ddxy22sincos2100sincos12ln(21)sincosddrd所以11(,)42ln(21)4 2ln(21)123Df x y d(19)【详解】(I)设(),()f x g x在(,)a b内的最大值为M，则存在(,),(,)a ba b(不妨设)，使()()fMg.当时，取(,)a b，有()()fg；当时，令()()()h xf xg x，则D12D11-2-1O12x()()()()0hfgMg，()()()()0hfgfM，则由介值定理知，存在,(,)a b，使得()0h，即()()fg.(II)因为()()()0h af ag a，()0h，()()()0h bf bg b，则由罗尔定理知，存在1(,)a，2(,)b，使得12()()0hh.再由罗尔定理知，存在12(,)(,)a b，使得()0h，即()()fg.(20)【详解】211111()()34(4)(1)541f xxxxxxx111()51 31 2xx 记111111 331313xxx ，因为0111nnqqq所以01111111 333313nnxxx ，其中11133xx 同理11111111 2221122xxx 0011111,2222nnnnnxx其中11122xx 所以，21()34f xxx展开成1x的幂级数为：110001111111(1)()()(1)()(1)53322532nnnnnnnnnnxxf xx，其中12x，即13x(21)【答案】当1a 时，公共解为0,1,1T；当2a 时公共解为0,1,1T【详解】方法方法 1：因为方程组(1)、(2)有公共解，将方程组联立得1231232123123020(3)4021xxxxxaxxxa xxxxa对联立方程组的增广矩阵作初等行变换211 10120()140121aA baa211100110112140121aaa 行（）行2111001101130310121aaa 行（）行21110011011403100101aaa 行（）行2111000111203100101aaaa 4行（）行21110001133001330101aaaaa 4行（）行211100101001100133aaaaa 换行111001013-140011000(1)(2)aaaaaa行（）行由此知，要使此线性方程组有解，a必须满足(1)(2)0aa，即1a 或2a.当1a 时，()2r A，联立方程组(3)的同解方程组为123200 xxxx，由()2r A，方程组有321nr个自由未知量.选1x为自由未知量，取11x，解得两方程组的公共解为1,0,1Tk，其中k是任意常数.当2a 时,联立方程组(3)的同解方程组为12323001xxxxx，解得两方程的公共解为0,1,1T.方法方法 2：将方程组(1)的系数矩阵A作初等行变换211 11214Aaa211 111201114aa 行（）行2111113011031aa 行（）行1113301100(1)(2)aaa 2行（）行当1a 时，()2r A，方程组(1)的同解方程组为123200 xxxx，由()2r A，方程组有3 2 1n r 个自由未知量.选1x为自由未知量，取11x，解得(1)的通解为1,0,1Tk，其中k是任意常数.将通解1,0,1Tk代入方程(2)得0()0kk ，对任意的k成立，故当1a 时，1,0,1Tk是(1)、(2)的公共解.当2a 时，()2r A，方程组(1)的同解方程组为1232300 xxxxx，由()2r A，方程组有321nr个自由未知量.选2x为自由未知量，取21x，解得(1)的通解为0,1,1T,其中是任意常数.将通解0,1,1T代入方程(2)得21，即1，故当2a 时，(1)和(2)的公共解为0,1,1T.(22)【详解】(I)由11A，可得111111()kkkAAAA，k是正整数,故5311(4)BAAE531114AAE111142 于是1是矩阵B的特征向量(对应的特征值为12).若Axx，则()(),mmkA xkx A xx因 此 对 任 意 多 项 式()f x，()()f A xfx，即()f是()f A的特征值.故B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到，A的特征值11,22,32,则B有特征值112233()2,()1,()1,fff 所以B的全部特征值为2，1，1.由A是实对称矩阵及B与A的关系可以知道，B也是实对称矩阵，属于不同的特征值的特征向量正交.由前面证明知1是矩阵B的属于特征值12 的特征向量，设B的属于 1 的特征向量为123(,)Tx x x，1与123(,)Tx x x正交，所以有方程如下：1230 xxx选23,x x为自由未知量，取23230,11,0 xxxx和，于是求得B的属于 1 的特征向量为223(1,0,1),(1,1,0)TTk故B的所有的特征向量为：对应于12 的全体特征向量为11k，其中1k是非零任意常数，对应于231的全体特征向量为2233kk，其中23,k k是不同时为零的任意常数.