变分法研究一类分数阶微分方程边值问题解的存在性.pdf

变分法研究一类分数阶微分方程边值问题解的存在性黎文博，周文学*，吴亚斌，张敏(兰州交通大学数理学院，甘肃兰州730070)摘要：利用一类分数阶微分方程边值问题的变分法,建立了该边值问题解存在的充分条件.然后将问题归结为一个等价的积分形式,使得边值问题的解被定义为对应泛函的临界点.最后利用山路引理，建立了该边值问题解的存在性.关键词：临界点理论；变分法；边值问题；梯度中图分类号：O175.8文献标志码：A文章编号：02587971(2024)02020112分数阶微分方程一直备受关注，这是因为分数阶微积分理论本身的深入发展以及这种结构在物理、力学、化学、工程、生物学、地质学以及控制理论、信号理论、纳米科学等各个科学领域的应用1-3.其中，分数阶微分方程边值问题作为分数阶微分方程理论中的一个重要问题，也得到众多学者关注，但其绝大部分工作均基于 Riemann-Liouville 或 Caputo 分数阶导数4-9.临界点理论在处理具有某些边界条件的整数阶微分方程解的存在性和多重性方面非常有用10-13.但是到目前为止，利用临界点理论，通过变分方法来研究分数阶边值问题解的存在性报道相对较少14-21.Jiao 等在文献 17 中利用临界点理论研究了分数阶边值问题tDT(0Dtu(t)=F(t,u(t),t 0,T,u(0)=u(T)=0 (0,10DttDTF:0,TRN RF(t,x)解的存在性.其中，和分别为左、右 Riemann-Liouville 分数阶导数，是给定的函数，为F在x处的梯度.Bai 等在文献 18 中利用变分方法研究了扰动非线性分数阶边值问题tDT(0Dtu(t)=a(t)f(u(t)+g(t,u(t),u(0)=u(T)=0 (0，10DttDT,a:0,T R,F:R R和g:0,T R解的存在性.其中，和分别为左、右 Riemann-Liouville 分数阶导数，为非负参数，是 3 个连续的函数.受以上工作启发，本文利用临界点理论，通过变分方法研究分数阶边值问题(BVP)ddt12c0Dt(u2(t)+12ctDT(u2(t)+F(t,u(t)=0,u(0)=u(T)=0(1)c0DtctDT2 3F:0,TRN RF(t,u(t)解的存在性.其中和分别为阶左、右 Caputo 分数阶导数，是一个连续函数，为F在x处的梯度.收稿日期：2022-10-27；接受日期：2023-04-02；网络出版日期：2023-12-05基金项目：国家自然科学基金（11961039）；兰州交通大学校青年科学基金（2017012）.作者简介：黎文博（1998），男，甘肃人，硕士生，主要研究分数阶微分方程.E-mail：.*通信作者：周文学（1976），男，甘肃人，博士，教授，主要研究非线性分析.E-mail：.云南大学学报（自然科学版），2024,46（2）:201212JournalofYunnanUniversity:NaturalSciencesEditionDOI:10.7540/j.ynu.202205921预备知识a,baDtf(t)tDbf(t)定定义义 122左右 Riemann-Liouville 分数阶导数，设f是一个定义在上的函数.用和表示函数f的左、右 阶 Riemann-Liouville 分数阶导数分别被定义为aDtf(t)=dndtnaD1tf(t)=1(n)dndtn(wta(ts)n1f(s)ds),tDbf(t)=(1)ndndtntD1bf(t)=1(n)(1)ndndtnwbt(st)n1f(s)ds.t a,b n1 nn N0 1其中，和.特别的，如果，那么aDtf(t)=ddtaD1tf(t)=1(1)ddt(wta(ts)f(s)ds),t a,b,tDbf(t)=ddttD1bf(t)=1(1)ddtwbt(st)f(s)ds,t a,b.0n N定定义义 222左右 Caputo 数阶导数，设且.(n1,n)f ACn(a,b,RN)caDtf(t)ctDbf(t)a,bcaDtf(t)ctDbf(t)(i)如果和，那么函数f的左右 Caputo 分数阶导数表示为和，且在上几乎处处都存在.