2023学年高考数学一轮复习课时作业63二项分布正态分布及其应用理.doc

课时作业63　二项分布、正态分布及其应用 [基础达标] 一、选择题 1．[2023年·合肥检测]已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100,4)．现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有(　　) 附：若X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.954 5. A．3 413件 B．4 772件 C．6 826件 D．8 186件 解析：由题意知μ＝100，σ＝2，则P(98<X<104)＝[P(μ－σ<X<μ＋σ)＋P(μ－2σ<X<μ＋2σ)]≈0.818 6，所以质量在[98,104]内的产品估计有10 000×0.818 6＝8 186件． 答案：D 2．[2023年·金华一中检测]端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，所以P()＝，P()＝，P()＝.由题知A，B，C为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率P( )＝P()P()P()＝××＝，所以至少有一人回老家过节的概率P＝1－＝. 答案：B 3．[2023年·广东梅州一检]箱内有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，则恰好有3人获奖的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：由题得获奖的概率为P＝＝.记获奖的人为ξ，ξ～B，所以4人中恰好有3人获奖的概率为P＝C×3×＝，故选B. 答案：B 4．[2023年·河北“五个一名校联盟”模拟]某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，则由题意可得P(A)＝，P(AB)＝，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P(B|A)＝＝＝.故选C. 答案：C 5．[2023年·河南中原名校联盟一模]市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经工商局抽样调查，发现网上购买的家用小电器的合格率约为，而实体店里的家用小电器的合格率约为.现工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是(　　) A. B. C. D. 解析：∵大约的人喜欢在网上购买家用小电器，网上购买的家用小电器的合格率约为，∴某家用小电器是在网上购买的，且被投诉的概率约为×＝，又实体店里的家用小电器的合格率约为，∴某家用小电器是在实体店里购买的，且被投诉的概率约为×＝，故工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性P＝＝. 答案：A 二、填空题 6．[2023年·福建福州质量抽测]甲、乙、丙三位同学独立解决同一个问题，已知三位同学能够解决这个问题的概率分别为，，，则有人能够解决这个问题的概率为________． 解析：没有人能解决这个问题的概率为＝，故有人能够解决这个问题的概率为1－＝. 答案： 7．[2023年·浙江七彩联盟联考]若随机变量X～B，则P(X＝3)＝________. 解析：随机变量X～B，则P(X＝3)＝C×3×＝. 答案： 8．[2023年·广东东莞调研]设随机变量X～N(1，σ2)，且P(X>2)＝，则P(0<X<1)＝________. 解析：由随机变量X～N(1，σ2)，可知P(X<1)＝，又P(X>2)＝，所以P(X<0)＝，则P(0<X<1)＝－＝. 答案： 三、解答题 9．现有5张卡片，每张卡片上各有1道题，在这5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2张卡片，求在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率． 解析：设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2次抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB，所求事件为B|A.从5张卡片中不放回地依次抽取2张的事件数为n＝A＝5×4＝20.事件A所包含的事件数m，可根据分步乘法计数原理求得，m＝CC＝3×4＝12. 由古典概型的求解公式可得P(A)＝＝＝. 事件AB所包含的基本事件数为t＝A＝6. 由古典概型的求解公式可得P(AB)＝＝＝. 由条件概率公式可得，所求事件的概率为P(B|A)＝＝＝. 10．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都从装有4个红球，6个白球的甲箱和装有5个红球，5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖． (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率； (2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望． 解析：(1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球} A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}， B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}， B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}， C＝{顾客抽奖1次能获奖}． 由题意，A1与A2相互独立，A1与A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1＋A2，C＝B1＋B2. 因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝， P(B2)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2) ＝P(A1)P()＋P()P(A2) ＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2) ＝×＋×＝. 故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2) ＝＋＝. (2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以X～B. 于是P(X＝0)＝C03＝， P(X＝1)＝C12＝， P(X＝2)＝C21＝， P(X＝3)＝C30＝. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的数学期望为E(X)＝3×＝. [能力挑战] 11．[2023年·湖北武汉武昌区调研]某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”(记为l，单位：cm)，从某批产品中随机抽取100件，测量发现长度全部介于85 cm和155 cm之间(包含85 cm和155 cm)，得到如下频数分布表： 分组 [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) [125,135) [135,145) [145,155) 频数 2 9 22 33 24 8 2 已知该批产品的该项质量指标值服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)． (1)求P(132.2<l≤144.4)． (2)公司规定：当l≥115时，产品为正品；当l<115时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 参考数据：≈12.2. 若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 解析：(1)样本平均数＝90×0.02＋100×0.09＋110×0.22＋120×0.33＋130×0.24＋140×0.08＋150×0.02＝120， 样本方差s2＝900×0.02＋400×0.09＋100×0.22＋0×0.33＋100×0.24＋400×0.08＋900×0.02＝150. 所以l～N(120,150)，又σ＝≈12.2， 所以P(μ<l≤μ＋σ)＝P(120<l≤132.2)≈×0.682 7≈0.341 4， P(μ<l≤μ＋2σ)＝P(120<l≤144.4)≈×0.954 5≈0.477 3， 所以P(132.2<l≤144.4)＝P(120<l≤144.4)－P(120<l≤132.2)≈0.135 9. (2)由频数分布表得，P(l<115)＝0.02＋0.09＋0.22＝0.33，P(l≥115)＝1－0.33＝0.67. 随机变量ξ的所有可能取值为90，－30，且P(ξ＝90)＝0.67， P(ξ＝－30)＝0.33. 则随机变量ξ的分布列为 ξ 90 －30 P 0.67 0.33 所以E(ξ)＝90×0.67－30×0.33＝50.4. 6