车灯线光源的优化设计方案.pdf

第 2 o卷第 5期 2 0 0 3年 o 3月 工程数学学报 J OURNAL OF ENGI NEERI NG MATHEMATI CS V0 1 2 o NO 5 M r 2 0 0 3 文 章 编 号：1 0 0 5 3 0 8 5(2 0 0 3)0 5 0 0 1 9 1 0 车灯 线光源的优 化设 计方案 薛武，杨 铭 和，倪冉 指 导 老师：指 导 小 组(北京 化工 大学，北 京 1 0 0 0 2 9)编 者按：本 文 的主要特 点是：在 建立 反射 光强度 的数 学模型 时，用反 射点投 影至 测试屏 目标 点 的变换 的 J a c o b i 行 列式 来刻 画反射 面元 面积与 该 面元 的反射 光在 测试屏 照射到 的微元 面积 之间 的精确 关系。并给 出 了相 应 的近似模 型。遗 憾 的是在 实际 离散化 计算 时，作 者们做 了过度 的简化，未 能真正 应用 上述模 型，计算结 果偏 小。摘要：本 问题 是一 个车 灯线 光源 的优化 设计 问题。首 先，我 们建 立 了一个 连续 的数学模 型来 描述这 个 优化 问题，此模 型 研 究 了线 光 源上 任 意一 点 发 出 的光线 经过抛 物 面反射后 到 达光屏 的情 况。对 于给定 的考察 点(B或 c)得到 一 个联 系该 点 与 光 的发 射点，反 射点 这 3 个点关 系 的方程 组。由于 光在 传播过 程 中会 有发 散的现 象，我 们用 J a e o b i 行列 式做 了一个 变换来 描述 这 种散 射。根据 c点 的光 强度必 须 大于 一个确 定的值(文 中设 为 1)，B点 的光 强度 必须大 于该 值 的 2倍 的约 束 条件 将这 个 问题抽 象成 一个 非线 性规 划 问题。由于 解非线 性规 划 问题是 很复杂 的过程，我们 选择 了将连 续模 型简化 成 一个 离散 模 型。但是 离散 模 型将 光 离散成 一 条一 条光线 时，一般不 能考 虑光 在传播 过程 中的散 射 问题。根 据我 们 连续 模 型 中用 J a c o b i 行 列式 算 出 的结果 知 可 以考 虑光 在传 播过程 中的散射 问题，但 是 J a c o b i 行列 式是 很难 求出来 的。为 了解决这 个 困难 我们 将光 的散 射用 连续 的方法 做 了一个 简化。简化 的方法是 用 向量投影 的方 法粗 略作 出 了两 个 面积 微元 之 间的 关系，从 而得 到 了光线 打在光 屏上 的散 射效果 与光线 的起 始单位 方 向向量 和该 光 线 经 抛物 面 反 射 时 的反射 点 的 坐标 的 关 系。运用 以上 的离散 模 型的算 法，得 到最优 的线 光源长 度为 3 3 9 ra m。关键词：线光 源。非 线性 规划，反射，J a c o b i 行 列式。向量投 影。分类号：A MS(2 0 0 0)4 9 1(3 5 中 图分类 号：0 2 2 4 文献标 识码：A 1 问题的重述(略)2 基 本 假 设 1)不考虑光 在空气 中传播 时的损耗。2)点光源发 光时，在 各个方 向上产生 的光强度是一样的。3 参数说明 P：旋转抛物 面的焦参数；l：ll。lI ，；I，；j 拳t，n ：；维普资讯 http:/ 2 0 工程数学学报 第 2 O卷：线 光 源 光 能 线 密 度，可 以 表示 单 位 长 度光 源 产 生 的 光强 度 量 2 R：线 光 源 的 长 度：线 光 源 半 轴 长 发 光 的总 强 度 量，(B)：B点 接 收 到 的 光 强 度(光 强 度量 的 面密 度)，(C)：C点 接 收 到 的 光 强 度(光 强 度量 的 面密 度)d：旋 转 抛 物 面 的 深 度，(h)：光在空 间传播 时在距离光源 处 的光强度 q：某 点 光 源 的发 光 强 度 量 n：每个发光 点 向空 间发射 的光线数-A r：每 个 离 散 点 光 源 的 长 度 A m：每 柬 光 线 可 以 产 生 的光 强 度 量 E(P)：抛 物面上可 以将光线 反射到 P点 的所有点的集合 0：光屏 上每个小 网格 的面积：测 试 屏 的 单 位 法 向量(沿 Z 轴 负 方 向)4问题 的 分析 本 问题 是 一 个 面 镜 反 射 的 几 何 光 学 问 题。