2023高中预备知识讲义0222【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

1 高中预备知识高中预备知识 目目 录录 第一部分第一部分 函数函数 .2 2 第一节 函数的定义与性质.2 第二节 基本初等函数.4 第三节 指数、对数以及三角函数的运算.9 第四节 函数求导.13 第二部分第二部分 一元二次方程与一元多次方程一元二次方程与一元多次方程 .1616 第一节 一元二次函数.16 第二节 一元二次方程.16 第三节 一元多次方程.18 第三部分第三部分 平面解析几何与不等式平面解析几何与不等式 .2020 第一节 平面解析几何.20 第二节 常见不等式.22 第四部分第四部分 复数、数列、排列组合、逻辑证明复数、数列、排列组合、逻辑证明 .2323 第一节 复数.23 第二节 数列.24 第三节 排列与组合.27 第四节 逻辑推理与证明.28 例题答案例题答案 .3232 2 第一第一部分部分 函数函数 第一节第一节 函数的定义与性质函数的定义与性质 一、一、函数的定义函数的定义 设是一个非空的实数集，如果有一个对应规则，对每一个，都能对应唯一的一个实数，则这个对应规则称为定义在上的一个函数，记以，称x为函数的自 变 量，y为 函 数 的 因 变 量 或 函 数 值，称 为 函 数 的 定 义 域，并 把 实 数 集称为函数的值域.判断是否为同一个函数，只需要找两个条件：第一，看定义域是否相同；第二，看对应法则是否相同.如果满足以上两点，则一定是同一个函数.【例【例 1】圆的方程221xy+=是函数吗？【例【例 2】2()lnf xx=与()2lng xx=是同一个函数吗？二、二、函数的性质函数的性质 1、函数的有界性函数的有界性 设函数()yf x=在内有定义，若存在正数，使都有，则称在上是有界的.2、函数的奇偶性函数的奇偶性 设区间关于原点对称，若对，都有，则称在上是奇函数；若对，都有，则称在上是偶函数.【注【注 1】偶函数图像关于y轴对称，奇函数图像关于原点对称；【注【注 2】奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；奇函数+偶函数=非奇非偶函数.奇函数 奇函数=偶函数；偶函数 偶函数=偶函数；DfDxyfD()xfy=D()DxxfyyZ=,XMXx()Mxf()xfXXXx()()xfxf=()xfXXx()()xfxf=()xfX3 奇函数 偶函数=奇函数.【例【例 3】判断下列函数的奇偶性（1）2211xyx=+（2）233yxx=（3）sincos1yxx=+（4）2xxaay+=（5）(1)(1)yx xx=+3、函数的周期性函数的周期性 设在上有定义，如果存在常数，使得任意，都有，则称是周期函数，称为的周期.由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期.【例【例 4】下列函数哪些是周期函数，对于周期函数，指出其最小正周期.2(1)cos(2)(2)cos4(3)1 sin(4)cos(5)sin.yxyxyxyxxyx=+=【例【例 5】函数sin()32xy=的最小正周期是（）.（A）（B）2 （C）4 （D）4 4、函数的单调性函数的单调性 设在上 有 定 义，若 对 任 意，都 有，则称()xf在上是单调增加的单调减少的；若对任意，都有，则称在上是单调不减单调不增.设函数()xf在()ba,内可导，如果恒有()0 xf()0则()xf在()ba,内单调增加（单调减少）；如果恒有()0 xf()0，则()xf在()ba,内单调不减（单调不增）【例【例 6】证明：当0 x 时，()2ln 12xxx+.()xfX0TXxXTx+()()xfTxf=+()xfT()xf()xfXXx 1Xx 221xx()()()()2121xfxfxfxfXXx 1Xx 221xx()()()()2121xfxfxfxf()xfX4 【例【例 7】设函数,则是（）（A）偶函数 （B）无界函数 （C）周期函数 （D）单调函数 三、三、复合函数复合函数 设函数()yf u=的定义域是fD,函数()ux=的定义域是D,值域是R.若fRD，则称函数()()yfx=为复合函数，它的定义域是().fx xDxD且 u称为中间变量，x称为自变量.【例【例 8】指出下列函数是由哪些函数复合得到的?(1)lncos;yx=2(2)tan(1);xye=+【例【例 9】设()f x的定义域为0,1，求2()f x与(sin)fx的定义域.