数学（A版） 必修 第一册 教师用书.pdf

中学数学及其教学教师们好！感谢大家使用我们的教材：为了帮助大家理解“人教A版”教科书和本套教师用书，我们想就数学教育教学中的一些关键问题，例如，如何理解数学教育中的立德树人？如何理解中学数学？如何通过理解数学、理解学生、理解教学、理解技术，实现教师专业化发展和教学能力提升？如何实施“核心素养导向的数学教学”？如何才能使学生的数学学科核心素养得到良好发展？等等，谈点想法，希望能抛砖引玉一、数学教育中的立德树人提出，数学教育中的立德树人要体现数学学科通常，人们往往认为“德育”与数学教学特点，其基本内涵是：“弱相关”，因为数学课堂中的推理、运算等主学生能在获得“四基”、提高“四能”的要数学活动似乎与人的道德、品性等没有直接过程中，发展数学学科核心素养，逐步学会用关联，但事实上这仅是表面现象.数学教育中数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用的德育是深层次的，有其独特的内涵.数学语言表达世界；提高学习数学的兴趣，增随着我国社会、经济的发展，高中教育的强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习性质和培养目标也在发生变化，正如普通高惯；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科中课程方案(2017年版)指出的：普通高学精神；发展自主学习能力，提高实践能力，中教育是在义务教育基础上进一步提高国民素提升创新意识；认识数学的科学价值、应用价质、面向大众的基础教育，其培养目标是进一值、文化价值和审美价值，步提升学生的综合素质，着力发展学生的核心我们认为，理性思维和科学精神是数学抽素养，使学生具有理想信念和社会责任感，具象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运有科学文化素养和终身学习能力，具有自主发算、数据分析等六个数学学科核心素养要素展能力和沟通合作能力.这一培养目标事实上(即六大关键能力)的灵魂，所以发展学生的就界定了高中各科德育的共同内涵.当前，发数学学科核心素养是数学学科立德树人的具体展学生的核心素养就是立德树人的具体化化，而聚焦点应放在理性思维和科学精神的发数学学科对培育学生的正确价值观、必备展上，这是由数学的学科特点所决定的.标品格、关键能力的贡献就是发展学生的数学学准(2017年版)指出：“数学是研究数量关科核心素养，这是数学学科立德树人的功能和系和空间形式的一门科学.数学源于对现实世育人贡献之所在.普通高中数学课程标准界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形(2017年版)（简称标准(2017年版）)式推理、模型构建等，理解和表达现实世界中|中学数学及其教学|1事物的本质、关系和规律.”这一表述阐明了展理性思维和科学精神为落脚点.为了建立数数学与大自然及人类社会的天然联系，数学是学学科核心素养与数学课程及其教学的内在联表达宇宙空间本质的工具.同时，数学最本质系，充分发挥数学课程和教学在全面贯彻党的的特征是逻辑的严密性，其中蕴含着讲规则、教育方针、落实立德树人根本任务、发展素质重证据、依逻辑、实事求是、严谨求实的科学教育等方面独特的育人价值，标准(2017年精神与为人品格.这样，数学不仅有理解和表版)给出了数学学科核心素养，明确了学生达现实事物的本质、关系和规律以及发展学生学习数学课程后应达成的正确价值观、必备品理性思维的工具属性，也有鲜明的科学精神、格和关键能力，并围绕数学学科核心素养的落为人品格等价值观念属性.所以，数学教育必实，精选、重组了教学内容，提出了以核心素然是工具性和价值观的统一体，体现数学教育养为导向的数学教材编写、数学教学以及考试本来面目的数学课堂教学必然是“德智融合”评价的新要求，强调数学教学要更加关注数学的，科学精神的培育是自然而然地融入在“四学科思想、数学思维方式等，要努力克服重教基”“四能”的教学中的.也就是说，如果课书轻育人的倾向.因此，落实数学学科核心素堂教学没有把育德和育智紧密结合起来，那么养的前提是教师理解中学数学内容，关键是理就没有完整体现数学教育的真谛解内容所反映的数学思想方法，以及在研究数理性思维得到良好发展的具体表现是：能学对象中所采用的思维方式，抓住纷繁复杂事物中的关键要素，善于发现事下面我们以标准(2017年版)必修物的本质、关系和规律；善于返璞归真、精中和选择性必修中的内容为主体，将中学数学教求简、以简驭繁，能在一般观念指导下思考和科书中的内容编织成为一个知识图谱，以便大解决问题；对自己的判断和选择有清晰且自觉家对它有一个脉络清晰、重点突出的理解。