2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析.pdf

版权所有版权所有 翻印必究翻印必究 1 中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料 报名专线：报名专线：400400-63006300-966966 20122012 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.（1）曲线221xxyx渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】：【答案】：（C）【解析】：【解析】：221lim1xxxx，所以1x 为垂直渐近线 22lim11xxxx，所以1y 为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C）。（2）设函数2()(1)(2)()xxnxf xeeen，其中n为正整数，则(0)f（A）1(1)(1)!nn （B）(1)(1)!nn（C）1(1)!nn （D）(1)!nn【答案】：【答案】：（C）【解析】：【解析】：22()(2)()(1)(2)()xxnxxxnxfxe eeneeen 所以(0)f1(1)!nn，故选（C）。（3）设函数)(tf连续，则二次积分rdrrfd2cos2220)(=（）（A）dyyxfyxdxxxx)(2242222022（B）dyyxfdxxxx)(22422022（C）dyyxfyxdxxxx)(22421222022（D）dyyxfdxxxx)(224212022【答案】：【答案】：（B）【解 析】：【解 析】：将 积 分rdrrfd2cos2220)(转 化 为 直 角 坐 标 下 的 积 分 得2222202cos()Ddf r rdrf xydxdy，其中D为平面区域2cos2,02r，其中 2 中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料 版权所有 翻印必究 2cos2r也可以写成22 cos4rr也即2224xxy，可知区域D为如图所示的区域 将该积分化为直角坐标下的累次积分有2224222202()xx xDf xydxdydxf xydy，故选（B）。（4）已知级数11sin)1(innn绝对收敛，12)1(inn条件收敛，则范围为（）（A）102 （B）112（C）312 （D）322【答案】：（【答案】：（D）【解析】：【解析】：考察的知识点是绝对收敛和条件收敛的定义及常见的p级数的收敛性结论.11sin)1(innn绝对收敛可知23；12)1(inn条件收敛可知2，故答案为（D）（5）设1234123400110,1,1,1cccc 其中1234,c c c c为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）（A）123,（B）124,（C）134,（D）234,【答案】：【答案】：（C）【解析】：【解析】：由于134113401111,011011cccc ，可知134,线性相关。故选（C）。版权所有版权所有 翻印必究翻印必究 3 中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料 报名专线：报名专线：400400-63006300-966966 （6）设A为 3 阶矩阵，P为 3 阶可逆矩阵，且1112P AP，123,P ，1223,Q 则1Q AQ（）（A）121 （B）112（C）212 （D）221【答案】：【答案】：（B）【解析】：【解析】：100110001QP，则11100110001QP，故11100100100110011101101101110100100100120012Q AQP AP 故选（B）。（7）设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间0,1上的均匀分布，则221P XY（）（A）14 （B）12 （C）8 （D）4【答案】：【答案】：（D）【解析】：【解析】：由题意得，1,01,01,0,.XYxyf x yfx fy其它 221=,DP XYf x y dxdy，其中D表示单位圆在第一象限的部分，被积函数是1，故根据二重积分的几何意义，知221=4P XY，故选（D）.（8）设1234,X X X X为来自总体21,0N的简单随机样本，则统计量12342XXXX的分布（）（A）0,1N （B）1t 4 中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料 版权所有 翻印必究（C）21 （D）1,1F【答案】：【答案】：（B）【解析】：【解析】：从形式上，该统计量只能服从t分布。故选B。具体证明如下：1212234342222XXXXXXXX，由正态分布的性质可知，122XX与3422XX均服从标准正态分布且相互独立，可知 122342122XXtXX。二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在分，请将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.（9）1cossin4lim tanxxxx_。【答案】：【答案】：-2e【解析】：【解析】：41limtan11cossincossin4lim tanxxxxxxxxe 41limtan1cossinxxxx24seclim2sincosxxxx 所以41limtan11cossincossin4lim tanxxxxxxxxe2e（10）设函数ln,1(),()21,1x xf xyff xxx，求0 xdydx_。【答案】：【答案】：4【解析】：【解析】：00()()(0)(0)1(0)xxdyff xfxfffffdx 由()f x的表达式可知 0(1)2ff，可知04xdydx（11）连续函数(,)zf x y满足2201(,)22lim0(1)xyf x yxyxy，则(0,1)dz_。