2023学年高考数学一轮复习第9章解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系课时跟踪检测文新人教A版.doc

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 A级·基础过关|固根基| 1.(2023年届长春市高三质量监测一)已知直线x＋y＝0与圆(x－1)2＋(y－b)2＝2相切，则b＝(　　) A．－3 B．1 C．－3或1 D. 解析：选C　由圆的方程知，圆的圆心为(1，b)，半径为.由直线与圆相切，得＝，解得b＝－3或b＝1，故选C. 2．已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定 解析：选A　由已知得，圆C：(x－1)2＋(y－m)2＝4，则圆心C(1，m)，半径r＝2，因为圆C关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以圆心(1，m)在直线l：x－y＋1＝0上，所以m＝2.由圆心C(1，2)到直线x＝－1的距离d＝1＋1＝2＝r知，直线x＝－1与圆C相切．故选A. 3．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是(　　) A．{1，－1} B．{3，－3} C．{1，－1，3，－3} D．{5，－5，3，－3} 解析：选C　因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|＝1，外切时，|a|＝3，所以实数a的取值集合是{1，－1，3，－3}． 4．已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，设条件p：0<r<3，条件q：圆C上至多有2个点到直线y－y＋3＝0的距离为1，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C　圆心C(1，0)到直线x－y＋3＝0的距离d＝2.若圆C上至多有2个点到直线x－y＋3＝0的距离为1，则0<r<3，所以p是q的充要条件． 5．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，圆O2的圆心坐标为(2，1)．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为(　　) A．(x－2)2＋(y－1)2＝6 B．(x－2)2＋(y－1)2＝22 C．(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22 D．(x－2)2＋(y－1)2＝36或(x－2)2＋(y－1)2＝32 解析：选C　设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r>0)．因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，所以直线AB的方程为4x＋4y＋r2－10＝0.圆心O1(0，－1)到直线AB的距离d＝，由题意得d2＋22＝6，即＝2，所以r2－14＝±8，所以r2＝6或22.故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22. 6．若直线y＝－x－2与圆x2＋y2－2x＝15相交于A，B两点，则弦AB的垂直平分线的方程为________． 解析：圆的方程可整理为(x－1)2＋y2＝16，所以圆心坐标为(1，0)，半径r＝4，易知弦AB的垂直平分线l过圆心，且与直线AB垂直，而kAB＝－，所以kl＝2.由点斜式方程可得直线l的方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0. 答案：2x－y－2＝0 7．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相外切，则圆C的方程为________． 解析：由题意知圆心C(－1，0)，C到已知圆圆心(2，3)的距离d＝3，由两圆相外切可得R＋2＝d＝3，即圆C的半径R＝，故圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝2. 答案：(x＋1)2＋y2＝2 8．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为________． 解析：由题意得∠AOB＝90°，所以点O在圆C上．设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，所以点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|＝＝，所以圆C的最小半径为，所以圆C面积的最小值为π＝π. 答案：π 9．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)， 则＝. 化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1. 所以C(1，－2)，半径|AC|＝＝. 所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2. (2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件． ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，即kx－y＝0， 由题意得＝1，解得k＝－， 所以直线l的方程为y＝－x. 综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0. 10．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点． (1)求k的取值范围； (2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|. 解：(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r＝1， 由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1， 因为l与圆C交于两点，所以<1. 解得<k<. 所以k的取值范围为. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得 (1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0. 所以x1＋x2＝，x1x2＝. ·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8. 由题设可得＋8＝12， 解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1. 故圆心C在l上，所以|MN|＝2. B级·素养提升|练能力| 11.过坐标轴上一点M(x0，0)作圆C：x2＋＝1的两条切线，切点分别为A，B.若|AB|≥，则x0的取值范围是(　　) A.∪ B．(－∞，－ ]∪[，＋∞) C.∪ D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：选C　根据题意，圆C：x2＋＝1，其圆心为，半径r＝1， 过点M作圆的切线，切点为A，B，则MA⊥AC，MC⊥AB， 则S△MAC＝×|MA|×|AC|＝×|MC|×. 又由|AC|＝1， 变形可得|AB|＝2×，则有≥. 又由M(x0，0)，C，则|MC|2＝x＋，|MA|2＝|MC|2－1＝x－，即可得≥， 解得x0≤－或x0≥， 即x0的取值范围是∪. 故选C. 12．(2023年届合肥模拟)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　　) A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0 B．3x＋4y－12＝0或x＝0 C．4x－3y＋9＝0或x＝0 D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0 解析：选B　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，联立得解得 或∴|AB|＝2，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，∵圆x2＋y2－2x－2y－2＝0即(x－1)2＋(y－1)2＝4，∴圆心为C(1，1)，圆的半径r＝2，易知圆心C(1，1)到直线y＝kx＋3的距离d＝＝，∵d2＋＝r2，∴＋3＝4，解得k＝－，∴直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0.故选B. 13．(2023年届洛阳市统考)已知直线x＋y－2＝0与圆O：x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，C为圆周上一点，线段OC的中点D在线段AB上，且3＝5，则r＝________． 解析：如图，过O作OE⊥AB于E，连接OA，则|OE|＝＝，易知|AE|＝|EB|， 不妨令|AD|＝5m(m>0)，由3＝5可得|BD|＝3m，|AB|＝8m，则|DE|＝4m－3m＝m， 在Rt△ODE中，有＝()2＋m2，　① 在Rt△OAE中，有r2＝()2＋(4m)2，　② 联立①②，解得r＝. 答案： 14．(2023年届湖南东部六校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方． (1)求圆C的方程； (2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意可设圆心C(a，0)，则＝2⇒a＝0或a＝－5(舍)．所以圆C的方程为x2＋y2＝4. (2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB，此时N点的横坐标恒大于0即可． 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得，(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝.若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒＋＝0⇒＋＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒－＋2t＝0⇒t＝4， 所以当点N为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立． - 6 -