第二节第二节 基本初等函数基本初等函数 一、一、幂函数幂函数ayx=（a为常数）为常数）1.当当a为正整数时为正整数时【1】定义域：(,)+；值域：a为奇数时(,)+；a为偶数时0,)+【2】有界性：无界；a为偶数时有下界【3】奇偶性：a为奇数时，奇函数；a为偶数时，偶函数 sin()tanxf xxx e=()f x5 【4】周期性：非周期函数【5】单调性：a为奇数时，单调递增；a为偶数时，(,0)单调递减，(0,)+单调递增 2.当当a为负整数时为负整数时【1】定义域：(,0)(0,)+；值域：a为奇数时(,0)(0,)+；a为偶数时(0,)+【2】有界性：无界；a为偶数时有下界【3】奇偶性：a为奇数时，奇函数；a为偶数时，偶函数【4】周期性：非周期函数【5】单调性：a为奇数时，(,0)单调递减，(0,)+单调递减 a为偶数时，(,0)单调递增，(0,)+单调递减 3.当当a为正有理数为正有理数1n时时【1】定义域：n为奇数时，(,)+；n为偶数时0,)+值域：n为奇数时(,)+；n为偶数时0,)+例如yx=定义域为0,)+，值域为0,)+；3yx=定义域为(,)+，值域为(,)+.二、二、指数函数指数函数xya=（a为常数且为常数且0,1aa）【1】定义域：(,)+；值域：(0,)+6 【2】有界性：有下界，整体无界【3】奇偶性：非奇非偶函数【4】周期性：非周期函数【5】单调性：1a 时，单调递增；01a时，单调递减.三、三、对数函数对数函数logayx=（a为常数且为常数且0,1aa）【1】定义域：(0,)+；值域：(,)+【2】有界性：无界【3】奇偶性：非奇非偶函数【4】周期性：非周期函数【5】单调性：1a 时，单调递增；1a 时，单调递减.常用对数 自然对数.xxylglog10=xxyelnlog=7 四、四、三角函数三角函数 1.正弦函数正弦函数，余弦函数余弦函数，【1】定义域：(,)+；值域：1,1【2】有界性：有界【3】奇偶性：sinyx=，奇函数；cosyx=，偶函数【4】周期性：2T=【5】单调性：sinyx=：22x时，单调递增；cosyx=：0 x时，单调递减.2.正切函数正切函数，余切函数余切函数，；【1】定义域：tanyx=的定义域为；cotyx=的定义域为，；值域：(,)+【2】有界性：无界【3】奇偶性：奇函数 xysin=),(+x 1,1yxycos=),(+x 1,1yxytan=2+kxkZ),(+yxycot=kx kZ),(+y2+kxkx kZ8 【4】周期性：T=【5】单调性：tanyx=：22x时，单调递增；cotyx=：0 x时，单调递减.3.正割函数正割函数，定义域为2xk+,kZ.值域为(,11,)y +.余割函数余割函数，定义域为,.xkkZ值域为(,11,)y +.五、五、反三角函数反三角函数 1.反正弦函数反正弦函数，反余弦函数反余弦函数，【1】定义域：1,1 值域：arcsin:,;arccos:0,2 2yx yyx y=【2】有界性：有界【3】奇偶性：arcsinyx=：奇函数；arccosyx=：非奇非偶函数.【4】周期性：非周期函数 【5】单调性：arcsinyx=：单调递增；arccosyx=:单调递减.2.反正切函数反正切函数，xysec=xycsc=xyarcsin=1,1x2,2yxyarccos=1,1x,0yxyarctan=),(+x)2,2(y9 反余切函数反余切函数，【1】定义域：(,)+值域:arctan:(,);arccot:(0,)2 2yx yyx y=【2】有界性：有界【3】奇偶性：arctanyx=：奇函数；arccotyx=：非奇非偶函数.【4】周期性：非周期函数 【5】单调性：arctanyx=：单调递增；arccotyx=：单调递减.【例【例 1】求下列函数的定义域（1）211yxx=；（2）sinyx=；（3）tan(1)yx=+【例【例 2】设()f x的定义域为0,1，求(e),(ln),(arctan),(cos)xffxfxfx的定义域.【例【例 3】下列函数在(0,)+上是增函数的是（）（A）3xy=（B）2yx=（C）lnyx=（D）yx=第三节第三节 指数、对数以及三角函数的运算指数、对数以及三角函数的运算 一、一、指数运算指数运算（a为常数且为常数且0,1aa）（1）mnm na aa+=，mm nnaaa=xycotarc=),(+x),0(y10 （2）)(mnm naa=（3）)(mmmabab=（4）()mmmnnnaaa=（5）1mnmnaa=【例【例 1】计算：（1）238（2）12253）38 【例【例 2】化简32232733a baba b.