版权所有版权所有 翻印必究翻印必究 5 中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料 报名专线：报名专线：400400-63006300-966966 【答案】：【答案】：2dxdy【解析】：【解析】：由于(,)f x y连续，可知(0,1)1f。由题意可知分子应为分母的高阶无穷小，即22(,)22(1)f x yxyoxy，也即22(,)121(1)f x yxyoxy，可知(,)f x y在0,1点是可微的，并且有(0,1)2zx，(0,1)1zy，故(0,1)2dzdxdy（12）由曲线yx和直线yx及4yx在第一象限中所围图形的面积为_。【答案】：【答案】：ln2【解析】：【解析】：被积函数为 1 的二重积分来求，所以 2044ln2yyyySdydxdydx（13）设A为 3 阶矩阵，3A,*A为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B,则*BA _。【答案】：【答案】：27【解析】：【解析】：*BAB A，其中3 1*3,9BAAA ，可知*27BA 。（14）设,A B C是随机事件，,A C互不相容，1()2P AB,1()3P C,则(|)P AB C_。【答案】：【答案】：34【解析】：【解析】：由条件概率的定义，P ABCP AB CP C，其中 121133P CP C ，12P ABCP ABP ABCP ABC，由于,A C互不相容，即AC，0P AC，又 ABCAC，得0P ABC，代入得12P ABC，故34P AB C.三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、证明过解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）6 中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料 版权所有 翻印必究 计算22 2cos40limxxxeex【解析】：【解析】：222 2cos2 2cos2 2cos440001limlimlimxxxxxxxxeeeexx 240242240424022coslim22 124!lim()+12=lim1=12xxxxxxxxxo xxxo xx泰勒公式（16）（本题满分 10 分）计算二重积分xDe xydxdy，其中 D 为由曲线yx、1yx和x轴所围区域。【解析】：【解析】：由题意知，区域1(,)|01,Dx yxxyx，如图所示所以 110 xxxxDe xydxdydxe xydy y O 1 x 版权所有版权所有 翻印必究翻印必究 7 中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料 报名专线：报名专线：400400-63006300-966966 112010112001120010110012122121122112211221112(1)22xxxxxxxxxxxe xydxxe xdxxe dxe x dxee xe xdxxdee xe dxee （17）（本题满分 10 分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为 10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x（件）和（y件），且固定两种产品的边际成本分别为220 x（万元/件）与y6（万元/件）。1）求生产甲乙两种产品的总成本函数),(yxC(万元)2）当总产量为 50 件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本。3）求总产量为 50 件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。【解析】：【解析】：1）设成本函数为(,)C x y，由题意有：(,)202xxCx y，对x积分得，2(,)20()4xC x yxD y，再对y求导有，(,)()6yCx yD yy，再对y积分有，21()62D yyyc 所以，221(,)20642xC x yxyyc 又(0,0)10000C，故10000c，所以221(,)2061000042xC x yxyy 2）若50 xy，则50(050)yxx，代入到成本函数中，有 8 中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料 版权所有 翻印必究 2221()206(50)(50)1000042336115504xC xxxxxx 所以，令3()3602C xx，得24,26xy，这时总成本最小(24,26)11118C 3）总产量为 50 件且总成本最小时甲产品的边际成本为(24,26)32xC，表示在要求总产量为 50件时，甲的产量每增加一件，成本会发生 32 万元的改变。（18）（本题满分 10 分）证明：21lncos1,1112xxxxxx 【解析】：【解析】：令 21lncos112xxf xxxx，可得 2222112lnsin11112lnsin1111lnsin11xxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 当01x时，有1ln01xx，22111xx，所以221sin01xxxx，故 0fx。而 00f，即得21lncos1012xxxxx，也即21lncos112xxxxx。当10 x 时，有1ln01xx，22111xx，所以221sin01xxxx，故 0fx。而 00f，即得，21lncos1012xxxxx 也即21lncos112xxxxx。当0 x 时，显然有21lncos112xxxxx。