和表示为caDtf(t)=aDntf(n)(t)=1(n)(wta(ts)n1f(n)(s)ds),ctDbf(t)=(1)ntDnbf(n)(t)=(1)n(n)wbt(st)n1f(n)(s)ds.t a,b0 0f ACn(a,b,RN)a,b n1,n)Ck(a,b,RN)(k=0,1,)a,bAC(a,b,RN)a,bAC(k)(a,b,RN)(k=0,1,)f Ck1(a,b,RN)f(k1)ACn(a,b,RN)AC(a,b,RN)=AC1(a,b,RN)注注 1如果，那么很明显f存在阶的黎曼刘维尔分数阶积分.另一方面，如果，那么在上存在阶黎曼刘维尔分数阶导数，其中表示在上有k次连续可微的映射集，是在上绝对连续的函数空间，是函数f的空间，使得和.特别有.2分数阶导数空间t 0,T1 p 对于任何固定的和，有uLp(0,t)=(wt0|u()|pd)1p,uLp=wT0|u(t)|pdt1p和u=maxt0,T|u(t)|.0 1 1 p f Lp(0,T,RN)0,t t 0,T引引理理 1设，对于任何一个和，我们有?0Df?Lp(0,t)t(+1)fLp(0,t).(2)p=1t 0,T证明证明受 Young 定理23启发，我们可以证明(2)式.事实上，如果且对于任意，我们有202云南大学学报（自然科学版）http:/第46卷?0Df?L1(0,t)=1()?wt0w0()1f()dd?1()wt0w0()1|f()|dd=1()wt0|f()|dwt()1d=1(+1)wt0|f(t)|(t)d t(+1)fL1(0,t).(3)1 p g Lp(0,T,RN)1p+1q=1现在，假设和，其中.则有?wt0g()w0()1f()dd?=?wt0g()w01f()dd?wt0|g()|w01|f()|dd=wt01dwt|g()|f()|d=wt01d(wt|g()|qd)1/q(wt|f()|pd)1/ptfLp(0,t)gLp(0,t).(4)t 0,THf:Lp(0,T,RN)R对于任何固定的，考虑函数，定义如下：Hf(g)=wt0w0()1f()dg()d.(5)Hf(Lq(0,T,RN)(Lq(0,T,RN)Lq(0,T,RN)h Lp(0,T,RN)g LP(0,T,RN)根据(4)式可以明显看出，其中表示的对偶空间.因此，通过(4)，(5)式和 Riesz 表示定理，存在及，使得wt0h()g()d=wt0w0()1f()dg()d,(6)hLP(0,t)tfLP(0,t).(7)因此，通过(6)式我们有1()h()=1()w0()1f()d=0Df(),0,t,即?0Df?Lp(0,t)=1()hLp(0,t)t(+1)fLp(0,t).(8)结合(3)，(8)式，我们得到了不等式(2).证毕.0 1 1 p E,p0C0(0,T,RN)定定义义 322设，.分数阶导数空间定义为由关于范数u,p=wT0|u(t)|pdt+wT0?0Dt?pdt1p,u E,P0(9)E,p0在中的闭包.0 1 1 p E,p0u,p引引理理 222设，则空间关于范数是一个可分自反 Banach 空间.0 1 1 p 1p1p+1q=1此外，如果和，那么uT1/P()(1)q+1)1/q?0Dtu?LP.(10)0 1 1 p 1pE,p0uku E,P0uk uC(0,T,RN)uk uk uku 0引引理理 422设，.如果中点列弱收敛于，即，那么在中，即时，.第46卷黎文博等：变分法研究一类分数阶微分方程边值问题解的存在性2033变分结构E,p0p=2 12，1在本节中，我们将建立一个变分结构，使我们能够将 BVP(1)解的存在性简化为寻找定义在空间和上的对应泛函的临界点.u AC(0,T,RN)首先，利用 Caputo 分数阶导数的性质，对于任意，BVP(1)可变换为ddt12c0D2tc0D2tu2(t)+12ctD2TctD2tu2(t)+F(t,u(t)=0,u(0)=u(T)=0,(11)2，3)其中.u AC(0,T,RN)此外，根据定义 2，很明显是 BVP(11)的一个解，当且仅当u是以下问题ddt12c0Dt(0Dtu(t)12ctDT(tDTu(t)+F(t,u(t)=0,u(0)=u(T)=0(12)=12+212，1u AC(0,T,RN)的解.