数学高中一年级第二学期.pdf

未经允许，不得翻印未经允许，不得翻印上海教育出版社高 级 中 学 课 本数学高中一年级第二学期（试用本）未经允许，不得翻印编 者 的 话本书是高中一年级第二学期的数学课本.同学们在高中一年级第一学期学习了集合与命题、不等式、函数的基本性质以及幂函数和指数函数，在以本书为教材的教学过程中同学们将学习反函数、对数函数、三角函数和反三角函数.幂函数（y=x,Q）、指数函数（y=ax,a0且a1）、对数函数（y=logax,a0且a1）、三角函数（如y=sinx,y=cosx）、反三角函数（如y=arc sinx）都是最基本的函数形式.许多函数都可以由这些最基本的函数构成.例如由幂函数构成的形如anxn+an-1xn-1+a1x+a0的多项式函数是常用的函数之一.本书内容均为基本内容，都是高中学生必须学习的.学好这些基本函数，并熟悉它们的定义域、值域、基本性质和图像，对于学好高中数学和将来进一步学习都有十分重要的意义.本书设计了“探究与实践”的课题，目的是引导学生自己动手收集数据，设计解题计划，建立数学模型，解模型验证解的正确性和与实际是否相符，以体验学数学、用数学的过程.探究与实践是高中数学课程的组成部分，不能删去不学，但探究与实践是相当费时的，因此应适当选用.本书配有相应的练习、习题和复习题.其中练习题供课堂教学使用，配置在每节课的课文后面；习题、复习题分别按章、按节配置，都供课外作业用.为方便使用，习题、复习题汇编成课本的练习部分，另成一册.在高中数学学习过程中，学生都可以使用函数计算器，以提高数学学习效率，特别是标明要使用计算器的地方，必须使用计算器.新世纪要求学生成为高素质人才，提高学生的数学素养，根据学生的不同个性，发挥每个学生的聪明才智.这是我们编写人员追求的目标.由于我们缺乏经验和受时间的限制，书中会有一些不妥的地方，欢迎广大师生提出宝贵意见和建议，使本书日臻完善.2006年2月未经允许，不得翻印第4章幂函数、指数函数和对数函数（下）三对数 4.4对数概念及其运算四反函数4.5反函数的概念五对数函数4.6对数函数的图像与性质六指数方程和对数方程4.7简单的指数方程4.8简单的对数方程探究与实践课题一声音传播问题本章（下）小结阅读材料455121216162020222525目目目目目目目目录录录录录录录录 C C C C C C C CO O O O O O O ON N N N N N N NT T T T T T T TE E E E E E E EN N N N N N N NT T T T T T T TS S S S S S S S12526未经允许，不得翻印22829436第章三角比一任意角的三角比.1任意角及其度量.任意角的三角比二三角恒等式.同角三角比的关系和诱导公式.两角和与差的余弦、正弦和正切.二倍角与半角的正弦、余弦和正切阅读材料三解斜三角形.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形探究与实践课题二测建筑物的高度本章小结第章三角函数一三角函数的图像与性质.1正弦函数和余弦函数的图像与性质.正切函数的图像与性质未经允许，不得翻印探究与实践 课题三制作弯管.函数（）的图像与性质 阅读材料 二反三角函数与最简三角方程.反三角函数.最简三角方程 探究与实践 课题四制作管道本章小结 3610510511111411415未经允许，不得翻印4幂函数、指数函数和对数函数（下）Power Functions,Exponential Functionsand Logarithmic Functions函数是一个大家族我们对于函数的研究还远远没有完成从本章开始我们学习一些最常用的基本函数.在现实中，许多函数关系可以用幂函数来表示；人口增长、复利计算离不开指数函数；在历史上大数字的计算中，对数函数起过极其重要的作用，且目前它仍然是一个重要的函数类.