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6.2 辏力场中的弹性散射（分波法）6.2 辏力场中的弹性散射（分波法）一、薛定谔方程在一、薛定谔方程在r时的渐近解 时的渐近解 具有能量为E的粒子在靶粒子的势场)(rUr中运动，)(rUr只与rr的大小有关（奏力场的特点），其定态 Schrodinger 方程为（6.17）0)(22=+rVk （21）zLL,2与H可对易，在它们的共同本征态中，三者可同时具有确定值。取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴（如前图），这个轴是旋转对称轴。在3.3 讨论过该方程，方程的一般解为：=lmlmlYrRr),()(),(（没有n，因为E已知且连续），因为势场与,无关，且入射粒子束与无关，故波函数与无关。即0)(=zzprLrr，即0=m，角动量垂直 z 轴。则（21）的一般解可写为 =lllPrRr)()(),(，（22）展开式中每一项称为一个分波，即)()(llPrR为第l个分波，每个分波都是方程（21）式的解，L,2,1,0=l分波分别称L,dps分波。)(rRl满足径向方程 0)()1()()(12222=+rRrllrVkdrdRrdrdrll，（23）其中222hEk=，)(2)(2rUrVh=。（24）令 rrurRll)()(=，则（23）化为 0)()1()()(2222=+rurllrVkdrrudll，（25）当r时，上式的渐近形式为（因为)(rU未知，做一般讨论，但知0)(rrU）0)()(222=+rukdrrudll，（26）其解为)sin()(lllkrAru+=。为讨论方便我们引入lkAAllll21,+=，所以有 krlkrAkrrArurRllllrll)2/sin()sin()(+=+=。（27）在r时，方程仍保留求和指标l，渐近解中的常数也加指标是为了强调，虽然在r时粒子是自由运动，方程及解的形式应与6.1中的波函数相同，但在靶中心 A 附近时，粒子受到)(rU的作用，方程应与l有关，不同的l粒子对应不同的解，当r时它们的形式当然应当有所不同。llA,就具有这样的记忆功能（尽管我们没有具体考察相互作用的影响，给定)(rU后，求解方程，就能得出llA,的数值）。一般解),(r应包含各种l的解（相当入射束中有各种角动量值的粒子），把（27）代入（22）得渐近形式为)(cos)2/sin(),(0llllrPlkrkrAr+=，（28）叠加系数包含在lA中。二、与渐近解的一般形式比较求二、与渐近解的一般形式比较求)(f 在6.1 中我们得到 refeikrikzr),(+，因体系的波函数与无关，即 refeikrikzr)(+，（*）把（28）式写成上式的形式并进行比较就可求得到)(f。利用数学知识将平面波ikze按球面波展开（公式见梁昆淼 P410）)(cos)()12(0cosllllikrikzPkrjilee=+=，（29）其中)(krjl是球贝塞尔函数，它与贝塞尔函数)(2/1krJl+的关系以及它的渐近形式是：)2/sin(1)(2)(2/1lkrkrkrJkrkrjrll=+，（210）则把 )(cos)2/sin(1)12(0coslllrikrikzPlkrkrilee+=代入（*）式并令它与（28）相等得：ikrlllerfPlkrkril)()(cos)2/sin(1)12(0+=)(cos)2/sin(0llllPlkrkrA+=目的是求)(,fAl。利用公式 ieeii2/)(sin=，即 21)21sin()21()21(lkrilkrieeilkr=，21)21sin()21()21(lllkrilkrileeilkr+=+，则：ikrlliikrliikrllerfPeeeeikril)()(cos21)12(21210+=)(cos20)21()21(llliikrliikrlPeeeeikrAll=+=，整理有：ikrllillikrllillePeilePeilkfi=+)(cos)12()(cos)12()(2210210=+=00)21()21()(cos)(cosllikrllilikrllilePeAePeAll 方程两边ikre和ikre前面的系数应分别相等，即有)(cos)12()(2210llillPeilkfi=+=+0)21()(coslllilPeAl，（211）)(cos)12(210llillPeil=+=+0)21()(coslllilPeAl，（212）在（212）式两边乘以)(coslP并对从 