教材资源整合下的课堂教学研究——以“基本不等式(第一课时)”为例.pdf

投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 9 月（下旬）教材资源整合下的课堂教学研究以“基本不等式（第一课时）”为例江苏省南通市教育科学研究院226351江苏省南通市通州区金沙中学226300祝维男咱摘要暂 整合教材资源的水平是衡量教师能力的重要标志援教师要在深度理解教材资源的基础上袁编写出既符合学生认知规律袁又体现知识逻辑顺序的教学方案援文章以野基本不等式渊第一课时冤冶的教学设计为例袁谈谈教师整合教材资源的方法和作用援关键词整合优化曰教材资源曰基本不等式基金项目院江苏省“十四五”重点规划课题“课程思政 视域下高中数学教学设计与实施研究”（C-b/2021/02/28），南通市“十四五”规划课题“基于理性精神培育的高中融通数学教学研究”（QN2021011）.作者简介院祝维男（1983），中学高级教师，南通市教育科学研究院高中数学教研员，南通市学科带头人，曾获江苏省青年教师优秀课评比一等奖、江苏省基础教育成果一等奖援教材是依据课程目标和标准要求编写的袁是师生开展教学活动的主要工具援 一直以来袁大家都比较关注教材的编写理念和设计意图袁忽视了日常教学中教师怎样理解教材尧运用教材等问题援 事实上袁教师不是单纯的教材执行者袁而是教学资源的开发者尧课堂教学的设计者袁整合教材资源的水平是衡量教师能力的重要标志援 在备课过程中袁教师应该在深度理解各种教材资源内涵的基础上袁对教材内容进行补充尧删减尧融合尧活化袁最终巧妙编排出既符合学生认知规律袁又体现知识逻辑顺序的教学方案援 下文是整合人教版初中数学教材和高中数学六个版本教材资源编写的野基本不等式渊第一课时冤冶的教学设计援教学过程与设计意图1.情境铺垫袁恰当衔接第14届国际数学教育大会渊ICME-14冤在上海华东师范大学中山北路校区举办援 大会的会标设计新颖袁数学元素丰富袁有大家非常熟悉的图形要要要野赵爽弦图冶援 渊如图1尧图2尧图3所示冤图1图2图3问题1 在初中阶段袁我们就用野赵爽弦图冶证明了勾股定理袁你还记得勾股定理的学习过程吗钥初中教材以野毕达哥拉斯到朋友家作客时袁发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系要要要任何直角三角形袁其斜边的平方恰好等于另两边平方之和冶这个故事导入新课援 在课堂链接和课本习题中我们用野赵爽弦图冶证明了勾股定理援 即大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个三角形的面积援问题2 回顾勾股定理的学习过程袁给你带来了怎样的启示钥由形到数袁数形结合援 事实上袁数学家都是先直观思考问题袁然后用演绎的形式进行证明袁用文字尧数学符课例评析14投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 9 月（下旬）课例评析号来表达援设计意图 基本不等式是认识数学尧研究数学的工具袁基于实际学习的需要袁新课标将基本不等式迁移为野预备知识冶袁起衔接预备作用援对于基本不等式的导入袁各版本教材一直以来都是野五花八门冶袁并且争议不断援本节课的导入没有用苏教版的野天平冶袁也没有单纯用人教版的野弦图冶袁而是从饱含数学元素的时事背景出发袁回顾初中学习勾股定理的过程袁为高中学习基本不等式做知识和方法上的准备袁解决学生对情境野不熟悉冶尧高中学习野跨度大冶尧能力要求野陡升冶等问题袁自然实现初中和高中的衔接援2.问题驱动袁结论探究问题1 通过面积相等得到了等量关系a2+b2=c2袁再看野赵爽弦图冶袁比较面积能发现怎样的不等关系呢钥让各小组合作探究袁并展示相关成果援在变动过程中袁大正方形的面积始终大于等于四个小三角形的面积和袁其中大正方形的面积为a2+b2袁四个小三角形的面积和为2ab袁 所以a2+b2逸2ab援问题2 在不等式a2+b2逸2ab中袁等号何时成立钥a=b是等号成立的充要条件袁叫野当且仅当a=b时袁等号成立冶援问题3 这个不等式是通过几何图形得到的袁你能用代数法证明吗钥因为a2+b2原2ab=渊a原b冤2逸0袁a沂R袁b沂R袁所以a2+b2逸ab袁将其称为重要不等式援问题4 下面我们继续看图渊见图5冤袁这是一个野半圆模型冶袁其中AC=a袁BC=b袁你能求出CD袁OD的长度吗钥CD=ab 姨袁OD=a+b2.ABDCO图5问题5ab 姨是正数a袁b的几何平均数袁a+b2是正数a袁b的算术平均数援比较线段的长度袁你能找到正数a袁b的几何平均数与算术平均数的大小关系吗钥用GGB动态展示ab 姨臆a+b2袁表明正数a袁b的几何平均数不大于它们的算术平均数袁称之为基本不等式.数学文化链接院公元3世纪袁亚历山大时期的数学家帕普斯在其叶数学汇编曳中给出了野半圆模型冶援 基本不等式的发现过程袁恰好是历史的再现过程渊见图6冤要要要从阿契塔定义几何中项袁到欧几里得介绍ab 姨的几何作法袁再到帕普斯发现野半圆模型冶噎噎设计意图 为了便于理解基本不等式袁教材突出了基本不等式的几何解释要要要野半径不小于半弦冶.