在幂函数、指数函数和对数函数中，指数函数增长最快，幂函数次之，对数函数最慢快和慢，是对客观世界数量关系的一种刻画“直线上升”，“指数爆炸”，已融入日常生活语言，我们已经耳熟能详通过本章的学习，我们将对它们有更深刻的理解未经允许，不得翻印 对 数 概 念 及 其 运 算 对数的概念先看下面的问题假设 年我国国民生产总值为犪亿元，如果每年平均增长，那么经过多少年国民生产总值是 年时的倍？设经过狓年国民生产总值为 年时的倍，根据题意有犪（）狓犪，即 狓这是已知底数和幂的值，求指数的问题，也就是本节要学习的对数问题一般地，如果犪（犪，犪）的犫次幂等于犖，即犪犫犖，那么数犫叫做以犪为底犖的对数（），记作 犪犖犫，其中犪叫做对数的底数（），简称底，犖叫做真数例如，由，得以为底 的对数为根据对数的定义，可知：（）零和负数没有对数，真数为正数，即犖；（）的对数为，即 犪；（）底的对数等于，即 犪犪；（）对数恒等式：犪 犪犖犖成立例如 在对数中必须强调底数犪且犪通常将以 为底的对数叫做常用对数（）为了简便，犖的常用对数 犖简记作 犖例如，简记作 ，简记作 在科学技术中，常用到以无理数 为底的对犆狅 狀 犮 犲 狆 狋 狊犪 狀 犱犗狆 犲 狉 犪 狋 犻 狅 狀 狊犳 狅 狉犔 狅 犵 犪 狉 犻 狋 犺犿狊对数概念及其运算常用对数在历史上曾起过重要作用过去工程师用的计算尺就是根据常用对数原理制造的随着计算工具的飞速发展，它的地位已由计算机（器）逐步代替一个正数的常用对数，都可以写成一个整数加上一个正的纯小数（或者零）的形式，其中整数部分叫做常用对数的首数，小数（或者零）部分叫做常用对数的尾数未经允许，不得翻印数，以为底的对数叫做自然对数（）为了简便，犖的自然对数 犖简记作 犖例如，自然对数 简记作 ，自然对数 简记作 例将下列指数式写成对数式：（）；（）；（）犪；（）（）犿 解（）（）（）犪（）犿例将下列对数式写成指数式：（）；（）；（）；（）解（）（）（）（）（）例（）用计算器计算下列各对数的值：（结果精确到 ），（）猜想对数为正或为负时，真数犖的取值范围；（）用指数函数的性质解释你的结论解（），（）经计算发现：（犻）当 犖时，犖；（犻 犻）当 犖时，犖（）对于函数狔 狓，当狓时，狔；当狓时，狔对数概念及其运算犆狅 狀 犮 犲 狆 狋 狊犪 狀 犱犗狆 犲 狉 犪 狋 犻 狅 狀 狊犳 狅 狉犔 狅 犵 犪 狉 犻 狋 犺犿狊当犖时，犖；当犖时，犖；当犖时，犖未经允许，不得翻印练习（）把下列指数式写成对数式：（）；（）；（）槡；（）把下列对数式写成指数式：（）；（）；（）；（）求下列各式的值：（）；（）；（）；（）求下列各式中的狓：（）狓；（）狓；（）狓；（）狓（）用计算器计算下列各对数的值：（结果精确到 ），（）写出你发现的规律，并用指数函数的性质解释你的结论 对数的运算在研究对数的运算前，先任取两个正数犕、犖，用计算器计算并填写完成下表（表）：犆狅 狀 犮 犲 狆 狋 狊犪 狀 犱犗狆 犲 狉 犪 狋 犻 狅 狀 狊犳 狅 狉犔 狅 犵 犪 狉 犻 狋 犺犿狊对数概念及其运算未经允许，不得翻印表 犕犖（犕犖）犕犖 犕 犖 犕 犖 以第一行的计算结果看，有（犕犖）犕 犖，犕犖 犕 犖从其他各行的数据来看，上述两个关系式是否能成立？一般地，对数有下列运算性质：如果犪，犪，犕，犖，那么（）犾 狅 犵犪（犕犖）犾 狅 犵犪犕犾 狅 犵犪犖；（）犾 狅 犵犪犕犖犾 狅 犵犪犕犾 狅 犵犪犖；（）犾 狅 犵犪犕狀狀犾 狅 犵犪犕下面来证明性质（）、（）：设 犪犕狆，犪犖狇由对数定义，得犕犪狆，犖犪狇，犕犖犪狆犪狇犪狆狇 犪（犕犖）狆狇 犪犕 犪犖所以，犪（犕犖）犪犕 犪犖设 犪犕狆由对数定义，得犕犪狆，犕狀犪狀 狆，犪犕狀狀狆所以，犪犕狀狀 犪犕仿照性质（）的证明，可证明性质（）例用 犪狓、犪狔、犪狕表示下列各式：（）犪狓狔狕；（）犪狓槡狔槡狕对数概念及其运算犆狅 狀 犮 犲 狆 狋 狊犪 狀 犱犗狆 犲 狉 犪 狋 犻 狅 狀 狊犳 狅 狉犔 狅 犵 犪 狉 犻 狋 犺犿狊 （）（）正确吗？未经允许，不得翻印解（）犪狓狔狕 犪（狓狔）犪狕 犪狓 犪狔 犪狕（）犪狓槡狔槡狕 犪（狓槡狔）犪槡狕 犪狓 犪狔 犪狕 犪狓 犪狔 犪狕例计算：（）；（）槡（）；（）；（）解（）（）槡（）（）（）（）（）例设 年我国国民生产总值为犪亿元如果我国国民生产总值的年平均增长率为，那么经过多少年我国国民生产总值是 年时的倍？