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7.8 两个电子的自旋函数 7.8 两个电子的自旋函数 重点:重点:两个电子的对称和反对称的自旋波函数 难点:难点:四个状态的矢量图示 本节所讨论的是两个电子体系的自旋波函数，如讨论中性的氦原子和氢分子的状态等。两个电子体系，若不计自旋轨道耦合，自旋变量和空间变量可分离。电子是费米子，波函数是反对称的。=),(),(),(),(21212121zzASzzSAAssrrssrrrrr 下面讨论两个电子的对称化的自旋波函数。一、单体近似下两个电子的自旋波函数 一、单体近似下两个电子的自旋波函数 体系的哈密顿中不含自旋之间的相互作用想(不计SS 耦合),两个电子的自旋函数),(21zzss是每个电子自旋函数)(zmss之积，即：)()(),(2121zmzmzzssssss=,21=ssmm zzss21,的共同本征态 自旋方向 zS的取值)(hsM 四种组合:)()(221121)1(zzSss=1 )()(221121)2(zzSss=-1 )()(221121)3(zzss=0 )()(221121)4(zzss=0 它们是无耦合表象),(222121zzSSSS的基矢,但)4()3(,未对称化,把它们组成对称的或反对称的:)()()()(21121221221121)3(zzzzSssss+=)()()()(21121221221121zzzzAssss=两个电子交换,)3)(2)(1(S不变号,为对称自旋函数，A改变符号，为反对称自旋函数。由,SSmm只能组合成这四个相互独立的对称化的自旋波函数。二、二、)3)(2)(1(S，A是耦合表象是耦合表象,)(212212zzzSSSSSS+=+=rr的基矢 的基矢 1)3)(2)(1(S，A彼此正交且组成完全系（本章后有练习题）。2它们是,)(212212zzzSSSSSS+=+=rr的本征态 )(21SSrr是第一个（第二个）电子的自旋算符，只能作用在相应电子的自旋波函数上，2122212212SS2SS)SS(Srrrr+=+=)SSSSSS(223z2z1y2y1x2x12+=h 下面对单电子作用进行讨论：=0121，=1021 21212=hixS，21212h=ixS 21212=h iSiy，21212h iSiy=21212h=izS，21212=hizS 此六式对每个电子都成立。所以 )s(S)s(S)s(S)s(S)s(S)s(S 223Sz221z2z121z1z221y2z121y1z221x2z121x1)1(S2)1(S2+=h )s()s(4)s(2i)s(2i)s(2)s(2 223z221z1212z221z121z221z121)1(S2+=hhhhhh =)1(22Sh)1()1(2)1(1)1(SSzSzSzSSSh=+=同理可得：)2(2)2(22SSSh=，)3(2)3(22SSSh=，02=AS)3()2(SSzSh=，0)3(=SzS，0=AzS 列表如下：共同本征函数),(2zSS 2S的本征值zS的本征值)1(S 22h h三重态)2(S 22h h三重态)3(S 22h 0 三重态 A 0 0 单态 三、讨论 三、讨论 由以上计算可知，2S在三个对称态中的本征值为22h，zS的本征值依次为0,hh，这表明在)1(S态中，两电子自旋平行，分量沿正 z方向（如图 a）；在)2(S态中，两电子的自旋都与 z 轴反平行（如图 b）；在)3(S态中,两电子自旋 z 分量相互反平行(如图 c)，但垂直于 z 轴的分量则相互平行。在A态中，zSS,2的本征值都是零，两电子的自旋反平行，总自旋为零（如图 d）。(参阅 P227 图 34)以 z 轴为对称轴作一锥面，高为 1/2（以h为单位），斜高为43)121(21=+，在锥面上画一旋进的矢量表示电子的自旋，锥底向上的2h=zS)21(=sm，锥底向上的2h=zS，)21(=sm，这样表示zS有确定值，yxSS,无确定值，反映了yxSS,的对易关系。