目 的 是 要 求 在 满 足 题 目要 求(，(B)2，(C)1)时对 线光源 的长度(2 R)和单 位发光 密度()进行 优化，使得 线 光源 的发光 总 强 度 量 最小。对 于其 中的考察点，例如 日，首先要考 虑光源 上哪些点 可 以经 过抛物 面 哪些反 射点反 射到考察点。然后根据他们之 间 的位 置关 系算 出从线 光源上 某点 射 出的光 线在 到达考 察 点 日时，考 察 点 日所 接 收 到 的 光 的强 度。再 对 该 考 察 点 上所 接 收 到 的所 有 光 的强 度 进 行 积分，算 出，(B)，将，(B)2，作 为问题 的一个约束条件，同理 算 出关 于 c点 的一个约束 条件。问题就变成 了一个带约束条件 的优化 问题。5 模型的构建 5 1 反射点和发光点以及 受光点之间的关系 考 虑 线 光 源 上 一 点 H(0，r，p 2)发 射 一 条 光 线经过抛物面上一 点 G(，Y。，z )射到光屏上 某 点 P(。，Y。，z。)的 情 况。如图 1，抛物 面方程为+Y =2p z G点 的 单 位 内法 向量 为。：竽 l+l+P 将向量 和葫 单位化得 o l，Y oY l，Z Oz 1)图 1光 反 射 路 线 P 维普资讯 http:/ 第 5期 车 灯线 光源 的优化 设计 方案 2 1 若 光线可 以从 H出发经过抛物面上的 G到达光屏上的 P，则 向量 和 的和与 G点 的单位 内法 向量 同向，即向量 和 的和与 G点 的单位 内法向量的 向量积 为 0，即(+)z G=0 I 讳I 令 a=，可以将 原方程组化简 为 l(Y 0+a r)一 0 Y I=0 ，【z。+a p 一(1+a)(z。+p)】+胁=0 )，：。+警一(1+a)(z +p)】+p()，。+a r)=0 z ld 2 2 l+)，l=Zpzt 由于方程组(*)中前三个方程 只有两个是 独立 的，则在 前两 个方 程 中可 以任 意去掉一 个，方 程 组 就 决 定 H、P 和 G三 点 之 间 的 位 置 关 系。5 2 光 线 经 光 屏 反 射 过 程 的数 学描 述 在线光 源上取一 点 H(O，r，p 2)，过该点沿单位向量：s i n 口 c o s Z，s i n a s i n fl，c 0 s 口)做 一 条 直 线 交 抛 物 面 于 G(，Y，z，)，则 则 l一0 Yl r s i n a c o s fl s i n a s i n fl 又 G在 抛 物 面 上，则+Y =2 pzY l l+l=l p c o s a Y l s i n a s i n fl+2 a)一s i n a c。s Sl n口 1=t s i n a c o s fl Y l=r+t s i n a s i n fl =，=导+s a G点 的单 位 内法 向量 为 寸 一 l，一Y l，P)Gr 1、+Y：+P 则表示反射光线方向的单位向量 u：如图2，图2 向 量 加法示 意 维普资讯 http:/ 工程数学学报 第 2 0卷 可 知 一 1+2 2 Z c C O S 一 1 Z c 又c。s 丽 一 u 1 c 则经抛 物面反射 的单位 向量：一2()5 3光 在 传 播 过 程 中 的发 散 光在 空间传播时是在 整个 空间上均匀发散的。我们 用光强度量来表示 光源在整个 空间 发射 出去 的光 能，用光强 度量 的面密度来度量 光发散 到某个 点在该 点产 生 的光 强度。当发 光强度量 为 p的点光 源发 出的光传播 到空 间某点时，由于光波是球面波，则可知 m)=那么 当长度为 d r的线光源(当成 点光源看)从 日发 出的光传播 到 G时，G点所接 收到 的光 强 度 为 d r d I(G)=。4丌l G H I 现在讨论光从 G反射到 P点时光强度 的变化情况。在 G周 围取一个小 的面积微元 d s=1+。+，。d d，-从 方程组(*)中可 以确定 f l=l(0，0)【，l=，l(0，0)则 1，l 对 于 0，)，0的 J a c o b i 行 列 式，=a l a 0 a l a)，0 a)，l a 0 a)，1 a)，0 则 司得 d l d，1=I ，I d 0 d，0 而 d 。