教材中平面向量数量积分配律的证明步骤“啰嗦”吗.pdf

数学版 年 月 日 第 期 .教材中平面向量数量积分配律的证明步骤“啰嗦”吗?陈 超(六盘水市第四中学 贵州 六盘水)摘 要:年人教 版教材中关于平面向量数量积分配律的证明步骤有“啰嗦”之嫌.文章对这个问题进行了深入的交流、讨论与探究尝试理解教材的编写意图得到了教材是否“啰嗦”需要一分为二来看的结论.关键词:教材平面向量数量积分配律质疑思辨作者简介:陈超()男湖北应城人硕士中学一级教师研究方向:中学数学教学.新课程新教材新高考都对学生有一个明确的要求那就是具备关键能力.关键能力的获得依赖于平时的数学品质笔者认为学生最关键的品质是质疑和思辨.精准定位问题呈现面对教材中值得探讨的地方要大胆质疑.笔者所教学生在阅读 年人教 版必修第二册教材时发现第 页中关于平面向量数量积分配律的证明步骤有“啰嗦”的嫌疑如下:()整理得().所以 .即 .()学生认为上述证明过程比较“啰嗦”()式到()式间的两个步骤是多余的可以省略.于是便产生了一场围绕它的交流、讨论、探究、思辨的过程.因为 这三个数都是实数是单位向量也即非零向量为了叙述方便可将此问题简化为:能否直接由()式 (其中)得到()式 .精准把脉拨开迷雾师生讨论交流片段.生:这个证明步骤涉嫌“啰嗦”的理由是:只要()式左右两边同时除以 就可以得到()式中间的步骤是多余的.这也是大部分同学最开始的想法.师:教材中有介绍平面向量的除法吗?生:没有!师:平面向量有除法吗?生:陷入沉默.这正好是学生知识储备不足和认知不足之处于是笔者带领学生通读教材查阅文献对这个问题进行探究和思辨.平面向量有除法吗?教材的编写非常注重两点:一是整体贯通二是相互联系.教材在编写时从整体出发按知识发展、背景问题、思想方法、核心素养四个维度对全书的主题、章、节做了整体设计实现整体贯通教材为了尽可能地建立不同数学内容间的联系使学生获得对数学的整体理解编写时充分考虑了联系性.年人教 版教材必修第一册和第二册将三角函数、平面向量、复数安排在第五章、第六章、第七章意在加强其整体贯通性和相互联系性其中又以复数和平面向量的联系最为紧密.教材的第 页这样描述二者的关系:“复数本质上是一对有序实数因此复数与复平面内的点是一一对应的与复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的由复数的向量表示可以进一步得到复数的三角形式.因此复数的代数形式、三角形式都具有明显的几何意义.从复数的运算看复数代数形式的加、减运算的几何意义就是相应平面向量的加减运算复数的乘、除运算的几何意义就是平面向量的旋转、伸缩”.通过详读教材和查阅文献学生不难发现复数有除法而平面向量没有除法.复数为何有除法因为复数有乘法所以复数有除法.复数是在求解一元二次方程和一元三次方程根的过程中发现的具有深厚的数学背景注定了复数首先是具有数的特点.复数本质上是一对有序实数复数与复平面内的点是一一对应的与复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的因此复数又具有形的特点.尽管复数具有数形结合的双重特点但是复数毕竟是数系扩充的产物它必须要延续实数域的运算和运算性质因 年 月 日 第 期数学版:/.此复数必然有乘法运算这一点在教材上就有体现教材第 页“思考”指出:“在引入虚数单位 后我们希望数 和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算并希望加法和乘法都满足交换律、结合律以及乘法对加法满足分配律”明显可以看出虚数引入的初衷就希望复数能完美继承实数的加法、乘法运算和相应的运算律这与文中的观点 规定一个数的概念的最大意义就在于它能运算且满足已有的运算性质不谋而合.而除法是乘法的逆运算所以复数有除法.复数的乘法和除法不仅从“数”的角度看是互逆运算而且它们从“形”的角度看几何意义是一致的都是平面向量的伸缩、旋转变换也是互逆的.