这的认识，能有理有据、前后一致、逻辑连贯地里的知识图谱是显示数学知识发展进程与结构阐明观点；善于透过现象看本质，识破似是而关系的一系列图形，可以帮助大家运用系统思非的诡辩；形成重论据、有条理、合乎逻辑的维，从整体性、联系性、层次性等角度去分析思维品质，养成以理服人的行为习惯，和把握中学数学内容。总之，符合立德树人要求的数学教育，就1.中学数学的研究对象是要充分挖掘和利用数学课程内容所蕴含的育对于“什么是数学”“数学的研究对象有人资源，发挥数学在形成人的理性思维、科学哪些类型”等问题的回答，可以有不同观点，精神和促进人的智力发展中的独特作用，用数可以从不同角度给出回答.标准(2017年学的方式开展育人活动，使学生在掌握“四版)延续了恩格斯的观点，认为“数学是研基”、提高“四能”的过程中，学会有逻辑地、究数量关系与空间形式的一门科学”.这样，创造性地思考，形成数学的思维方式，发展理数学的研究对象有的可以纳入较单纯状态的性思维，养成科学精神，成为善于认识问题、“数量关系”或“空间形式”，有的可以纳入两解决问题的人才者融合状态的“数形结合”.概率与统计当然二、理解中学数学也可以也可以纳人上述三条主线中，但概率与从上所述可见，深化数学课程改革，就是统计是研究不确定现象的，其他中学数学则是要以立德树人为根本，以数学学科核心素养为研究确定现象的，若把后者称为确定性数学，目标导向，培养“四基”“四能”为手段，发则概率与统计是以确定性数学为工具来研究不2普通高中教科书教师教学用书数学必修第一册确定现象的数学，所以概率与统计应放在一个然地成为数学的基本语言，并且从这里我们还独立的位置上，在中学阶段，集合与常用逻辑会看到和相信，为什么数学的研究成果，数学用语都是刻画事物的语言和工具，因此应该作的研究思想、方法等都有可能在其他理论中派为学习所有内容的基础.上用场，得到广泛应用2.集合与常用逻辑用语常用逻辑用语数学的最重要特征是它的集合只要研究问题，就有研究对象.这严谨性，这种严谨性是由一系列表示关系的逻些研究对象都是数学中的元素.一方面把一些辑术语把表示概念的名词连接在一起而体现元素放在一起作为一个整体看待，就形成一个的，由此，从条件到结论，清清楚楚、明明白集合.因而元素、集合是处处存在的.另一方白，不会产生歧义，而且能被其他人理解.数面，从有关自然数的Peano公理，以及关于欧学的表达方式是全世界数学家都认同和遵守氏几何的公理体系可以看到或感觉到，无论是的，数学语言是世界通用的.逻辑用语是数学“数量关系”“空间形式”中涉及的对象和概语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工念，还是“数形结合”中遇到的对象和概念，具，是数学严谨性与准确性的基本保证，是逻都能用集合论的语言（元素、集合、属于、子辑思维的基本语言，集、映射等)给出它们的定义.在这个意义3.数量关系上，可以说数学研究的很多对象都是元素间具“数量关系”所涉及的内容可概括为如下有某些关系的集合，这样，集合论的语言就自结构图：方程不等式实数系代数式幂函数多项式函数数量指数函数函数函数的导数关复数系对数函数系三角函数向量系数列实数系实数及其运算和大小关系.实数们有代数基本定理（每一个复系数一元n次多是度量大小的绝好工具，实数系是一切具有运项式至少有一个复数根，其中n为正整数).算的体系的标兵，任何具有运算的体系中的内向量系向量及其运算.直线上向量的坐容、方法与思想，都能在与实数系的类比中得标是一个实数，平面中向量的坐标是实数对到启发，(x,y),空间中向量的坐标是三实数组复数系复数及其运算.复数由实数扩张(x,y,之).在这个意义上，向量可以看作是而得，是人类能创造出的最大、最佳数系。这实数的一种推广.此外，在历史上，复数是因为：把复数系再扩张时，就不再存在像复(a十bi)曾被推广到四元数(a+xi十yj+数系这样方便而完美的运算了.对复数系，我zk),而其中的xi十yj十zk被发展成现在的向丨中学数学及其教学|3三角函数描述周期现象的重要数学模用极限概念“纯数量”地去定义，但在中学里型.为了刻画一些简单的周而复始的运动变化我们强调在实际背景下直观地、实质地去给出现象（如匀速圆周运动），我们以单位圆上点导数的描述，因而我们愿把导数概念看成是数的运动规律为背景引人了任意角的三角函数.形结合的产物.这里，重要的是极限思想，而正弦函数、余弦函数是一对起源于圆周运动导数则是借助于极限的一种运算相辅相成的周期函数，它们的基本性质则是圆从数及其运算、函数及数形结合等角度来的几何性质（主要是对称性）的直接反映.三观察中学数学，是弄清中学数学脉络，搞活中角函数是数形结合的产物，在探究三角函数的学数学的三个重要观点性质和各种各样的三角公式时，借助单位圆的4.空间形式直观是非常重要而有效的方法.