d，。为光屏 上 的面积微元，记为 d s ，即 dS =dx 0 dy0 则 可 以 推 出=了 G点 接 收 到 的 光 强 度 量 d in(G)：一()d I(G)d s (取负号是 由于 和 夹角超 过 9 )又 由于 d s上 的所有光线全反 射到 d s ，即它们两个 面积微元上 的光强度通量相等 d m(G)=d m(P)=d l(P)d S d，(P)：d，(G)维普资讯 http:/ 6 且 的 网 的 维普资讯 http:/ 2 4 工程数学学报 第 2 O 卷 6 2光 传 播 过 程 中发 散 的 一个 近似 处 理 对于光在传播 过程 中的散射对 射到光屏 上后强度 的影 响模 型 中是 用 J a c o b i 行列式体 现 的。但是这个 J a c o b i 行列式 的表 达式是很 复杂 的，我们 给 出一 种近 似处 理这种 散射 影 响的 方法。这个 近似 的简化是在连续 条件下考察 面积微元 得到 的，但 是这 个结 果对 于离散 的模 型 同样 适 用。如图 3，一束光线射到曲面上的一个单位法向量为 z：的面积微元 s。后反射到一个单位 法 向量 为 的 平 面 上 形 成 一 个 面 积 微 元 s：。由于 面 积 微 元 很 小，我 们 近 似 的认 为 反 射 光 线 沿 一 个 方 向射 出。我们进行反向思考，由于 s：是 s，沿单位向量“：投 影 后 在 单 位 法 向量 为 的 平 面 上 的 投 影，那 么 s：和 s，在“方 向上的投影 面积应该是相等 的，即 s ()：s：l l：一S：(一u 2 )(取负 s (z c u z)=s：l u z l=一 ：)(取负 号是由于u：和 夹角超过 9 )s 面上接收到的光 强 度 量 A m(s 1)=一(u 1z G)，(s 1)s 1 又 由于 s z和 s-上通过 的光强度通量相等，即 图 3面 积 微 元 投 影 A m(S 1)=A m(S 2)=A I(S 2)S 一 s s ，光 线 从 线 光 源 上 的 日 到达 抛 物 面 上 的 G点 时 的 光 强 度 根 据 5 3光 在 传 播 过 程 中 的 发 散 可 以得到，光从 G传播 至 P时运用 以上方法可 以得到 3 i(P)：l二 ，(G)L,G u2 ()()，广()一2()】)，可 T 丁 这时每 条光 线从 日射到 P时在 P所在 网格产生的光强度量 m(P)：，(P)至 n 那 么 P点 的光 强 度 为 m(P)，(P)=广=()E u-：一 2()】)，。EE(一2()E u-：一2()】)，一2(一U l 6 3问题 的 求解 根据 以上对模 型的离散简化得到一个离散优化模 型 D 维普资讯 http:/ 第 5期 车灯 线光 源 的优化设 计方 案 mi n W=R S t ，(，(C)=()(z(u-1 )r D、c l 一2()】)。，一一 至：三 至二 至：三 堕 ：r l c c l 一2(】)J ，2 为了方便用计算机求解，我们对 上面的优化模 型进行转 化，得 到 mi n W=T R s t ，(B)=T 2 ，(C)=TNc 1 其 中，为每条 光线带的光 强，为打 到 以 B为 圆心，以 2 e ra为半 径 的圆 内 的光线条数，为打到 以 c为 圆心，以 2 e m为半径 的圆内的光线条数，对于这 个 问题 的求解 我们 采取分 步等步 长搜 索的方法。具体 步骤如下：步骤 一 将线光源细化 成许多个小的光源，每个小光源 的长度 A r=0 0 1 mm。将整个 空 间的立体 角 4 w分成 n=4 0 0 0 0份。在 日和 c点周 围分别做一个半 径为 2 e m的 圆。步 骤二将每个 小光源 发射 出的光离散 为 以 4 0 0 0 0条光线 的形 式 发射 出去，每条 可 以 射到抛物 面上 的光线经抛物 面反射后会在光屏上打下唯一 的一 个点。如果该 点在 以 B(或 c)为 中心 的圆内，就将 打在 这个区域的光线条数加 1。