二、二、对数运算对数运算logayx=（0,1,0,0aaMN）（1）log()loglogaaaMNMN=+（2）log()loglogaaaMMNN=（3）loglogbaaMbM=（4）lnlnbbabaaee=【例【例 3】化简23lnxyz.【例【例 4】若sin,(01)xAyxexx=且，则A=_.三、三、三角函数相关公式三角函数相关公式 1.三角函数的定义三角函数的定义 11 （1）sincos=对边正弦余弦斜边邻边：；：斜边（2）tancot=对边邻边正切余切邻边对边：；：（3）11seccsccossin=斜边斜边正割余割邻边对边：；：2.同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 倒数关系：sincsc1=，cossec1=，tancot1=商数关系：sintancos=，coscotsin=平方关系：22sincos1+=，221tansec+=，221 cotcsc+=3.特殊角度的三角函数值特殊角度的三角函数值（1）133sin,cos,tan626263=（2）31sin,cos,tan332323=（3）22sin,cos,tan142424=4.三角函数的诱导公式：三角函数的诱导公式：（1）sin(2)sincos(2)costan(2)tancot(2)cotkkkk+=+=+=+=（2）sin()sincos()costan()tancot()cot=（3）sin()sincos()costan()tancot()cot+=+=+=+=（4）sin()sincos()costan()tancot()cot=（5）sin(/2)coscos(/2)sintan(/2)cotcot(/2)tan+=+=+=+=（6）sin(/2)coscos(/2)sintan(/2)cotcot(/2)tan=9.和角公式和差角公式和角公式和差角公式 12 ()sinsincoscossin+=+()sinsincoscossin=()coscoscossinsin+=()coscoscossinsin=+()tantantan1 tantan+=()tantantan1tantan=+5.辅助角公式辅助角公式()22sincossinaxbxabx+=+，其中22sinbab=+，22cosaab=+，tanba=6.倍角公式倍角公式（1）sin22sincos=（2）2222cos2cossin2cos112sin=（3）22tantan21tan=（4）21 cos2cos2+=（5）21 cos2sin2=（6）1 cos2sin2tansin21 cos2=+7.万能公式万能公式 22tan2sin1tan2xxx=+，221tan2cos1tan2xxx=+，22tan2tan1 tan2xxx=8.和差化积公式与积化和差公式和差化积公式与积化和差公式（1）sinsin2sincos22+=（2）sinsin2cossin22+=13 （3）coscos2coscos22+=（4）coscos2sinsin22+=（5）()()1sincossinsin2=+（6）()()1coscoscoscos2=+（7）()()1cossinsinsin2=+（8）()()1sinsincoscos2=+【例【例 5】利用万能公式化简csc1csccot1xxx+【例【例 6】设tan,(0,),2xu u=将2sintanln(seccos)uuuuu+化为x的函数.第第四四节节 函数求导函数求导 一一、常用导数公式常用导数公式(1)()0c=（c为常数）(2)()1xx=（为实常数）(3)()sincosxx=(4)()cossinxx=(5)()2tansecxx=(6)()2cotcscxx=(7)()secsec tanxxx=(8)()csccsc cotxxx=(9)(10)(11)(12)()eexx=(13)(14)()axxaln1log=()1,0aa()xx1ln=()aaaxxln=()1,0aa()211arcsinxx=()211arccosxx=14 (15)(16)()21arccot1xx=+求导法则求导法则()()()()u xv xuxv x=()()()()()()u xv xux v xu x v x=+()()()()()()()2u xux v xu x v xv xvx=()()0v x 【例【例 1】求下列函数的导数.