0 到积分，且利用勒让德多项式正交性 0122sin)(cos)(cosllllldPP+=得到：dPPeillllillsin)(cos)(cos)12(0210=+（213）=dPPeAllllillsin)(cos)(cos00)21(=+，122122)12()2(2+=+leAleillillill，则得lilleilA)12(+=代入（211）式并利用2)2sin2(coslilleii=+=得 lliPlelikfl)12()12()(202+=+02)(cos)1)(12(lliPell=+0)(cos)()12(lliiiPeeelllllillliePlsin2)(cos)12(0=+，所以 lilllePlkfsin)(cos)12(1)(0=+=。（求l的公式）（214）三、微分散射截面 总散射截面 光学定理 1.三、微分散射截面 总散射截面 光学定理 1.微分散射截面 微分散射截面 2022sin)(cos)12(1)()(=+=llillePlkfq，（215）2.2.总散射截面 总散射截面 =2000sin)(2sin)(dqddqQ=02sin)(2df dePlePlkllilllilllsin*sin)12(sin)12(20002=+=)(0002sinsinsin)12)(12(2llilllllledPPllk=+)(002sinsin122)12)(12(2llillllllelllk=+=+0202sin)12(4llllQlk，（216）lllkQ22sin)12(4+=第l个分波的散射截面 （217）3.3.光学定理 光学定理 因为 1)1(=lP，所以 lilllePlkfsin)1()12(1)0(0=+=，即 lllkf20sin)12(1)0(Im=+=，所以 )(Im4fkQ=光学定理 参考：Schiff write Quantum Mechanics(Third edition)P120,P129-138 四、讨论 1分波法的意义 四、讨论 1分波法的意义 由于辏力场中角动量守恒，故上面推导过程中把入射波、散射波都分解成不同l的分波，如 s 分波（s 散射）、p 分波（p 散射）等等，各分波的散射截面为lQ，总散射截面等于各个分波散射截面lQ之和，故称为分波法。（注意对于)(q没有那样简单的关系，因为有各个分波的交叉项，由于lP的正交性，交叉项对总Q无贡献）。2相移2相移l 入射波中第l个分波的相移为 2lkr，散射波中第l个分波的相角为 llkr+2，位相差l即第l个分波经散射后位相改变了l，这叫第l分波的相移。按分波法求微分散射截面和总散射截面问题归结为求各个分波的相移l。在实际计算中，若)(rU是r的已知连续函数，且随r足够快的衰减，把)(rU代入方程，解得)(rRl，取r时得渐近形式与一般渐近形式比较，即可求得l。3光学定理 3光学定理 内容：总散射截面正比于向前散射（0=）振幅的虚部。物理解释：散射是部分入射粒子离开原入射方向，这样的粒子数目正比于总散射截面Q，由于这些粒子的离去，经散射区后沿0=方向的粒子数减少了，即散射后0=方向的波减弱了。这种减弱是渐近解中ikze和0)(=ikrerf相干涉的结果，干涉消弱的程度当然与0)(=f成比例。所以Q与)0(f成正比。计算结果是：这种干涉使粒子继续沿0=方向运动的几率减少量为)(Im4fk，它应等于粒子向其它方向散射的几率。关于该定理的信息可参考：L.I.Schiff Quantum Mechanics（The Third edition）Chap.V,Sect.119,134,135.之所以叫光学定理是鉴于它与光通过媒介时的情形类似：折射率的虚部与吸收系数（总吸收截面）有关。（该问题有待进一步研究）。4分波法适用范围 4分波法适用范围 求散射截面归结为求各分波相移l，l的计算通常是相当复杂的，故只有当0，1，2，等等少数几个显著不为零，其余都几乎为零时，利用分波法才方便。设)(rU的作用半径为a，只有在)(rU范围内)(krjl很大时，第l分波才会受到)(rU的明显影响，否则影响可略。但是)(krjl的极大值在klr=处，当r减少时，)(krjl随lr很快减少到零，故只有当akl时，即kal时的那些分波受到)(rU的明显影响。这时只要计算0，kal=,L的分波相移即可。如果1的粒子不受)(rU的影响，只有paL的粒子才受到影响，但是hlL，所以只有满足aklhh，即kal的粒子才受到影响。