可知，21lncos1,1112xxxxxx 版权所有版权所有 翻印必究翻印必究 9 中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料 报名专线：报名专线：400400-63006300-966966 （19）（本题满分 10 分）已知函数)(xf满足方程0)(2)()(xfxfxf及xexfxf2)()(1）求表达式)(xf 2）求曲线的拐点dttfxfyx022)()(【解析】：【解析】：1）特征方程为022rr，特征根为2,121rr，齐次微分方程()()2()0fxfxf x的 通 解 为xxeCeCxf221)(.再 由()()2xfxfxe得21222xxxCeC ee，可 知121,0CC。故()xf xe 2）曲线方程为220 xxtyeedt，则2201 2xxtyxeedt，222022 1 2xxtyxxeedt 令0y 得0 x。为了说明0 x 是0y 唯一的解，我们来讨论y在0 x 和0 x 时的符号。当0 x 时，222020,2 1 20 xxtxxeedt，可 知0y；当0 x 时，222020,2 1 20 xxtxxeedt，可知0y。可知0 x 是0y 唯一的解。同时，由上述讨论可知曲线dttfxfyx022)()(在0 x 左右两边的凹凸性相反，可知0,0点是曲线dttfxfyx022)()(唯一的拐点。（20）（本题满分 10 分）设100010001001aaAaa，1100（）求A（）已知线性方程组Ax有无穷多解，求a，并求Ax的通解。【解析】【解析】：（）4 141001000010101(1)10100100101001aaaaaaaaaaa 10 中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料 版权所有 翻印必究（）2324210011001100101010101010100100010001000100010011001010100100001aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有410a及20aa，可知1a 。此 时，原 线 性 方 程 组 增 广 矩 阵 为11001011010011000000，进 一 步 化 为 行 最 简 形 得10010010110011000000 可知导出组的基础解系为1111 ，非齐次方程的特解为0100，故其通解为10111010k 线性方程组Axb存在 2 个不同的解，有|0A.即：211010(1)(1)011A，得1或-1.当1时,12311100001111xxxx ，显然不符，故1.（21）（本题满分 10 分）三阶矩阵1010111001Aaa，TA为矩阵A的转置，已知()2Tr A A，版权所有版权所有 翻印必究翻印必究 11 中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料 报名专线：报名专线：400400-63006300-966966 且二次型TTfx A Ax。1）求a 2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。【解析】：【解析】：1）22201011113TaA Aaaaaa由()2Tr A A 可得，222220110111302113aaaaaaaa，可知1a 。2）1123232221231223202,02222422444TTxfx A Axx x xxxxxxx xx x 令矩阵202022224B 202022260224EB 解得B矩阵的特征值为：1230;2;6 对于110,0EB X解得对应的特征向量为：1111 对于222,0EB X解得对应的特征向量为：2110 对于336,0EB X解得对应的特征向量为：3112 将123,单位化可得：12 中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料 版权所有 翻印必究 111131，211120，311162 123326326326,32636033Q 令xQy可将原二次型化为222326yy。（22）（本题满分 11 分）已知随机变量,X Y以及XY的分布律如下表所示，X 0 1 2 P 1/2 1/3 1/6 Y 0 1 2 P 1/3 1/3 1/3 XY 0 1 2 4 P 7/12 1/3 0 1/12 求：（1）2P XY；（2）cov,XY Y与XY.【解析】：【解析】：（1）先求出,X Y的联合分布律 X Y 0 1 2 0 1/12 0 1/12 1 0 1/3 0 2 1/4 0 1/12 1120,02,1044P XYP XYP XY 版权所有版权所有 翻印必究翻印必究 13 中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料 报名专线：报名专线：400400-63006300-966966 （2）cov,cov,cov,XY YX YY Y cov,X YEXYEXEY，其中22222545,1,1,13399EXEXEYEYDXEXEX 2252133DYEYEY,23EXY 所以，cov,0X Y，2cov,3Y YDY，2cov,3XY Y,0XY.（23）（本题满分 11 分）设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，min,max,VX YUX Y.求（1）随机变量V的概率密度；（2）E UV.【解析】：【解析】：（1）X概率密度为,0,0,.xexf x其它分布函数为 1,0,0,.xexF x 其它X和Y同分布.由min,VX Y，min,1,VFvP VvPX YvP Xv Yv，而,X Y独立，故上式等于 221,0,1110,.vevP Xv P YvF v 其它 故 22,0,0,.vVVevfvFv其它（2）易知UVXY，故2E UVE XYEXEY。