(1)223x+;(2)xxae+;(3)sin cosxx;(4)tanaxxxe+;【例【例 2】设()sinf xxx=则=（）（A）-1 （B）n （C）1 （D）0 二、导数的几何意义二、导数的几何意义 如果函数()yf x=在点0 x处导数0()fx存在,则在几何上0()fx表示曲线()yf x=在点()00,()xf x处的切线的斜率.切线方程：000()()()yf xfxxx=法线方程：00001()(),()0)()yf xxxfxfx=.【例【例 3】函数1()f xx=在点(1,1)处切线方程为（）（A）2yx=+（B）yx=（C）1yx=+（D）yx=()211arctanxx+=)0(),()2)(1()(fnxxxxxf+=求15 【例【例 4】求函数sinyx=在点3,32处的切线和法线方程.三三、复合函数求导复合函数求导 设()yf u=,()ux=,如果()x在x处可导,()f u在对应点u处可导,则复合函数()yfx=在x处可导,且有ddd()()dddyyufxxxux=.【例【例 5】求下列函数的导数.(1)lncos;yx=2(2)tan(1);xye=+()(3)arcsin1;yx=+21(4).yx=16 第二第二部分部分 一元二次方程一元二次方程与与一元多次方程一元多次方程 第一节第一节 一元二次函数一元二次函数 1.一元二次函数的定义一元二次函数的定义 如果222424bacbyaxbxca xaa=+=+(0)a，那么y叫做x的一元二次函数.2.性质性质（1）图像是一条抛物线，顶点坐标24,24bacbaa，对称轴2bxa=.（2）当0a 时，开口向上，在2bxa=处取最小值244acba；当0a 时，开口向下，在2bxa=处取最大值244acba；（3）当0a 时，在区间,2ba内单调递减，在,2ba+内单调递增；当0a 时，在区间,2ba内单调递增，在,2ba+内单调递减.【例【例 1】将下列函数配方（1）249yxx=+（2）231212yxx=+（3）2327yxx=+第第二二节节 一元二次方程一元二次方程 一、一、定义定义 只含有一个未知数,并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.方程()200axbxca+=的根函数2yaxbxc=+的零点 二、一元二次方程二、一元二次方程解的判定解的判定 判别式24bac=0 时，则方程有两个不相等的实数根；17 0=时，则方程有两个相等的实数根；0 时，则方程无实数根.三三、一元二次方程一元二次方程的的求解求解 1、直接开平方法 用直接开平方法解形如()()20 xmn n=的方程,其解为()0mn n.【例【例 1】解方程()2(1)213x+=;2(2)16242011xx+=.2、配方法 用配方法解方程20axbxc+=.其实是把方程化成()2xhk+=的形式,h k为任意实数，然后开方求解.【例【例 2】解方程 2(1)4410 xx+=;21625(2)344xx+=;()22(3)040,0axbxcbaca+=.3、公式法：把一元二次方程化成一般形式，即()200axbxca+=,然后计算判别式24bac=的值.（1）判别式24bac=0 时,则方程有两个不相等的实数根；0=时,则方程有两个相等的实数根；0 时,则方程无实数根.（2）一元二次方程的根 求根公式21,242bbacxa=.韦达定理：设方程02=+cbxax)0(a有两个实数根为1x,2x,则1212,.bcxxx xaa+=【例【例 3】解方程 2(1)5720 xx+=;2(2)690 xx+=;2(3)210 xx+=.18 4、因式分解法：把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根.因式分解2()()()xab xabxa xb+=+【例例 4】用因式分解法解下列方程：()()(1)368xx+=;2(2)5140 xx=;2(3)65500 xx+=;2(4)3470 xx+=.第三第三节节 一元一元多次方程多次方程 1.一元一元 n 次多项式次多项式定义定义 设n为一个非负整数，01,na aa为实数，则称1110nnnna xaxa xa+为实数域上的一元多项式，如果0na，称该多项式1110()(0)nnnnnf xa xaxa xa a=+为一元n次多项式.2.