步骤 三 首先在 尺(0，3 0 mm)内以为 0 1 m m步长对 尺进行搜 索，得 到 的 一尺 的图 象 如 下 图 4，对 图 中划 在 圆 圈 内 部 的 一尺 曲线 进 行 放 大，如 图 5。A u 图 4 w R关 系图 图 5 W R关 系局 部 极 大 图 我们 从图 中可 以看出最优 的 R出现在 1 5 mm到 3 mm区域 内。现 将进一 步搜索 的区域 定为 尺 1 5 m m，3 mm。步骤 四 在 区间 尺 1 5 ram，3 m m 内 以 0 0 0 5 ra m为步长进行搜 索，得 到和关 于线光源 半轴长 尺 图形(如 图 6)。利用、的值，对优化模 型进行 求解，得到在 尺 1 5 m m，3 姗】区间内 一尺图 1，叫 一 一 一 ，一 一 一 一 一，一 一 一 +，一 -_ ，一，一 _ f=：；：、机 光 曩 t I 维普资讯 http:/ 2 6 工程数学学报 第 2 0卷 线，如 图 7。4：3 8 I-量。o _ ll_ 强 度3 L 3 2 8 eL 2 2 S 3 线 光 涎 半 轴 长R(n)x1 图 6 线 光 源 半 径 R 图 形 图 7 w R 关 系 图 在 图中 圆 圈(即最优 化解)附近 点 一R T的 数据 列表 如 下(mm)1 6 7 0 1 6 7 5 1 6 8 0 1 6 8 5 1 6 9 0 1 6 9 5 0 O 001 61 45 0 O 0 01 6 07 2 0 O 001 6 0 O 0 01 5 941 0 O 0 01 5 87 0 0 O0 01 5 8l1(e一0 0 4)2 6 9 6 2 1 5 2 6 9 2 0 6 2 6 8 8 2 6 8 6 0 5 8 5 2 6 8 2 0 3 2 6 7 1 9 6 4 5 (mm)、1 7 0 o 1 7 0 5 1 7 1 0 1 7 1 5 1 7 2 0 0 O 0 01 57 7 7 0 O0 01 5 7 23 0 O 0 01 5 6 79 0 O 0 01 5 63 2 0 O0 01 5 58 6 I v(e一0 0 4)2 6 8 2 0 9 2 6 8 0 7 7 1 5 2 6 8 l 1 o 9 2 6 8 0 8 8 8 2 6 8 0 7 9 2 从优化 的结果 数据，我们 得 出最优 的线光源 的半轴 长为 R=1 6 9 5 mm。此时这个 线光 源 的长 度 2 R=3 3 9 ra m。7 问题第二问的解答(略)8 设计规范的合理性验证 8 1合 理 性 的分 析 本题 中涉 及 到 的 灯 是 车 的 前 照 灯。前 照 灯 是 汽 车 在 夜 间 行 车 或 在 能 见 度 较 低 的 条 件 下，为 驾驶 员提供 车道 照 明 的重要 设备，所 以前 照灯必须 有足 够 的发光强 度 和正确 照明区 域。不合格 的前 照灯会 使驾驶员对前方道 路情况辨认 不清，或 者在 与来 车交会 时造成对 方 驾驶员 目眩等，从而导致 事故 的发生。一个 合理设计 规范应该是在这个规范 下做 出的最合适 的车灯具有 以下 照明效果：1)车灯正前 方为 了照亮 车道，应该亮度很大。2)前照灯也要 照亮邻 道，使 驾驶 员能 清楚把握邻 道 的情况，故 车两侧 附 近也应 该有 较 高 的亮 度。3)而更 远一点 的距 离，如果太 亮的话，就有 可能使迎 面而来 车辆 的驾驶 员 目炫，而使发 生事故 的机率 加大，故亮度要较低。8 2设 计 规 范 的 随机 模 拟 验 证 根据 以上的合理性分 析，我们需要 用实验的方 法检验这 个规 范 的合 理性。我们在 以上 做的模型 中要求 点光 源在空 间各个方 向上产生 的光强度是 一样 的，但 是考 虑到光 在实际传 维普资讯 http:/ 维普资讯 http:/ 工程数学学报 第 2 0卷 从这个 图中就可 以更直接 的看 出光屏 上各区域 光强度的分布。中间部分 的很亮可 以为 夜间行车提供 良好 照明，一 个车宽附近的 区域也较 亮，可 以清楚看 到邻 道 的情况，更远一 点 的距 离 亮 度 迅 速 减 弱，这 样 与来 车 交 会 时 不 易 造 成 对 方 驾 驶 员 目眩，从 而 有 效 地 避 免 事 故 的 发 生。