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第30卷第1期2000年1月数学的实践与认识MA THEMA T ICS I N PRACT ICE AND THEORYVol130No11Jan.2000法需要的仅仅是求关于三个变量的n2个不等式是否有解,可以用穷举的办法来解决,不需要用优化方法来解题.参考文献:1周承高,廖园.优化方法及应用程序设计.中国铁道出版社,1989.2张培强.MATLAB语言.中国科技大学出版社,1995.11.3刘来福,曾文艺.数学模型与数学建模.北京师范大学出版社,1997,8.Location ArrangementM odel of DrillingW ellCHEN Gang,GUO Cheng2liang,WU T ing2bin(Dalian U niversity of Technology,Dalian116024)Abstract:The key idea of this paper is to determ ine the invariantsw ith respect to coordinatetransformations.For the first problem,the authors find that all thewellscan bemoved into asingle grid,and the distance from each well to the nearest crunode is a constant,therefor thequestion is greatly si mplified.For the second question,since the Euclidean distance betweentwo wells is constant under coordinates transformations,a seriesof necessary conditions are ob2tained to conclude whether the all given wells can be used.Furthermore,a opti m ization modelis established to get a necessary and sufficient condition.The arithemetic of the second questinofits the third question aswell.W e can use the samemethod to treat the third question as in thesecond one.钻井布局徐胜阳,陈思多,金豪指导教师:数学建模教练组(武汉汽车工业大学,武汉430070)编者按:本文对前两问的解答采用了正确的穷举算法,得到了正确的结果.对问题三的解答有特点:第一,给出了一个好用的充分条件:i,j,Dij;第二,通过算法给出了求n个像点的最小外接圆的方法,该圆的半径即可作为判别n个源点是否可用的条件.此处反应出作者们较强的创造性.摘要:本文将旧井的利用问题归结为0-1规划问题,由此建立了目标函数.提出映射原理,将旧井的位置映射到一个单位网格中,从而大大地简化了模型的求解.应用映射原理和穷举方法,求解出有方向约束条件下的可利用点为4个,经过转化,推广到无方向约束条件下的可利用问题,解得6个点可利用.研究了目标成立的充分条件,给出了三种特殊情形下的判定方法.提出了中垂线上的二分逼近法.1问题重述(略)2符号约定x oy为绝对坐标系,记为S;x1o1y1为题设给定的点所在平面的坐标系,记为S1;x2o2y2为网格所在平面的坐标系,满足坐标轴与网格上的边平行,坐标原点与网格上某一结点重合,记为S2;Dij为P3i与P3j之间的距离(ij;i,j=1,2,n).3模型的建立旧井要么被利用,要么被舍弃,这便形成了一种0-1规划问题.由此得到目标函数:zmax=Zi,Zi=1,第i个旧井被利用0,第i个旧井被舍弃i=1,2,n我们要寻求目标函数的最大值,即w=zmax.每个Zi,都由同一个激活函数1f确定.在给定某种距离D下,D时有激活函数f(Pi)=1,否则为0.即有阈值1.当源点Pi与距离最近的结点的距离不大于给定误差 时,点Pi被激活可用.由题设,采用向量的p范数定义距离.问题一为,平面上的 邻域为边长2的正方形域;问题二为2,平面上的 邻域为半径 的圆域.4模型求解411问题一:有方向约束下的求解问题引理设有非负实数a,非负整数m,n,则有:(a+m)m od1=(a+n)m od1(证略).