该环节通过引导学生在野半圆模型冶中分析尧构造长度为a+b2袁ab 姨的线段袁得到不等式ab 姨臆a+b2渊a逸0袁b逸0冤袁不仅比较直观袁而且可以实现不证自明的效果.通过图形的直观呈现袁引导学生从自然语言向图形语言尧符号语言转换袁 凸显几何图形的直观价值袁体现知识连贯性和生成性.融入数学史料的链接袁 再现基本不等式的源头袁凸显数学文化援通过动态展示袁体现完整的探究过程袁帮助学生理解野当且仅当a=b时袁等号成立冶这句话的抽象毕达哥拉斯约前580要约前500古希腊数学家与哲学家赵爽约182要约250著名的数学家与天文学家abccabaaaabbbccccbc2=渊b-a冤2+2ab渊a+b冤2=2ab+c2a2+b2=c2勾股定理图4baa2+b2 姨S1=a2+b2S2=2aba2+b2逸2ab渊a沂R袁b沂R冤渊当且仅当a=b时袁等号成立冤证明院因为a2+b2-2ab=渊a-b冤2逸0袁所以a2+b2逸2ab.DAOCB渊AC=a袁CB=b冤CD=ab 姨渊几何平均数冤OD=a+b2渊算术平均数冤ab 姨臆a+b2渊a逸0袁b逸0冤渊当且仅当a=b时袁等号成立冤阿契塔叶论音乐曳渊约前420要约前350冤欧几里得叶几何原本曳渊前3世纪冤帕普斯叶数学汇编曳渊3世纪冤图615投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 9 月（下旬）含义袁逐步发展直观想象尧数学抽象等核心素养援3.展示交流袁代数论证问题 证明院ab 姨臆a+b2渊a逸0袁b逸0冤.渊学生自主证明袁将证明过程写在答题区域内并展示袁见图7冤 证明院a+b2-ab 姨=12咱渊a 姨冤2-2a 姨b 姨+渊b 姨冤2暂=12渊a 姨-b 姨冤2逸0袁所以ab 姨臆a+b2成立袁当且仅当a 姨=b 姨袁即a=b时袁取野=冶.比较法证明院要证ab 姨臆a+b2袁只要证2ab 姨臆a+b袁只要证0臆a-2ab 姨+b袁只要证0臆渊a 姨-b 姨冤2袁因为最后一个不等式成立袁所以ab 姨臆a+b2成立袁当且仅当a=b时袁取野=冶.分析法证明院对于正数a袁b袁有渊a 姨-b 姨冤2逸0圯a-2ab 姨+b逸0圯a+b逸2ab 姨圯a+b2逸ab 姨袁当且仅当a=b时袁取野=冶.综合法图7基本不等式院当a逸0袁b逸0时袁ab 姨臆a+b2渊当且仅当a越b时袁等号成立冤渊展示课题冤.设计意图 几何的直观验证不能代替代数证明袁代数证明可以训练学生的推理能力和计算能力袁培养学生的理性思维援这里通过代数证明既让学生了解不等式证明的常用方法要要要比较法尧分析法尧综合法袁也让学生知道这三种证明方法之间的关系袁提炼证明过程所蕴含的数学思想袁引导学生从感性认识上升到理性认识援比较法尧分析法尧综合法属于学生必备的数学方法袁所以在此借助这个教学环节向学生渗透这些数学方法袁为今后学习夯实基础援4.理解公式尧深化认识问题 通过由形到数的研究路径得到了两个不等式渊重要不等式和基本不等式冤袁这两个不等式之间有怎样的联系呢钥 渊小组讨论冤小组1院研究方法一致袁由形到数曰等号成立的条件一致要要要当且仅当a=b时袁等号成立援小组2院两者间相互融通要要要ab 姨臆a+b2两边平方可得a+b22逸ab袁整理得a2+b2逸2ab曰a2+b2逸2ab中的a袁b分别用a 姨袁b 姨替代可得a+b逸2ab 姨袁变形得ab 姨臆a+b2曰同样ab 姨臆a+b2中的a袁b分别用a2袁b2替代可得a2+b22逸ab袁变形得a2+b2逸2ab援小组3院结构也是一致的袁都反映了两数的和与积之间的不等关系援渊重要不等式和基本不等式之间的联系如图8所示冤设计意图 通过探究重要不等式和基本不等式之间的联系袁引导学生关注公式尧结论的相互关联袁把握基本不等式的本质特征援在转化过程中袁掌握重要不等式和基本不等式的常用变形袁厘清公式拓展的来龙去脉袁理解公式使用的野替换冶思想曰融合教材中的例题和习题袁在基本不等式的推广拓展中袁整理知识点袁形成公式链袁有助于提升学生探究尧创新的能力袁加深学生的认知广度和深度袁也为后续应用基本不等式证明其他不等式以及深入探究基本不等式的变形拓展做好铺垫援5.应用公式袁巩固提高习题 渊多选题冤设a袁b为正数袁下列选项中正确的有渊冤A援ba+ab逸2B援a+b+1a+1b逸4C援a+1a+1逸3D援a2+b2逸2ab设计意图 改编教材例题尧习题融合教学袁通过野判冶野证冶野拓冶等环节袁从结合重要不等式和基本不等式的结构特征进行字母替换袁到应用重要不等式和基本不等式进行严格证明袁再到提炼重要不等式和基本不等式baa2+b2 姨S1=a2+b2S2=2aba2+b2逸2ab渊a沂R袁b沂R冤渊当且仅当a=b时袁等号成立冤AOCB渊AC=a袁CB=b冤CD=ab 姨OD=a+b2ab 姨臆a+b2渊a逸0袁b逸0冤渊当且仅当a=b时袁等号成立冤Da2+b22逸aba+b22逸aba+b逸2ab 姨赵爽弦图帕普斯半圆模型图8课例评析16投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 9 月（下旬）课例评析17