9 模 型 优 缺点 分析 对于本 题可 以建立 连续 和离 散两 种模 型。前者 可 以将本 题 抽象 成一 个 非线 性 规划 问 题，但是求解 的过程 比较复杂，很容易陷入局部极 小值 的情况，而且 对 于问题 第二 问的求解 没什 么帮助，但 是优点是如果初值 取的好可 以很精 确的求 出本题 的结 果。后 者 的优点是对 于算 法而言不是很 复杂，求解结果 很快，同时可 以很方便的解决 问题 第二 问，但是 求解得到 的结果不是很 精确，而且只 能给 出数 值解，并且将光离散成光线 以后就 不能体现光在传播过 程 中的散射。综 合 以上考虑，我们提 出的这个模 型既拥有离散 模型的优点，又运用一个连续 模型 的变换 结果，考 虑 了光在 传播过程 中的散射，比较精 确地 刻画 了光在 传播 过程 中的散 射。参考文献：1】方得 植编 解 析几 何 M】北京：高等 教育 出版社，1 9 8 6 2】张 以谟编 应 用光学(修 订本)M】天津：机 械工 业出版社，1 9 8 8 3】张凤 林。孙 学珠 编 工 程 光学 M】天 津：天 津大学 出版社，1 9 8 8 4】刘则 毅编 科学 计算 技术 与 Ma t l a b刘 则毅 M】北京：科 学出版社。2 0 0 1 5】章学 诚编 解析 几何 M】北 京：北京 大学 出版社，1 9 8 9 6】中 国汽车检 测维 修 网：h t t p：w w w a u t o t est e r c o m An Opt i ma l De s i g n o f Li ne Li g ht So u r c e XUE W u，YANG Mi n g h e，NI Ra n Adv i s o r：Ma t h e ma t i c a l Mo d e l i n g T u t o r Gr o u p (B e i j i n g U n i v e r s i t y o f C h e m i c a l T e c h n o l o g y，B e i j i n g 1 0 0 0 2 9)Ab ar a e t：F i r s tl y，we d e v e l o p e d a c o n ti n u o u s ma t h e ma t i c med d t o c h a r a c t e r i z e this p r o b l e mI t d e mo n s t r a t e d h o w t h e b e a m r e a c h e s t h e zer n b y the r e fl e c ti o n o ft h e p a r a b o l o i dI t wa s a n o n l i n e a r p r o g r a mmi n g p r o b l e mBec a u s e i t wa s v e r y d i ffi c u l tt O b e s o l v e dw e s i mp l i fl edi ti n t o a d i s c r e t emo d e 1 B a s e d o n t h i smo d e l we w r o t e aMa t l a b p r o g r a m a n d g o tthe o p t i ma ll e n g t h o fthel i n el i g h tso1u c ewa s 3 3 9mm F i n a l l y，We a p p l i ed r a n d o m s i mu l a ti o n t o v e a f y t h a t the d esi g n soh e me w a s r e a s o n a b l e Xe y ：l i n e l i ght s o u r c e，J a c o b i d e t e r m i n ant，n o n li n e a r p r o g r a m m i n g。r e fl e c t i o n，p r o j e c t io n 维普资讯 http:/