()方法方法 1：令矩阵123111,101110P ，求逆矩阵1P.11110010101011000111110012012110110001行行11110013012110021101行行1111003012110003121 行 2行11 110011 110033 01 211001 01/31/32/30011/3 2/3 1/30011/32/31/3 行3行(-2)+2行1102/32/31/30101/31/32/30011/32/31/3 3行(-1)+1行1001/31/31/30101/31/32/30011/32/31/3 2行(-1)+1行1001/31/31/30101/31/32/30011/32/31/3 2行(-1)则1P1/31/31/311111/31/32/311231/32/31/3121 由1(2,1,1)P BPdiag，所以11112001111(2,1,1)1010101123110001121BP diagP1112220331110111230333110121330011101110方法方法 2：由()知1与23,分别正交，但是23和不正交，现将23,正交化：取22331221111,(1,1,0)(,0,)(,1,)2222k.其中，3212222(,)1(1)11(1,0,1)(,0,)(,)(1)(1)1 122Tk 再对1,23,单位化：312123123112 11(1,1,1),(1,0,1),(,1,)22323其中，222222221231131(1)13,(1)12,()1()222 合并成正交矩阵，记112322 312033112322 3Q由1(2,1,1)Q BQdiag，有1(2,1,1)BQ diagQ.又由正交矩阵的性质：1TQQ，得112111322 33332001211(2,1,1)0010033220012221122 332 3322 3TBQ diagQ112222322 333312110033222221122 332 3322 3011101110.(23)【详解】计算2P XY可用公式22(,)xyP XYf x y dxdy求ZXY的概率密度()Zfz：可用两个随机变量和的概率密度的一般公式求解.(卷积公式)()(,)(,).Zfzf zy y dyf x zx dx此公式简单，但讨论具体的积分上下限会较复杂.另一种方法可用定义先求出(),ZF zP ZzP XYz然后再()()ZZfzFz.(I)2(2)DP XYxy dxdy，其中D为01,01xy中2xy的那部分区域(右图阴影部分)；求此二重积分可得112002(2)xP XYdxxy dy1205()8xxdx724()方法方法 1：根据两个随机变量和的概率密度的卷积公式有()(,).Zfzf x zx dx先考虑被积函数(,)f x zx中第一个自变量x的变化范围，根据题设条件只有当01x 时(,)f x zx才不等于 0.因此，不妨将积分范围改成10()(,).Zfzf x zx dx现再考虑被积函数(,)f x zx的第二个变量zx.显然，只有当01zx时，(,)f x zx才不等于 0.且为2()2.xzxz为此，我们将z分段讨论.1xyOD112因为有01zx，即是1,xzx 而x的取值范围是(0,1)，所以使得(,)f x zx不等于0的z取值范围是(0,2如下图，在01x情况下，在阴影区域1D和2D，密度函数值不为 0，积分方向如图所示，积分上下限就很好确定了，所以很容易由卷积公式得出答案。0z 时，由于01x，故0zx，故()0;Zfz 01z时，20()22;zZfzz dzzz12z时，11()2Zzfzz dz244;zz2z时，由于01x，故1zx，故()0.Zfz 总之，222,01()44,120,Zzzzfzzzz其他方法方法 2：()ZFzP ZzP XYz当0z 时，()0ZFz；当2z 时，()1ZFz；当01z时，0032()(2)13zz xZFzdxxy dyzz 当12z时，1132115()1(2)2433Zzz xFzdxxy dyzzz 所以222,01()()44,120,ZzzzfzF zzzz其他(24)【答案】的矩估计量为122X；24X不是为2的无偏估计量.1zxO1D21xz 2Dxz积分方向11xyz1xyO2D112xyzz1D01xyz【详解】本题中只有唯一参数，则在求矩估计的时候，只要令样本均值X等于总体的期望()E X就可以求得了；而判断24X是否为2的无偏估计量，只要判断22(4)EX是否成立即可.(I)记()E X，则由数学期望的定义，有10()22(1)xxE Xdxdx1142样本均值11niiXXn，用样本均值估计期望有EXX即是令1142，解出122，因此参数的矩估计量为122X；(II)只须验证2(4)EX是否为2即可，而由数学期望和方差的性质，有22221(4)4()4()4()EXE XDXEXDXEXn，而11()42E X，221()(12)6E X，22251()()()481212D XE XEX，于是222533131(4)1233nnnEXnnn因此24X不是为2的无偏估计量.