乘法公式乘法公式（1）2222()ababba=+（2）33223()33aa bababb+=+（3）0011 11022211()nnnnnnnnnnnnnC a bC abC abaCba bbaC=+（4）22()()aabb ab+=（5）3322()()baabbaab=+（6）123221()()nnnnnnnbaabababaabb=+【例【例 1】将1nx 写成乘法形式.3.一元多次方程求解一元多次方程求解 19 求解一元二次方程有求根公式，或者因式分解等方法，但是当我们遇到需要求解三次及三次以上方程的时候，一般通过因式分解法来进行求解.【例【例 2】求32220 xxx+=的根.20 第第三三部分部分 平面平面解析几何解析几何与不等式与不等式 第一节第一节 平面解析几何平面解析几何 一、一、直线方程直线方程(1)直线方程一般式：0AxByC+=，斜率AkB=，一般式说明了平面直角坐标系上一个二元一次方程表示一条直线，这是一种一一对应的关系.这里，A、B不同时为 0.(2)直线方程点斜式：()00yyk xx=，点斜式是由一个定点()00,xy和斜率k确定的直线方程.(3)斜截式：ykxb=+，斜截式是由斜率k和y轴上的截距b确定的直线方程.(4)两点式：112121yyxxyyxx=，两点式是由已知的两个点()()1122,x yxy所确定的直线方程.斜率：2121yyxx.(5)平面上直线与直线的位置关系 设有两条直线12,l l，斜率分别为12,k k，那么则有：两直线平行：1212/llkk=.两直线相交：12kk.两直线垂直：12121llk k=.【例【例 1】已知直线经过点()0,1A和()1,3B，求直线方程的斜率.【例【例 2】求经过点()1,3且平行于直线230 xy+=的直线方程.二、二、圆圆 1圆的标准方程：当圆心为(,)C a b，半径为r，标准方程为222()()yrxab+=.圆的一般方程：220 xyDxEyF+=，圆心,22DE，通过配方可以化为标准方程()()222xaybr+=，进而我们可以获取到圆的参数方程cossinxarybr=+=+，其中21 的几何含义为旋转角.【例【例 3】（1）求以点()2,2为圆心，以3为半径的圆的标准方程.（2）方程()2214xy+=表示圆的圆心与半径分别是多少.三、三、椭圆椭圆 椭圆的标准方程：()222210baxbya+=；()222210yxabab+=或.椭圆的切线方程：若椭圆的方程为()222210baxbya+=，点00(,)P xy在椭圆上，则过点P的椭圆的切线方程为22001.yax xyb+=四、四、双曲线双曲线 双曲线标准方程：2222222211xyyabxba=或()0,0ab.【例【例 4】方程22111yxkk+=+表示双曲线，则k的取值范围是()（A）11k （B）0k （C）0k （D）11kk 或 五五、平面区域划分平面区域划分 设()yf x=为平面上的一条曲线，那么满足()yf x=的坐标(),x y表示的点都在曲线上，曲线上点的坐标都满足方程()yf x=.()(),x y yf x代表该曲线及该曲线下方的区域，()(),x y yf x代表该曲线及该曲线上方的区域.()()222xaybr+代表圆()()222xaybr+=内部的区域，22221xyab+代表椭圆22221xyab+=内部的区域.22 【例【例 5】不等式组22400 xyxy+表示的区域面积为 .【例【例 6】不等式组1yxyxx 表示的区域面积为 .第第二二节节 常见不等式常见不等式 1、常见不等式、常见不等式（1）2,0,0bab aba+，当ab=时等号成立（2）2()2baab+，当ab=时等号成立（3）aaa （4）bbbaaa+（5）1aaa，a叫对a取整，即不超过a的最大的整数,如3.23y=，3.24y=.2、不等式的性质、不等式的性质（1）,;ab bcac（2）;abacbc+（3）,0;ab cacbc（4）,0.ab cacbc【注】常见不等关系【注】常见不等关系（1）0 x 时，sinxx；0 x 时sinxx（2）02x时，sintanxxx 23 （3）0 x 时，ln(1)xx+（4）xR时，1xex.【例【例 1】证明0 x 时，ln(1)xx+.第第四部分四部分 复数、数列、排列组合、逻辑证明复数、数列、排列组合、逻辑证明 第一节第一节 复数复数 定义定义 数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行（比如对负数开偶数次方），为了使方程有解，我们将数集再次扩充.