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4.6 线性谐振子与占有数表象 4.6 线性谐振子与占有数表象 重点：重点：产生算符和湮灭算符，占有数表象 难点：难点：用产生算符和湮灭算符求解线性谐振子本征问题 本节我们引进新算符a ，+a，并用之于线性谐振子能量本征问题的求解，同时介绍占有数表象。一、引进新算符 一、引进新算符 1.定义：+=+=xx2p ix2a h =+xx2p ix2a h ()1 其中h=，x，p 为厄米算符。说明说明：a.由于+a a，故a 不是厄米算符。b.1a ,a=+()2 解释解释：+=+p ix2,p ix2a ,a +=x,p ip i,x22 x,p p ,xi22+=而hip ,x=所以+a ,a()1i2i22=hhh 2.a，+a 的意义 令xx=h，则：=xx 所以=1x，=hip 而+=p ix2a；=+p ix2a 则：+=p ix2a+=21 =+p ix2a=21 ()3 于是把a 作用于谐振子的第n个本征态n上有：()()+=n21nnHe2Na 2 ()()()+=n21n21n21nHeHeHe2N222 ()=n21nHe2N2 而()()=1nnnH2H 则：)(a n)(nH2e2N1n21n2)(HeNNNn21n211n1nn2 )()!1n(2!n2n21n1nn )(n1n 即：)x(a n)x(n1n (4)同理得：)x(a n+)x(1n1n+（学生自己证）。以上讨论都是在x表象中进行的，下用Dirac符号表示上式。由于)x(nnx （x表象）则：)x(a n)x(n1n 符号表象的Diracxnxdxxa x1nxn )x(a n+)x(1n1n+nxdxxa x+1nx1n+利用x的本征矢的封闭性可进一步简化为：1nxnna x=；1nx1nna x+=+若不用具体表象可写为：+=+1n1nna 1nnna (5)下面讨论(5)的物理意义：（此处借用2.7 的解）n、1n 和1n+为H的本征刃，对应于H的本征值分别为nE、1nE和1nE+。由nE+h)21n(+hh21n可知，谐振子的能量nE等于h的n倍加零点能h21。谐振子的能量只能以h为单位改变，可把这个能量单位h看作一个粒子，则本征态n表示体系在该态具有n个粒子。于是：1nnna=说明由于a 的作用，态n变为1n，即减少了 一个粒子，故称a 为湮灭（或消灭或下降）算符；1n1nna+=+说明由于+a 的作用，态n变为1n+，即增加了一个粒子，故称+a 为产生（或上升）算符。二、用二、用a，+a 表示线性谐振子的哈密顿算符表示线性谐振子的哈密顿算符H和粒子数算符和粒子数算符N 1.H的表达式 由+=p ix2a、=+p ix2a 和h=可得：)a a (2x 21+=h；)a a (2i1p+=h (6)则H222x212p+a a a a a a 422+ha a a a a a 422+h a a a a 21+h 而1a ,a=+于是Ha a a a 121+h+21a a h (7)2.粒子数算符N的定义及其意义 定义：Na a+=则：nNa a+n1nna+1na n+nnnnn 即N的本征值为粒子数n，故称Na a+为粒子数算符，n为n粒子 态。而H+21a a h+21Nh (8)则：n21nn21NnH+=+=hh 因为0N,21NN,H=+=h，所以N，H有共同本征函数且组成完全系，故求能量本征问题可简化为求解：nnnN=()9 三、用三、用a、+a 表示的谐振子本征态及粒子数表示的谐振子本征态及粒子数n的取值 的取值 设以表示H的本征值，属于这个本征值的本征矢用表示，则：0a 2h 即：0a a a 2=+hh 而+=+21a a Hh，即=+hh21Ha a 则：02121Ha a a 2=+hhhh 于是：h21，即H的最小值为h21。而H+21a a h+21Nh；nNnn=即nHn21n+h 则H的本征值+=h)21n(+=h)21n(En)所以：0n 而1nnna=则：00a=，（L,21不存在）。其中0表示谐振子的基态刃，并且用上式可求出0（后面讲）。于是谐振子的其它本征态也可以通过a、+a 求出，即：110a=+01a 1+=221a=+0!2)a (12a 22+=332a=+0!3)a (23a 33+=M M nn1na=+0!n)a (1nna nn+=可见：n由0n=开始依次递增1，即L,2,1,0n=。四、占有数表象（粒子数表象）四、占有数表象（粒子数表象）以粒子数算符的本征矢n为基矢的表象为占有数表象。在占有数表象中，a，+a 为基本算符，其它力学量算符可表示成a，+a 的算符函数。例如：a a N+=；H+21a a h；)a a (2x 21+=h；)a a (2ip+=h。1.在占有数表象中，算符a 的矩阵表示：1n,mmnn1nmnna ma=；L,2,1,0n,m=LLLLLLLL300002000010a 第一行：L,2,1,0n,0m=第二行：L,2,1,0n,1m=第三行：L,2,1,0n,2m=2.在占有数表象中，算符+a 的矩阵表示：1n,mmn1n1nm1nna ma+=+=；L,2,1,0n,m=+OLLLLLLLL0300002000010000a 第一行：L,2,1,0n,0m=第二行：L,2,1,0n,1m=第三行：L,2,1,0n,2m=说明：实际上将矩阵a转置取共轭就可得矩阵+a。3.在占有数表象中，算符N；H的矩阵表示：mnmnnnNmN=；L,2,1,0n,m=mnmn21nnHmH+=h；L,2,1,0n,m=()=+LLLLLLL200010000a a N =LLLLLLLLh025000023000021H 同样可得)a a (2x 21+=h；)a a (2ip+=h的矩阵表示。五、线性谐振子本征函数求解 五、线性谐振子本征函数求解 实际上，在占有数表象中完全能够独立求解线性谐振子的本征问题。关于本征能量的求解可参看问题二及三，下面求解本征函数。由0a 0=(即00a=)和+=21a 可得：00=+即：00dd=或=dd00 解之得：22100eN=而由归一化条件1NdeNdx2020002=+，可得：=0N 于是基态波函数2210e=而0!n)a (1nna nn+=，即()0nna!n1=+a=21 则：()221n0nne21!n1a!n1+=221nne!n2=下面计算221ne 221e221e221e221e2()2211eH 221ne()221neH 所以线性谐振子的本征函数()()xHe!n2xnx21nn22=（4.14.3 为本章重点）。附：练习题：1计算?na a=+2利用+=+1n1nna 1nnna 或封闭性求?nxn3=；?npn2=。已知：)a a (2x 21+=h；)a a (2ip+=h =nx+1n21n1n2n1 =np+1n21n1n2nih；h=