而且与实数一样复数的乘法也满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律也就是说复数域具有封闭完备的特点因此对于完备的数域而言复数自然就有除法.平面向量为何没有除法范素杰、郜舒竹两位老师在向量为什么不存在除法一文里先从乘法的逆运算的角度阐述“数学中如何理解除法”再分别从数量积、向量积两个角度分析了向量不存在除法的原因即在假设向量有除法的前提下“商”是不确定、不唯一的最后用数学推理的确定性、函数的确定性强调了在数学运算中确定性是必不可少的从而再次证明了向量不存在除法.笔者和所教学生一致认为除法是乘法的逆运算所以应该先来研究平面向量的“乘法”.向量的“乘法”包括数量积(或称点积或内积)和向量积(或称叉积或外积)由于向量积不属于高中学习范畴这里只研究向量的数量积.平面向量的数量积和实数的乘法不一样尽管教材第 页这样引入向量的数量积“前面我们学习了向量的加、减运算.类比数的运算出现了一个自然的问题:向量能否相乘?如果能那么向量的乘法该怎样定义?”这种引入似乎给读者一种假象平面向量的数量积是类比数的乘法引入的似乎向量的数量积运算和数的乘法运算类似实则不然.先来看向量数量积的定义:已知两个非零向量 与 它们的夹角为 我们把数量 叫做向量 与 的数量积记作 即 .从定义可以看出向量的数量积与这两个向量的模和夹角都有关系得到的是一个数并非向量如果从向量的坐标表示来看向量做线性运算得到的还是一个坐标而向量做数量积运算得到的就不再是坐标而是一个实数简单地讲就是向量的数量积是不封闭的运算.正如配套的教师用书所讲“向量的数量积是学生没有遇到过的一种新的运算与数的乘法有联系但也有很大的区别”下面举例说明这种区别.例如教材第 页的边空问题“如果 是否有 或?”这一问题的答案是显然的就算 也推不出 因为当 时也能得到 .但是数明显不同若 且 则一定有 .实际上教材第 页的边空问题就在说明向量的数量积和数的乘法运算不同.又如向量的数量积是不满足结合律和消去律的而数的乘法满足结合律和消去律.综上平面向量的数量积与数的乘法有很大的区别是不可逆的运算因此平面向量无法定义除法.复数和平面向量运算的比较从复数的向量表示的角度看复数和平面向量的加法、减法运算是相同的加法的运算律也是相同的.如前文所述复数的乘法和向量的数量积不同.复数的乘法与实数的乘法一致由于复数的结构特点复数的乘法类似于多项式的乘法经过合并“同类项”后得到的仍是一个复数复数乘法的运算律与实数乘法的运算律相同而向量的数量积是由物理里的“功”类比、抽象得到的一种运算不同于数的乘法得到的是一个数而不是向量而且向量的数量积运算不满足结合律.复数不仅有除法运算还有乘方、开方运算平面向量没有这些运算.徐勇老师在其论文 类比需小心 本质是关键 关于复数知识与向量知识的类比中列举了 个例子说明复数和向量运算的不同.例如 而一般情况下 如:则 是一个实数 一般情况下是一个复数.数学家们的努力其实讨论向量的除法并不是一个无聊的问题许多数学家都思考过能否赋予向量一个除法运算.我们知道平面向量推广到三维可得到空间向量继续推广可得到 维向量照样可以定义数量积运算.数系的扩充则经历了相当漫长的过程.复数可以看作数域维度的扩展实数是一维的数定义虚数单位 后就构成了二维的数 复数.爱尔兰数学家威廉哈密顿爵士()经过长期思考希望赋予向量一个乘、除法结构.他发现二维向量可以与复数形成对应可以赋予乘、除法结构但三维空间就无法赋予乘、除法结构了.后来他发现四维向量可以赋予复数那样的乘、除法结构但必须放弃乘法交换律称之为四元数.年人教 版必修第四册教材第 页就有相关的介绍:“一般地形如 的数叫做四元数其中 都是实数 都是虚数单位满足 ”.需要指出的是四元数的乘数学版 年 月 日 第 期 .积还是一个四元数.哈密顿的朋友凯莱发现八维线性空间也可以赋予乘、除法结构即八元数但是乘法交换律、结合律也都不满足了.最后赫维茨证明了线性空间上有可除代数结构当且仅当维数为.