我们把形如zabi=+（ab、均为实数）的数称为复数.其中，a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位，满足21i=.当z的虚部0b=时，则z为实数.复数的集合用C表示，实数的集合用R表示，显然，R是C的真子集.复数集是无序集，不能建立大小顺序.对于复数zabi=+，称复数 zabi=为z的共轭复数.即两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.复数z的共轭复数记作z.运算法则：加法法则：()()()()abicdiacbd i+=+；乘法法则：()()()()abicdiacbdbcad i+=+；加法交换律：1221zzzz+=+.【例【例 1】实数m取何值时，复数1(1)zmmi=+是（1）实数？（2）虚数？【例【例 2】复数21 i(i 为虚数单位)的共轭复数是_.【例【例 3】求解下列方程.24 （1）2430.xx+=（2）210.x+=（3）26130.+=第第二节二节 数列数列（一）数列（一）数列 1.定义：按照一定次序排列起来的一列数称为数列.数列中的每一个数都叫这个数列的项.数列的一般表达形式为123,na a aa或简记为 na.2.数列的通项：其中na叫做数列 na的通项，自然数n叫做na的序号.如数列1 1 11,2 4 8的一个通项公式为112nna=.3.数 列 的 增 减：从 第 二 项 起，每 一 项 大 于 前 一 项 的 数 列，叫 做 递 增 数 列，12,3,4,nnana=；从第二项起，毎一项小于前一项的数列，叫做递减数列，12,3,4,nnana=.4.数列na的前n项和nS与通项na的关系 121ninniSaaaa=+=，1121nnSaaa+=11,1,2nnnnSnaSS=（二）等差数列（二）等差数列 1.定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与前一项的差等于同一个数，那么这个数列就叫等差数列.这个常数称为公差d.2.等差数列的通项公式 1a 25 21aad=+321112(1)nnaadadaadand=+=+=+=+1(1)naand=+()nmaanm d=+3.0d，数列单调递增；0d，数列单调递减；0d=，常数列.4.等差数列的前n项和nS 1()2nnn aaS+=1(1)2nn ndSna=+【例【例 1】求等差数列 8,5,2,的第 20 项.（三）等比数列（三）等比数列 1.定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列为等比数列.这个常数称为公比(0)q q.2.通项公式 11nnaa q=n mnmaa q=3.等比数列的前n项和nS 11,1,(1)11nnnaSqqaqq=【例【例 2】一个等比数列的第 3 项和第 4 项分别是 12 和 18，求它的第 1 项和第 2 项.【例【例 3】求数列的前 n 项和.（1）112knk=;26 （2）11(1)nkk k=+27 第第三节三节 排列与组合排列与组合 定义定义 排列：从n个不同元素中，任取m(mn,m与n均为自然数)个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号mnA表示.计算公式：()()()()!121!mnnAn nnnmnm=+=.记0!1=.组合：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号mnC表示.计算公式：()!,!mmmn mnnnnAnCCCmm nm=，此处nm.(1)加法原理和分类计数法加法原理和分类计数法 加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法，在第n类办法中有nm种不同的方法，那么完成这件事共有12nNmmm=+种不同方法.第一类办法的方法属于集合1A，第二类办法的方法属于集合2A，第n类办法的方法属于集合nA，那么完成这件事的方法属于集合12nAAA.分类的要求（不重不漏）每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）.乘法原理和分步计数法乘法原理和分步计数法 28 1.乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有1m种不同的方法，做第二步有2m种不同的方法，做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事共有12nNmmm=种不同的方法.2.合理分步的要求（步骤完整）任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同.【例【例 1】从这 7 个数字中取两个相乘，不同的积有（）.（A）15 种 （B）16 种 （C）19 种 （D）23 种 【例【例 2】设 x、y 是正整数，且4xy+，则满足条件的点(,)M x y共有（）个（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 【例【例 3】从 4 个男生 3 个女生中选 3 人，至少一个女生的情况有（）种.（A）45 （B）41 （C）36 （D）31 第第四节四节 逻辑推理与证明逻辑推理与证明 一、一、数学归纳法数学归纳法 数学归纳法是一种数学证明方法，通常用于证明一个命题对于不小于某个正整数0n的所有正整数n都成立，一般步骤如下：第一步：证明当0nn=时命题成立；第二步：假设当0()nk kn=时命题成立，证明1nk=+时命题也成立.在完成这两个步骤之后，就可以断定命题对于不小于0n的所有正整数都成立.第二数学归纳法：设有一个与自然数n有关的命题，如果 0,1,2,3,5,7,1129 第一步：证明当1n=和2n=时，命题成立；第二步：假设当nk时命题成立，证明nk=时命题也成立，则说明命题对于一切自然数都成立.【例【例 1】用数学归纳法证明21 35+(21)nn+=.【例【例 2】证明等式222112(1)(21)6nn nn+=+.二二、简易逻辑、简易逻辑 1.数学命题数学命题 一般地，在数学中，我们把用语言符号、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其标准形式为：若 A 则 B，即“如果对象具有性质 A，那么对象具有性质 B”.我们通常称 A 为命题的条件，B 为命题的结论.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.通常来说一个命题具有确定的真假.而且我们有这样一个常规的结论：如果命题“若 A 则B”是正确的，那么命题“若 A 则非 B”是错误的，后者也叫做前者的否定.也就是说，一个命题与其否定的真假性是对立的.2.命题的四种形式及其关系命题的四种形式及其关系 原命题：若 A 则 B 逆命题：若 B 则 A 否命题：若非 A 则非 B 逆否命题：若非 B 则非 A.原命题与逆否命题具有相同的真伪，而否命题、逆命题与原命题的真伪没有确定的关系.【例【例 3】写出命题“奇函数的图像关于原点对称”的逆否命题，并判断真假.3.充分条件与必要条件充分条件与必要条件 当命题“若 A 则 B”为真命题时，我们称 A 是 B 的充分条件，B 是 A 的必要条件.而如果 A 既是 B 的充分条件，也是 B 的必要条件，则称 A 是 B 的充分必要条件，简称充要条件.如果 A 是 B 的充分必要条件，那么 B 也是 A 的充分必要条件.30 【例【例 4】对于定义在R上的函数()yf x=，“()yf x=图像关于y轴对称”是“()yf x=是奇函数”的（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件.（C）充分必要条件.（D）既不充分也不必要条件.4.简单的逻辑联结词简单的逻辑联结词（1）且 用联结词“且”把命题 A 和命题 B 联结起来，就是一个新命题，即 A 且 B.（2）或 用联结词“或”把命题 A 和命题 B 联结起来，就是一个新命题，即 A或B.5.全称量词与存在量词全称量词与存在量词 短语“所有的”，“任意”，“任意一个”“每一个”，“一切”，“任给”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号表示.短语“存在一个”，“至少有一个”，“有的”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号表示.【例【例 5】判断下列命题的真假：（1）2,1 1xx+R.（2）任意一个平行四边形都是菱形.（3）存在一个实数0 x,使得200320 xx+=.引入逻辑量词的好处是方便处理命题的否定，有如下两个基本结论：（1）设命题A为“xM 都有性质p”，则命题A的否定为“xM 不满足性质p”.