三角函数是非“空间形式”所涉及内容可概括为如下结常重要的函数，是描述一般周期函数的基石.构图：函数的导数虽然函数f(x)的导数可以空平面几何圆锥曲线般平面曲线间形式立体几何平面几何讨论点，直线，直线的位置关联，因为它们是整个定量立体几何的基础所系（重点是平行与垂直），三角形、四边形在.对于空间图形，只是看看柱面、锥面和球(重点是平行四边形)，圆等基本而简单的平面面，从直观上去感知它们的结构特征；凭借最图形的性质，其中尤以三角形为代表.三角形简单、最基本的直线、平面的位置关系，以及既简单而又能充分反映空间的本质，例如三角三视图、透视图使我们获得一定的空间形体的形内角和定理所表示的是平面的平行性，而平直观感觉，行性在平面几何中所扮演的角色是使定量几何圆锥曲线平面解析几何的主要对象.在中的各种公式都大大简化：等腰三角形所具有中学，给出它们的几何定义后，便用数形结合的轴对称能具体地反映平面的反射对称性，所的代数方法一“坐标法”来讨论它们.这些以它是研究平面几何对称性的基本工具；定量基本、简单而又很有用的平面曲线使我们对平平面几何中的基本定理，三角形面积公式、相面曲线有了更多的感性认识，同时“坐标法似三角形定理和勾股定理是首要的.因此，在也为用数形结合的微积分方法去研究一般曲线几何的学习中，必须重视对三角形的研究.平打下了一个很好的基础。面几何是进一步用坐标法讨论曲线的基础.平一般平面曲线虽然只在最后时刻用微积面几何在培养学生的直观想象和逻辑推理等素分方法专门讨论了它，但在整个中学数学中，养上具有不可替代的作用.与函数结伴几乎出现在所有的地方.想到函数立体几何直线与直线、直线与平面、平概念的无比重要性，对帮助我们形象地看到函面与平面之间的位置关系，基本立体图形数的曲线是非常亲切的，(柱、锥、台、球)的结构特征.特别重要的一般地，几何的研究对象是图形和图形之是空间中的平行和垂直以及两者之间的密切关间的关系，研究主题是几何对象的性质.定义|中学数学及其教学|5某类几何对象的基本方法是，先通过具体事例极大的好处.初等几何必须依照图形呈现的情分析组成这类对象的基本元素（点、线、面、况而区分许多情况，而现在用几个简单的一般体)及其形状和位置关系，然后归纳共性抽象定理就可以概括.”这几个“一般定理”就是出概念.例如，通过观察具体实物、模型，得向量的加法与减法、数乘、数量积的运算及运出棱柱表面是由平面图形围成的；这些平面图算规则、几何意义（物理意义），以及向量基形中，有两个相互平行，其余都是四边形，而本定理及坐标表示.用向量方法研究几何，可且相邻两个四边形的交线相互平行；将这些共概括为“三步曲”：用向量表示出问题中关键性概括到一般去，就抽象出棱柱的概念.所谓的点、线、面；进行向量计算得出结果；对所几何性质，首先是几何图形组成元素之间的位得结果给予几何的解释而将问题解决.需要注置关系、大小关系.例如，三角形的性质，就意的是，向量法是非常灵活的，利用“基”转是以三角形的要素（三边、三内角）、相关要化为坐标运算仅仅是其中的一种方法，素（高、中线、角平分线、外角等）之间的相函数与曲线贯穿中学数学的一对孪生互关系以及几何量（边长、角度、面积等）为姐妹基本问题，从“形状、大小和位置关系”等角坐标方法下用代数方法研究直线，圆锥度展开研究；“形状”中，“特例”是重点曲线用数及其运算为工具.用代数方法研究等腰三角形和直角三角形，凡“特例”都有性几何，可概括为“三步曲”：用数（坐标）、代质和判定两个基本问题.显然，在这样的一般数式、方程表示出问题中关键的点、距离、直观念指导下展开研究，对发现几何图形性质、线、圆锥曲线；对这些数、代数式、方程进行建立几何知识结构大有裨益讨论；把讨论结果给予几何的解释而将问题解5.数形结合决.值得注意的是，解析几何研究的是几何问用三角函数解三角形参看三角函数题，因此“先用几何眼光观察，再用坐标法解把几何中的定性定理转化为可计算的定量结决”是基本原则.对圆锥曲线的基本几何特征果.举例说，已知三角形的两邻边a,b及其的认识是有效利用代数法解决问题的基础，夹角C,依边角边定理，第三边c完全确定，坐标方法下用微积分方法研究平面曲线因而有函数c=f(a,b,C).如何具体给出用导数和积分为工具，用分析方法研究曲线这个函数？这里引入三角函数以具体表示这个在坐标系下，函数对应曲线，导数就是曲线切函数，编制三角函数值表以使它可计算线的斜率，积分就是曲线下覆盖的面积.而微用向量法研究几何用向量及其运算为工积分基本定理把这两个在几何上看不出有什么具.向量法的本质，首先是让几何量带上符关系的几何量紧密地联系起来了.微积分是研号.F克莱因说：“对比把长度、面积、体究曲线的强大工具，积考虑为绝对值的普通初等几何学，这样做有为了醒目，把它们放在下面的框图中：6丨普通高中教科书教师教学用书数学必修第一册丨