经过上述的探究、分析、思辩的过程学生已经明白生 的观点是不对的即非零向量也是不能除的.那么到底能否直接由()式 (其中)得到()式 呢?于是便有了下面的片段.师生讨论交流片段.生:这个证明步骤涉及的是向量的数乘运算根据教材的联系性可以联想到教材第 页数乘向量的运算律 ()所以我认为能直接由()式得到()式.师:非常好!同学们赞成他的观点吗?生:赞成(异口同声)!师:那么为什么教材不用()这个运算律直接将()式变为()式而要多写两步略显“啰嗦”呢?生:面面相觑.教材为何不用运算律()呢?文献 将教材的发展史概括为:从“乱”材到“数”材从“数”材到“教”材从“教”材到“学”材三个阶段.很明显现阶段的教材处于“学材”的阶段关注的是学生的自主空间、主动学习.要促进学生主动学习教材最重要的任务就是:给学生留下什么样的空间.空间过大学生无法理解、跨越造成学习困难空间过小学生照本宣科、亦步亦趋没有思考的余地无法充分发挥自己的才能.教材为何不用运算律()呢?笔者认为这就是教材准确把握空间“度”的体现.虽然教材第 页罗列了数乘向量的三个运算律但是并没有给出证明教材虽然给出了平面向量数量积分配律的证明但是也没有给出它的交换律和数乘结合律的证明就是希望学生能自己去思考、探究、证明.再者教材并不提倡过多地使用结论有例为证例如:教材第 页平面向量基本定理的例 就是一个结论 平面中 三点共线若 则 反之也成立.但是教材并没有总结这个结论而是让学生通过对例 的探究发现这个结论并且发现调整的位置结论依然成立.这就充分证明了教材不提倡过多的结论准确地把握了留给学生自主学习、探究空间的“度”.因此学生在知道向量没有除法的前提下自行证明平面向量数量积分配律时也大概率会写出“啰嗦”的两个步骤即()教材这样“啰嗦”完全符合学生的认知和心理拉近了与学生的距离同时也有助于发展学生逻辑推理和数学运算的核心素养.精准施教有的放矢由上述师生的质疑、探究、思辨活动不难得出本文的研究结论.如果在证明过程中运用数乘向量的运算律 ()直接由()式得到()式那教材的证明步骤就有“啰嗦”之嫌而如果考虑的是要留给学生合适的自主学习、探究的空间符合学生的认知水平和实际那教材的证明步骤就不“啰嗦”.基于文章的分析阐述给出如下的教学建议.一是教师应注重在教学活动中培养学生大胆质疑和理性思辨的数学品质.学生面对教材这种权威一方面是会全盘接受另一方面即使发现问题也不太敢质疑教师应正确引导:质疑并不是“鸡蛋里面挑骨头”质疑是发现和提出问题的过程是把教材中值得探讨的地方指出来共同交流、讨论、研究通过理性思辨解决疑惑思辨相当于分析和解决问题的过程.通过质疑和思辨使知识和方法得到更深层次地理解最终达到理解教材、理解数学的目的.培养学生大胆质疑和理性思辨的数学品质有助于提高其关键能力.什么是关键能力?笔者认为就是关键时刻的沉着冷静、灵活变通在关键时刻能够将平时的点滴积累兑现的能力.二是教师要引导学生深入挖掘教材的编写意图.通过阅读教材理解其整体贯通的特点关注教学内容的相互联系采用类比或比较的学习方法使学习形成体系.认识教材“学材”的特点在教材留下的空间里自主学习、探究充分印证自己的想法、发挥自己的才能.三是教师在平时的教学中也应把握好留给学生自主学习空间的“度”.让学生能在已有认知的基础上通过讨论、探究、小组合作等形式解决学习上的问题、困惑这样学生会一直保有较高的学习数学的热情.通过师生间质疑、探究、思辩等活动增进师生感情的同时碰撞出理性思维的火花.参考文献:李善良.教科书:从“教”材到“学”材 苏教版高中数学教科书编写思考(续前).中学数学月刊():.陈超.对人教 版教材中幂函数与分数指数幂位置变化的思考.数学通讯():.范素杰郜舒竹.向量为什么不存在除法.中学数学杂志():.徐勇.类比需小心本质是关键 关于复数知识与向量知识的类比.新高考(高三数学)():.李善良.教科书:从“教”材到“学”材 苏教版高中数学教科书编写思考.中学数学月刊():.(收稿日期:)