（2）设命题A为“xM 都有性质p”，则命题A的否定为“xM 不满足性质p”.借助逻辑量词，我们处理命题的否定时直接对两个量词进行替换，然后否掉结论即可.【例【例 6】写出下列命题的否定：（1）所有的矩形都是平行四边形.（2）所有能被 3 整除的整数都是奇数.31 （3）有的三角形是等边三角形.32 例题答案例题答案 第一部分第一部分 函数函数 第一节第一节 函数的定义与性质函数的定义与性质【例【例 1】不是.对于一个x，不是唯一的y与之对应.【例【例 2】不是，定义域不同.【例【例 3】偶函数；非奇非偶函数；非奇非偶函数；偶函数；奇函数.【例【例 4】（1）2l=；（2）2l=；（3）=2l；（4）不是周期函数；（5）l=【例【例 5】（D）.解析:sin()sin()sin3223xxyz=，sin z最小正周期为2.故sin()32xy=的最小正周期为4.【例【例 6】证明：令()2()ln 12xf xxx=+，()21 111()1111xxxxfxxxxx+=+=+，当0 x 时，2()01xfxx=+，()f x是单调递增函数.()(0)0f xf=，故()2ln 12xxx+.【例【例 7】（B）.解析：sin()sin()()tan()tan()xxfxxxexx ef x=，故不是偶函数，A 错.当n 时，sin4(2)(2)tan()444fnne+=+=，故是无界函数，B 对.找不到T，使得()()f xTf x+，故不是周期函数,C 错.2sin42(0)0,()tan0,()04444ffeef=,故不是单调函数，（D）错.【例【例 8】(1)ln,cosyu ux=;(2)tan,1,2vyu uevx=+=.【例【例 9】221,11(),0f xxx.故定义域为11x.(sin)fx，0sin2,(21),0,1,2,31,xxnnk+=.()f x()f x()f x33 第二节第二节 基本初等函数基本初等函数【例【例 1】（1）1,0)(0,1；（2）0,)+；（3）1 1,2x xxkk+RZ且【例【例 2】(,0；1,e；0,tan1；2,2,22nnn+Z.【例【例 3】（D）.解析：ABC 在(0,)+上为减函数.第三节第三节 指数、对数以及三角函数运算指数、对数以及三角函数运算【例【例 1】（1）2384=（2）121255=（3）-2.【例【例 2】1133 1 21 7632112 6 33 32733a ba baababba b+=.【例【例 3】2311ln2lnlnln.23xyxyzz=+【例【例 4】sin lnxxye=，Asin lnxx=.【例【例 5】由万能公式22tan2sin1tan2xxx=+，221tan2cos1tan2xxx=+，22tan2tan1 tan2xxx=，可知 22222221tan21112tancsc1sin2=11csccot111tan1tansintan2212tan2tan221tan1tan2tan1tan2222.21tan1tan2tan22tan2222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx+=+=+34 【例【例 6】2sintanln(seccos)uuuuu+=()222221arctanln(1)11xxxxx+.第四节第四节 函数求导函数求导【例【例 1】(1)()2234xx+=;(2)()lnxxxxaeaae+=+;(3)()22sin coscossinxxxx=;(4)()()()()12122sectansectantanaxaxaaaxxxaxx exx eaxxxxxxeee+=.【例【例 2】（D）.根据导数的乘法公式，得()sincos,fxxxx=+故(0)0f=.【例【例 3】（A）.211(),()f xfxxx=，点(1,1)在曲线上，则在点(1,1)处切线的斜率为(1)1,f=则切线方程为11(1),yx=即2yx=+.【例【例 4】由题意知cos,yx=切线斜率为131,2xky=切线方程为00()yyk xx=,代入可得31()223yx=,整理得13262yx=+;法线斜率为2112,kk=法线方程是32()23yx=,整理得23232yx=+.【例【例 5】由复合函数求导法则知 sin(1);cosxyx=222222(2)sec(1)22sec(1);xxxxyeeee=+=+()2211(3);211yxxx=+23112(4)2.yxx