其中，.因此，我们求出了 BVP(12)的解u，在的条件下，就对应于 BVP(1)的解u.记：D(u(t)=12c0Dt(0Dtu(t)12ctDT(tDTu(t).(13)下面我们给出 BVP(12)的解的定义.u AC(0,T,RN)定定义义 4函数称为 BVP(1)的解，如果：D(u(t)t 0,T(i)对于几乎每一个可导；(ii)u满足 BVP(12).E=E,20u=u,2(u,p=?0Dtu?Lp=wT0?0Dtu?pdt1p)接下来，我们在 Hilbert 空间中用范数处理 BVP(12).12,1u E引引理理 5如果，那么对于任意的，有|cos()|u2 wT0(0Dtu(t),tDTu(t)dt 1|cos()|u2.(14)u E uR/0,Tsupp(u)0,T证明证明设且 是u在上的零延拓，则.然而，由于左右分数阶导数是非局部的，supp(Dt u)0,),supp(tD u)(,T.(Dtu,tDu)0,T尽管如此，在也成立.另一方面，我们有w(Dt u(t),tD u(t)dt=cos()w?Dt u(t)?2dt=cos()w?tD u(t)?2dt.(15)DttD 12,1cos()1,0)其中和为实线上的 RiemannLiouville 分数阶导数.又因为，所以.故有wT0(0Dtu(t),tDTu(t)dt=wT0(0Dt u(t),tDT u(t)dt=w(Dt u(t),tD u(t)dt=cos()w?Dt u(t)?2dt cos()wT0?0Dtu(t)?2dt=|cos()|u2.204云南大学学报（自然科学版）http:/第46卷另一方面，利用 Young 不等式，我们有?wT0(0Dtu(t),tDTu(t)dt?wT012?0Dtu(t)?2?tDTu(t)?dt 14wT0?0Dtu(t)?2dt+wT0?tDTu(t)?2dt 14u2+w?tD u(t)?2dt=14u2+|cos()|?wT0(0Dtu(t),tDTu(t)dt?.=|cos()|2因此，取，有?wT0(0Dtu(t),tDTu(t)dt?1|cos()|u2.证毕.u E注注 2根据(12)和(14)式，对于任意的有wT0?tDTu(t)?2dt w?tD u(t)?2dt=wT0(0Dtu(t),tDTu(t)|cos()|dt 1|cos()|2u2,tDTu(t)L2(0,T,RN)即.E 12,1我们现在的任务是在上建立一个变分结构.此外，我们将证明该泛函的临界点是BVP(11)的解，因此也是 BVP(1)的解.L:0,TRNRNRN R定定理理 1设定义为L(t,x,y,z)=12(y,z)F(t,x),F:0,TRN R其中满足以下假设：(H1)F(t,x)x RNt 0,Tm1C(R+,R+),m2 L1(0,T,R+)对于每一个在t上可测，对于几乎每一个在x上连续可微且存在，使得|F(t,x)|m1(|x|)m2(t),|F(t,x)|m1(|x|)m2(t),x RN且t 0,T.12,1如果，那么函数 定义为(u)=wT0L(t,u(t),0Dtu(t),tDTu(t)dt=wT012(0Dtu(t),tDTu(t)F(t,u(t)dt,Eu,v E且在上是连续可微的，对于任意的有(u),v=wT0(DxL(t,u(t),0Dtu(t),tDTu(t)dt+wT0(DyL(t,u(t),0Dtu(t),tDTu(t),0Dtv(t)dt+wT0(DzL(t,u(t),0Dtu(t),tDTu(t),tDTv(t)dt=wT012(0Dtu(t),tDTv(t)+(tDTu(t),0Dtv(t)dtwT0(F(t,u(t),v(t)dt.(16)t 0,Tx,y,z RNRNRN证明证明首先，对于任意的和每一个，有|L(t,x,y,z)|m1(|x|)m2(t)+14(|y|2+|z|2),(17)|DxL(t,x,y,z)|m1(|x|)m2(t),(18)?DyL(t,x,y,z)?12|z|和|DzL(t,x,y,z)|12|y|.