映射原理给定边长为1单位的正方形网格,以其上某结点为原点建立直角坐标系S1,令坐标轴与网格纵横边平行,并满足所有点均处于第一象限.根据上述引理,对应坐标系上任 意 一 点Pi(xi,yi),在 矩 形 区 域C=0 x 10y 1中 有 唯 一 的 点Pi3(xi3,yi3)xi3=xim od1yi3=yim od1与之对应.把所有旧井的坐标Pi(以下称为源点)映射到这个矩形区域C内,它包含了所有经过映射后的点P3i(以下称为像点),我们称区域C为映射区.Pi映射到P3i后,相对于包含它的单个网格的相对位置不变,故源点与像点的激活状态完全相同,即有f(P3i)f(Pi).问题转化成在映射区中寻找像点Pi分布最为密集的边长为2的正方形区域,该区域内所有像点P3i所对应的源点Pi均在 邻域内可供利用.这种映射算法按一个常数倍数减小了时间复杂度.根据问题一所设,用定义距离下P3的 邻域,对包含所有像点P3i的映射区C作穷举,激活 邻域内的所有像点,以确定目标函数.在映射区内,按照平移方式穷举,移动步长为s.步长s的选取要权衡复杂度与精度的问题,以保证在不漏掉可能的最优解的情况下使运算时间最短.65数学的实践与认识30卷边界问题图2中,由粗线围成的区域为映射区,与其内部的细线围成环状区域,其宽度为.由旧井方位P1与P2映射而成的两点P31与P32分别分布在映射区两条对边的附近,与对应边的距离均不超过给定误差,它们可能同时成为可利用点.如果直接用 邻域在映射区穷举,则不可能同时容纳这两点.为了不漏掉可能的最优解,下面给出边界问题的解决方法.图1旧井及其映射点的方位图2边界问题示意图如图2,网格的右、上两条边附近有区域A,B,C,将这些区域及其上的所有点分别复制到对应区域A3,A3,C3.为了易于编制程序,将左上角与右下角区域也补齐,形成一个边长为1+的扩大的正方形搜索区域,那么原有的点与点之间的关系将全部反映到映射后的网格上,从而解决了边界问题,得到了完善的算法.在计算机上求解得出,在第一象限内,距原点最近的网格结点,相对于原点的横向偏移为0.4,纵向偏移为0.5,可利用点为第2,4,5,10点.412问题二:无方向约束的求解问题显然,问题一是问题二的特殊情况.下面探讨无方向约束下的求解问题.为了方便研究,在约定中给定了三种坐标系S、S1、S2.我们所关心的是源点坐标系S1与网格坐标系S2之间的相互关系.如图4,令源点坐标图3三个坐标系图4最优解下网格的覆盖方式751期徐胜阳等:钻井布局系S1的原点O1与绝对坐标系S的原点O重合,则S1可由S绕原点O旋转 得到;令网格坐标系S2的方向与绝对坐标系S的方向相同,则S2可由S平移位移量(u,v)得到.这样,坐标系S1与S2之间的相互关系便由转角 与位移量(u,v)唯一确定.考虑到网格由正方形构成,转角 只需变化?2便可以穷举,故可取转角 为网格纵边或横边与x轴的正向夹角,并满足0?2.由于假设网格足够大,可任意确定一网格结点为坐标系S2的原点O2,为了方便,我们取为绝对坐标系S第一象限上距原点O最近的点,易证,位移向量(u,v)在映射区C内.以相互独立的参数 、u、v作为状态分量,得到三维状态空间A2.A中每一状态(,u,v)均唯一确定一个目标函数值z(,u,v).令转角 以足够小的步长从0到?2变化.每当转角 确定时,源点所在平面已经固定在绝对坐标系S上了,剩下的工作便是固定方向平移网格,寻找目标函数的最优解.此时的工作与问题一相比,除 误差邻域是2定义距离下的之外,其它完全相同,可以全盘借用问题一算法,故不赘述.运算结果(如图4)为:夹角=01779,位移量(01950,01730).可利用点为第1,6,7,8,9,11点.413问题三:完全利用的问题所有旧井均可利用的充分条件是:当所有源点旋转角度(0 2,则n口旧井不能同时利用.因为相距Dij 2的两点不可能同时在一个误差圆内.判据二若 映射区内任意两点间距离Dij满足Dij3,则有W=n,即这n个像点能全部被包含在误差圆内,这时n口旧井能全部利用.图5判据二的示意图证明如图5,作误差圆的内接正三角形A B C,边长为3.分别以A、B、C为圆心作半径为3的圆,得到其交集区域E(阴影区域),由于映射区内任何一点到A、B、C的距离都不超过3,必落在区域E中.证之.判据三任意连接三个像点成三角形,若成锐角或直角三角形,则其外接圆是能将三个顶点完全包围的最小圆;若成钝角三角形,则以钝角的对边为直径所作的圆为能将三个顶点完全包围的所有圆中的最小圆.当最小圆半径R时,则WR,则使圆心Oi朝Ri增大而Di减小的方向(向外)移至SO的中点,继续步骤3;若DR,则R即为所求最小圆的半径,结束;(下标i表示迭代运算的次数,i=1,2,)3.