2023学年高考数学一轮复习第7章不等式第4节基本不等式课时跟踪检测文新人教A版.doc

第四节　基本不等式 A级·基础过关|固根基| 1.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C.＋> D.＋≥2 解析：选D　对于A，因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以A错误；对于B、C，当a<0，b<0时，明显错误； 对于D，因为ab>0，所以>0，>0， 所以＋≥2＝2，正确． 2．(2023年届安徽省六校联考)若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A　因为正实数x，y满足x＋y＝2， 所以0<xy≤＝＝1， 所以≥1. 又因为≥M恒成立， 所以M≤1，即M的最大值为1. 3．已知a>0，b>1，且a＋b＝2，则＋的最小值为(　　) A．4＋2 B．8 C．4 D．2 解析：选A　因为a>0，b>1，a＋b＝2， 所以＋＝(a＋b－1)＝4＋＋≥4＋2＝4＋2， 当且仅当a＝，b＝时取等号，所以＋的最小值为4＋2.故选A. 4．(2023年届长春市质量检测一)已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为(　　) A．8 B．9 C．12 D．16 解析：选B　由4x＋y＝xy，得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)＝＋＋1＋4≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时取“＝”，故选B. 5.已知函数f(x)＝ax3＋bx2－x(a>0，b>0)在x＝1处取得极值，则＋的最小值为(　　) A．4 B．5 C．9 D．10 解析：选C　由f(x)＝ax3＋bx2－x，得f′(x)＝ax2＋bx－1，则f′(1)＝a＋b－1＝0， 即a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，故选C. 6．已知x>0，y>0，2x＋y＝3，则xy的最大值为________． 解析：xy＝＝×2xy≤×＝，当且仅当2x＝y＝时取等号． 答案： 7．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________． 解析：一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4≥8＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30. 答案：30 8．在各项都为正数的等比数列{an}中，若a2 018＝，则＋的最小值为________． 解析：∵{an}为各项都为正数的等比数列，∴a2 017·a2 019＝a＝. ∴＋≥2＝2＝4， 当且仅当＝，即a2 019＝2a2 017时取得等号． ∴＋的最小值为4. 答案：4 9．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1. 又x>0，y>0，则1＝＋≥2＝ ， 解得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时等号成立， 所以xy的最小值为64. (2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 则x＋y＝·(x＋y) ＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当x＝12且y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18. 10．(1)已知0<x<，求x(4－3x)的最大值； (2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值． 解：(1)已知0<x<，所以0<3x<4. 所以x(4－3x)＝(3x)(4－3x)≤＝， 当且仅当3x＝4－3x，即x＝时“＝”成立， 所以当x＝时，x(4－3x)取最大值为. (2)已知点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动， 所以x＋2y＝3.又2x>0，4y>0. 所以2x＋4y≥2＝2＝2＝4. 当且仅当即x＝，y＝时“＝”成立， 所以当x＝，y＝时，2x＋4y取最小值为4. B级·素养提升|练能力| 11.已知x>0，y>0，且2x＋4y＋xy＝1，则x＋2y的最小值是________． 解析：令t＝x＋2y，则2x＋4y＋xy＝1可化为1＝2x＋4y＋xy≤2(x＋2y)＋＝2t＋.因为x>0，y>0，所以x＋2y>0，即t>0，所以t2＋16t－8≥0，解得t≥6－8，即x＋2y的最小值是6－8. 答案：6－8 12．已知正实数a，b满足a＋b＝4，则＋的最小值为________． 解析：因为a＋b＝4，所以a＋1＋b＋3＝8，所以＋＝[(a＋1)＋(b＋3)] ＝≥(2＋2)＝， 当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1时取等号， 所以＋的最小值为. 答案： 13．当t∈[1，＋∞)时，不等式mt2＋4t＋2m<0恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析：由题意及不等式分离参数得，m<－＝－(t≥1)恒成立，由基本不等式可得t＋≥2＝2(当且仅当t＝时取等号)，所以－的最小值为－，所以m<－. 答案：(－∞，－) 14．如图，某生态园将一块三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆． (1)若围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？ (2)已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？ 解：设AP＝x米，AQ＝y米． (1)则x＋y＝200，△APQ的面积S＝xy·sin 120°＝xy，所以S≤ ＝2 500. 当且仅当即x＝y＝100时取“＝”， 则AP与AQ的长度都为100米时，可使得三角形地块APQ的面积最大． (2)由题意得100×(x＋1.5y)＝20 000，即x＋1.5y＝200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以PQ2＝x2＋y2－2xycos 120°＝x2＋y2＋xy＝(200－1.5y)2＋y2＋(200－1.5y)y＝1.75y2－400y＋40 000＝1.75＋，当y＝时，PQ有最小值，此时x＝，即AP长为米，AQ长为米时，可使竹篱笆用料最省． - 5 -