(19)(u)(E):E(E)u (u)然后，通过文献 24 定理 1.4 可得，在每一点u上有一个由(16)式给出的方向导数，并且映射，是连续的.EEt 0,T 1,1(1)由注 2 和(17)式可以很容易得出 在上处处有限.下面让我们定义，对于固定在上的u和v，以及，有第46卷黎文博等：变分法研究一类分数阶微分方程边值问题解的存在性205G(,t)=L(t,u(t)+v(t),0Dtu(t)+0Dtv(t),tDTu(t)+tDTv(t)和()=wT0G(,t)dt=(u+v).我们将对 应用积分符号下的牛顿莱布尼兹公式.由(18)和(19)式，我们有|DG(,t)|=?DxL(t,u(t)+v(t),0Dtu(t)+0Dtv(t),tDTu(t)+tDTv(t),v(t)?+?DyL(t,u(t)+v(t),0Dtu(t)+0Dtv(t),tDTu(t)+tDTv(t),0Dtv(t)?+?DzL(t,u(t)+v(t),0Dtu(t)+0Dtv(t),tDTu(t)+tDTv(t),tDTv(t)?m1(|u(t)+v(t)|)m2(t)|v(t)|+12?tDTu(t)+tDTv(t)?0Dtv(t)?+12?0Dtu(t)+0Dtv(t)?tDTv(t)?m0m2(t)|v(t)|+12?tDTu(t)?0Dtv(t)?+12?0Dtu(t)?tDTv(t)?+?0Dtv(t)?tDTv(t)?,其中m0=max(,t)1,10,Tm1(|u(t)+v(t)|).m2 L1(0,T,R+)0,T由于，v在连续，根据注 2，有|DG(,t)|d(t),d L1(0,T,R+)其中.因此，莱布尼兹公式是适用的，dd(0)=wT0DG(0,t)dt=wT0(DxL(t,u(t),0Dtu(t),tDTu(t),v(t)dt+wT0(DzL(t,u(t),0Dtu(t),tDTu(t),tDTv(t)dt.然而?DxL(t,u(t),0Dtu(t),tDTu(t)?m1(|u(t)|)m2(t),?DyL(t,u(t),0Dtu(t),tDTu(t)?12?tDTu(t)?,?DzL(t,u(t),0Dtu(t),tDTu(t)?12?0Dtu(t)?,因此，根据注 2 和(10)式，(u),v=wT0(DxL(t,u(t),0Dtu(t),tDTu(t),v(t)dt+wT0(DyL(t,u(t),0Dtu(t),tDTu(t),0Dtv(t)dt+wT0(DzL(t,u(t),0Dtu(t),tDTu(t),tDTv(t)dt c1u+c2?0Dtv(t)?L2+c3?tDTv(t)?L2 c1u+c2v+c3|cos()|v c4v.c1c2c3c4(u)(E)其中，和是正常数.因此，在u处有一个由(16)式给出的方向导数.EL1(0,T,RN)L2(0,T,RN)L2(0,T,RN)(2)通过Krasnoselskii 定理，(18)和(19)式表明映射为到且定义为u(DxL(g,u,0Dtu,tDTu),DyL(g,u,0Dtu,tDTu),DzL(g,u,0Dtu,tDTu)E(E)是连续的，因此从到是连续的.证毕.12,1u E(u)=0定定理理 2设且 由(15)式定义.u满足(H1)且是对应欧拉方程，那么u是BVP(12)的解，当然，它对应于 BVP(1)的解.206云南大学学报（自然科学版）http:/第46卷证明证明根据定理 1，定义 2，有0=(u),v=wT012(0Dtu(t),tDTv(t)+(tDTu(t),0Dtv(t)dtwT0F(t,u(t),v(t)dt=wT012(c0D+1t(0Dtu(t),v(t)12(ctD+1T(tDTu(t),v(t)dtwT0F(t,u(t),v(t)dt.(20)C(0,T,RN)下面定义为(t)=wT0F(t,u(t)dt,t 0,T，使得wT0(t),v(t)dt=wT0wt0(F(s,u(s),v(t)dtdt.v(T)=0根据富比尼定理和，有wT0(t),v(t)dt=wT0wt0(F(s,u(s),v(t)dsdt=wT0F(s,u(s),v(T)v(s)ds=wT0F(s,u(s),v(s)ds.v E因此，通过(20)式，对于任意有wT012c0D+1t(0Dtu(t)12ctD+1T(tDTu(t)+(t),v(t)dt=0.