找出其余m-2个像点到Oi的最长距离Di,若DiRi(Ri=POi),则使圆心Oi+1向Ri增大的方向移动,移至Di与其向外方向邻接点的中点处;若Di,即这12个源点不在半径为 的圆内;而将问题二求出的6个点代入算法中,求得圆的半径R,这与问题二的最优解相吻合.这样从正反两方面验证该算法可行.参考文献:1何振亚.神经智能认知科学中的若干重大问题的研究.湖南科学技术出版社,1997.2郑大钟.现代控制理论(第一册).清华大学出版社,1978.W ell-Drilling LayoutXU Sheng2yang,CHEN Si2duo,J I N Hao(W uhan A utomotive PolytechnicU niversity,W uhan430070)Abstract:By transform ing the availability of the originalwells into the 0-1 programm ing951期徐胜阳等:钻井布局第30卷第1期2000年1月数学的实践与认识MA THEMA T ICS I N PRACT ICE AND THEORYVol130No11Jan.2000problem,the objective functiom is built.W e present themapping principle,to map the locationsofthe originalwells into a unique unit block of themesh,so as to si mplify the solution of themodel.U sing themapping algorithm and the ergodic algorithm,we solve the problem under the directionconstraint.Then we generalize the algorithm s to the solution w ithout the direction constraint.W estudied the sufficient conditions and give some criteria of the availability on three particular condi2tions.The method of bisection on perpendicular at m idpoint is presented.钻 井 布 局 的 数 学 模 型胡海洋,陈建,陆鑫指导教师:陈晖,姚天行(南京大学,南京210093)摘要:本文对钻井布局问题的研究,是从全局搜索入手,逐步深入讨论了各种算法的有效性、适用性和复杂性,得到不同条件下求最多可利用旧井数的较好算法.对问题1,我们给出了全局搜索模型、局部精化模型与图论模型,讨论了各种算法的可行性和复杂度.得到的答案为:最多可使用4口旧井,井号为2,4,5,10.对问题2,我们给出了全局搜索、局部精化和旋转矢量等模型,并对局部精化模型给出了理论证明,答案为:最多可使用6口旧井,井号为1,6,7,8,9,11,此时的网格逆时针旋转44.37度,网格原点坐标为(0.47,0.62).对问题3,给出判断n口井是否均可利用的几个充分条件、必要条件和充要条件及其有效算法.1模型假设及符号说明(略)2问题分析与模型准备如果一个已知点Pi与某个网络结点Xj距离不超过给定误差(0105)单位,则认为Pi处的旧井资料可以利用.因此,在棋盘(欧氏)距离定义下,可以以Pi为中心,2单位为边长作一个正方形(半径为 的圆).若网络在平移过程中,网络中的某个结点Xj落在以Pi为中心的正方形(圆)内或边上,可认为Xj可利用旧井Pi的相应资料.同样可以以Xj为中心,2单位为边长作一个正方形(圆).若网络在平移过程中,Pi落在以Xj为中心的正方形(圆)内或边上,可认为Xj可利用旧井Pi的相应资料.这两种方法分别对应于网格移动和坐标平移,显然它们是等价的.以下的讨论将不明显区别这两种方法.为了简化讨论,引入以下法则.映射法则:将点i映射至以(a,b),(a+1,b+1)为对角顶点的正方形内的点i,ix=ix-ix+a;iy=iy-iy+b,其中x为x的整数部分.覆盖法则:将所有旧井映射至(-1,-1),(0,0);(-1,0),(0,1);(0,-1),(1,0);(0,0),(1,1)为对角顶点的四个正方形上.以2为边长作小正方形,该正方形形心在以(-015,-015),