2023学年高考数学一轮复习第9章解析几何第8节直线与圆锥曲线的综合问题第2课时圆锥曲线中的范围最值问题课时跟踪检测文新人教A版.doc

第2课时　圆锥曲线中的范围、最值问题 A级·基础过关|固根基| 1.抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为(　　) A. B. C．2 D. 解析：选B　设抛物线上一点的坐标为(x，y)，则d＝＝＝， ∴当x＝时，dmin＝. 2．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|＝4，这样的直线可以作2条，则p的取值范围是(　　) A．(0，4) B．(0，4] C．(0，2] D．(0，2) 解析：选D　过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦中最短的为通径，且通径长为2p，由已知得2p<4，所以p<2.又p>0，所以0<p<2.故选D. 3．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　) A．2 B．3 C．6 D．8 解析：选C　由题意得，F(－1，0)，设点P(x0，y0)，则y＝3(－2≤x0≤2)． 则·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2. 因为－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，·取得最大值，最大值为6，故选C. 4．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为左焦点F，若<k<，则椭圆离心率的取值范围为(　　) A. B. C. D. 解析：选B　由题意知，B， 所以k＝＝＝1－e.又<k<， 所以<1－e<，解得<e<. 5．已知点P是双曲线C：－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为(　　) A．1 B．2＋ C．4＋ D．2＋1 解析：选D　设F2是双曲线C的右焦点，因为|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＋|PQ|＝2＋|PF2|＋|PQ|，显然当F2，P，Q三点共线且P在F2，Q之间时，|PF2|＋|PQ|最小，且最小值为F2到l的距离．易知l的方程为y＝或y＝－，F2(，0)，则F2到l的距离为d＝＝1，故|PF1|＋|PQ|的最小值为2＋1.故选D. 6．已知P(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则x0的取值范围是________．　 解析：由题意可知，F1(－，0)，F2(，0)，则·＝(x0＋)(x0－)＋y＝x＋y－3<0.因为点P在椭圆上，所以y＝1－.所以x＋－3<0，解得－<x0<，即x0的取值范围是. 答案： 7．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为________． 解析：由过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得<2， ∴e＝＝ <＝. ∵e>1，∴1<e<， ∴此双曲线离心率的取值范围为(1，)． 答案：(1，) 8．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点的坐标为(3，0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________． 解析：∵·＝0，∴⊥， ∴||2＝||2－||2＝||2－1. ∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小， 故||min＝2，∴||min＝. 答案： 9．已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B. (1)求椭圆M的方程； (2)若k＝1，求|AB|的最大值． 解：(1)由题意得解得a＝，b＝1. 所以椭圆M的方程为＋y2＝1. (2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0. 所以x1＋x2＝－，x1x2＝. |AB|＝ ＝ ＝. 当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为. 10．如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在抛物线C上． (1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； (2)若P是半椭圆x2＋＝1(x＜0)上的动点，求△PAB面积的取值范围． 解：(1)证明：设P(x0，y0)，A，B. 因为PA，PB的中点在抛物线上，即，在y2＝4x上，所以有＝4×，同理＝4×. 所以y1，y2为方程＝4×， 即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根． 所以y1＋y2＝2y0， 因此，PM垂直于y轴． (2)由(1)可知 所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0， |y1－y2|＝2. 因此，△PAB的面积为 S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y－4x0). 因为x＋＝1(x0＜0)， 所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4，5]， 因此，△PAB面积的取值范围是. B级·素养提升|练能力| 11.已知点P(0，1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足 ＝2，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2， 得即x1＝－2x2，y1＝3－2y2. 因为点A，B在椭圆上，所以 得y2＝m＋，所以x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4， 所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大． 答案：5 12. 如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.则直线AP斜率的取值范围为________，|PA|·|PQ|的最大值为________． 解析：设直线AP的斜率为k，则k＝＝x－. 因为－<x<， 所以直线AP斜率的取值范围是(－1，1)． 联立直线AP与BQ的方程 解得点Q的横坐标是xQ＝. 因为|PA|＝ ＝ (k＋1)， |PQ|＝(xQ－x)＝－， 所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3. 令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，k∈(－1，1)． 因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2， 所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减， 因此，当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值. 答案：(－1，1)　 13．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝，求原点O到直线l的距离的取值范围． 解：(1)由题知e＝＝，2b＝2， 又a2＝b2＋c2，∴b＝1，a＝2， ∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程消去y得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 依题意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，化简得m2<4k2＋1，　① ∴x1＋x2＝－，x1x2＝， ∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2. 若kOM·kON＝，则＝，即4y1y2＝5x1x2. ∴4k2x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝5x1x2， ∴(4k2－5)·＋4km·＋4m2＝0， 即(4k2－5)(m2－1)－8k2m2＋m2(4k2＋1)＝0，化简得m2＋k2＝，　② 由①②得0≤m2<，＜k2≤. ∵原点O到直线l的距离d＝， ∴d2＝＝＝－1＋. 又＜k2≤，∴0≤d2＜，∴原点O到直线l的距离的取值范围是. 14．(2023年届安徽省示范高中名校高三联考)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)，过其焦点F的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，满足y1y2＝－4. (1)求抛物线E的方程； (2)已知点C的坐标为(－2，0)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，求＋的最小值． 解：(1)因为直线AB过焦点，所以设直线AB的方程为x＝my＋，代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，则y1y2＝－p2＝－4， 解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x. (2)由(1)知抛物线的焦点坐标为F(1，0)，则直线AB的方程为x＝my＋1，代入抛物线的方程有y2－4my－4＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4， 则k1＝＝， k2＝＝， 所以＝m＋，＝m＋， 因此＋＝＋ ＝2m2＋6m＋9 ＝2m2＋6m·＋9· ＝2m2＋6m·＋9· ＝5m2＋， 所以当m＝0时，＋有最小值为. - 8 -