(21)(ej)RNv E如果表示的正则基，我们可以选择使得v(t)=sin2k tTejv(t)=ejcos2k tTejk=1,j=1,N或，N 和.0,T傅里叶级数理论和(20)式表明在上12c0Dt(0Dtu(t)12ctDT(tDTu(t)+(t)=C,C RN.C(0,T,RN)根据的定义有12c0Dt(0Dtu(t)12ctDT(tDTu(t)=wT0F(t,u(t)dt+C.(22)F(,u()L1(0,T,RN)D(u(t)由于，我们确定(13)式给出的等价类及其连续表示D(u(t)=12c0D+1t(0Dtu(t)12ctD+1T(tDTu(t)=wT0F(t,u(t)dt+C.(23)F(,u()D(u(t)0,T因此，由(23)式和勒贝格理论的一个经典结果可知是在上的经典导数，这意味着定义 4 得到了验证.u Eu AC(0,T,RN)由于蕴含着，还需要证明u满足 BVP(12).事实上，根据(23)式，我们可以得到ddtD(u(t)=ddt12c0Dt(0Dtu(t)12ctDT(tDTu(t)=F(t,u(t).u Eu(0)=u(T)=0E此外，蕴含着，因此(1)式得到验证，且定理 1 给出的 是上的泛函.证毕.4BVP(1)解的存在性C1(H,RN)令H是一个实 Banach 空间，是Frchet 可微且其Frchet 导数在H上连续.C1(H,RN)uk H(uk)(uk)0uk引引理理 622设.如果对于任意的点列，由有界且可推得点列有收敛子列，那么称 满足 Palais-Smale(简记为 P.S.条件).:H RN引引理理 722设H是一个自反的实 Banach 空间.如果泛函是弱下半连续的且是强制的，即第46卷黎文博等：变分法研究一类分数阶微分方程边值问题解的存在性207limz(z)=+z0 H(z0)=infzH(z)(z0)=0，那么存在使得.进一步，如果 是 Frchet 可微的，那么.C1(H,RN)引引理理 8(山路引理)22设H是一个实 Banach 空间，满足 P.S.条件.如果：(0)=0(i)；0 0z Hz=(z)z1 H z1 (ii)存在，使得对所有的且有；存在，使得(z1)0t 0,Tx RN|x|M0 F(t,x)(F(t,x),x)且存在，使得对所有的以及，有；(H3)lim sup|x|0F(t,x)|x|2 N0.uk EEuk uEk 这蕴含着是有界的.因为是自反空间，如果必要的话取其子列，我们可以假设在中，因此时有(uk)(u),uku=(uk),uku(u),uku?(uk)?uku(u),uku0.(27)ukC(0,T,RN)k uku=0进一步，根据(10)式和引理 4 知在空间中有界且时.因此，wT0F(t,uk(t)dt wT0F(t,u(t)dt.(28)注意到(uk)(u),uku=wT0(0Dt(uk(t)u(t),tDT(uk(t)u(t)dtwT0(F(t,uk(t)F(t,u(t)(uk(t)u(t)dt|cos()|uku2?wT0(F(t,uk(t)F(t,u(t)dt?uku.k uku2 0Euk u结合式(27)和(28)式，容易验证时，因此在中，从而 满足 P.S.条件.lim sup|x|0F(t,x)|x|2 0t 0,Tx RN|x|F(t,x)(1)2(+1)|x|22T2由对一致成立知，存在以及使得对所有的以及，有.=()12+112T12=22 0u Eu=令，则由(10)式可得，对于所有的以及有uT12()(1)/2+1)12u=,因此有(u)=12wT0(0Dtu(t),tDTu(t)dtwT0F(t,u(t)dt|cos()|2u2(|cos()|)2(+1)2T2wT0|u(t)|2dt|cos()|2u212(|cos()|)u2=12u2=.即引理 8(山路引理)的条件(ii)成立.(H3)(0)=0显然，由 的定义以及可知.下证 满足引理 8(山路引理)的条件(iii).t 0,Tx RN|x|M0 0因为对所有的以及，有，简单的正则化讨论可知存在，使得F(t,x)r1|x|1r2,x RN,t 0,T.210云南大学学报（自然科学版）http:/第46卷u E,0 k 0 0,12对任意的，注意到和(13)式，有(ku)=12wT0(0Dtku(t),tDTku(t)dtwT0F(t,ku(t)dt k22|cos()|u2r1wT0|ku(t)|1dt+r2T=k22|cos()|u2r1k1u1L1+r2T ,(k ).k0(k0u)0因此，存在充分大的使得，故引理 8(山路引理)的条件(iii)满足.(0)=0(u)0最后，注意到，而临界点u满足，因此u是 BVP(1)的一个非平凡弱解.证毕.参考文献：DiethelmK,FreedAD.Onthesolutionofnonlinearfractional-orderdifferentialequationsusedinthemodelingofvisco-plasticityM/ScientificComputinginChemicalEngineering.Berlin,Heidelberg:Springer,1999.DOI:10.1007/978-3-642-60185-9_24.1LundstromBN,HiggsMH,SpainWJ,etal.FractionaldifferentiationbyneocorticalpyramidalneuronsJ.NatureNeur-oscience,2008,11(11):1335-1342.DOI:10.1038/nn.2212.2GlckleWG,NonnenmacherTF.Afractionalcalculusapproachtoself-similarproteindynamicsJ.BiophysicalJournal,1995,68(1):46-53.DOI:10.1016/S0006-3495(95)80157-8.3BengrineM,DahmaniZ.BoundaryvalueproblemsforfractionaldifferentialequationsJ.InternationalJournalofOpenProblemsinComputerScienceandMathematics,2012,5(4):7-15.DOI:10.12816/0006134.4ZhaoY,SunSR,HanZL,etal.TheexistenceofmultiplepositivesolutionsforboundaryvalueproblemsofnonlinearfractionaldifferentialequationsJ.CommunicationsinNonlinearScienceandNumericalSimulation,2011,16(4):2086-2097.DOI:10.1016/sns.2010.08.017.5FengWQ,SunS,HanZ,etal.ExistenceofsolutionsforasingularsystemofnonlinearfractionaldifferentialequationsJ.ComputersMathematicswithApplications,2011,62(3):1370-1378.DOI:10.1016/j.camwa.2011.03.076.6ZhangXG,LiuLS,WuYH.Multiplepositivesolutionsofasingularfractionaldifferentialequationwithnegativelyper-turbedtermJ.MathematicalandComputerModelling,2012,55(3/4):1263-1274.DOI:10.1016/j.mcm.2011.10.006.7BensonDA,SchumerR,MeerschaertMM,etal.Fractionaldispersion,LvymotionandtheMADEtracertestJ.Trans-portinPorousMedia,2001,42(1/2):211-240.DOI:10.1023/A:1006733002131.8杨帅,蔡宁宁.一类 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