（精确到年）解设经过狓年我国国民生产总值是 年时的倍根据题意，得犪（）狓犪，即 狓所以狓 解得狓 （年）因此，经过年我国国民生产总值是 年时的倍例科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设犐为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级量度狉可定义为狉 犐试比较 级和 级地震的相对能量的比值（精确到个位）犆狅 狀 犮 犲 狆 狋 狊犪 狀 犱犗狆 犲 狉 犪 狋 犻 狅 狀 狊犳 狅 狉犔 狅 犵 犪 狉 犻 狋 犺犿狊对数概念及其运算未经允许，不得翻印解设 级和 级的相对能量程度分别为犐和犐由题意，得 犐，犐 烅烄烆由，得（犐 犐），即 犐犐 所以，犐犐 因此，级地震的相对能量程度约是 级的 倍练习（）判断下列各式是否正确（）；（）（）（）（）（）（）；（）（）；（）（）（犪狓）犪狓（犪，犪）；（）（）犪狓狀 犪狀槡狓（犪，犪，狀，狀犖）（）下列各式中，与 （）的值相等的是（）（）；（）；（）；（）下列各式中，与 的值相等的是（）（）；（）；（）；（）下列各式中，与 的值相等的是（）（）；（）；（）；（）对数概念及其运算犆狅 狀 犮 犲 狆 狋 狊犪 狀 犱犗狆 犲 狉 犪 狋 犻 狅 狀 狊犳 狅 狉犔 狅 犵 犪 狉 犻 狋 犺犿狊未经允许，不得翻印 计算：（）槡；（）；（）；（）槡 ；（）；（）换底公式利用计算器，可求得任意一个正数的常用对数，例如，有时需要求以任意一个正数为底的对数例如，求 ，我们可以用下面的方法求设 狓，由对数定义，得 狓两边取常用对数，得狓 所以，狓 一般地，有下面的对数换底公式（）：犾 狅 犵犫犖犾 狅 犵犪犖犾 狅 犵犪犫（其中犪，犪，犫，犫，犖）证明如下：设 犫犖狓，写成指数式犫狓犖两边取以犪为底的对数，得狓 犪犫 犪犖因为犫，犫，犪犫，因此上式两边可除以 犪犫，得狓 犪犖 犪犫所以，犫犖 犪犖 犪犫例求证：（）犪犫 犫犪；（）犪犮犫犮 犪犫证明（）犪犫 犫犫 犫犪 犫犪 犆狅 狀 犮 犲 狆 狋 狊犪 狀 犱犗狆 犲 狉 犪 狋 犻 狅 狀 狊犳 狅 狉犔 狅 犵 犪 狉 犻 狋 犺犿狊对数概念及其运算未经允许，不得翻印（）犪犮犫犮 犪犫犮 犪犪犮犮 犪犫犮 犪犪 犪犫例求 的值解 例 已知 犪，试用犪表示 解由 犪，可知 犪犪 因为犪 ，所以 犪犪练习（）用计算器计算下列各对数的值：（结果精确到 ）（）；（）；（）；（）可以写成（）（）；（）；（）；（）计算：（）；（）已知 犿，试用犿表示 反函数的概念 在两种温度度量制摄氏度（）和华氏度（）相互转化时会发现，有时两人选用相同的数据如表，但所建立的函数关 反函数的概念犆狅 狀 犮 犲 狆 狋狅 犳犐 狀 狏 犲 狉 狊 犲犉 狌 狀 犮 狋 犻 狅 狀 狊未经允许，不得翻印系和作出的图像（图）不同，这是为什么呢？表 图 原来这两个函数它们所选用的自变量和因变量恰好相反看似完全不同的两个函数关系式和图像都正确反映了两种温度度量制间的转换关系，前者将转化为，后者恰好相反从函数式来看，在函数表达式狔 狓 中，狓是自变量，狔是狓的函数，从函数狔 狓 中解出狓，就可以得到式子狓狔 这样对于狔的任何一个值，通过式子狓狔 ，狓都有唯一的值和它对应也就是说，可以把狔作为自变量，狓作为狔的函数，这时我们就说狓狔 是函数狔 狓 的反函数习惯上，函数的自变量用狓表示，因变量用狔表示，故狔 狓 的反函数通常写成狔狓 （图）一般地，对于函数狔犳（狓），设它的定义域为犇，值域为犃如果对犃中任意一个值狔，在犇中总有唯一确定的狓值与它对应，且满足狔犳（狓），这样得到的狓关于狔的函数叫做狔犳（狓）的反函数（），记作狓犳（狔）在习惯上，自变量常用狓表示，而函数用狔表示，所以把它改写为狔犳（狓）（狓犃）例如，函数狔狓的反函数为狔狓，函数狔狓的反函数为狔狓 犆狅 狀 犮 犲 狆 狋狅 犳犐 狀 狏 犲 狉 狊 犲犉 狌 狀 犮 狋 犻 狅 狀 狊反函数的概念未经允许，不得翻印从反函数的概念可知：如果函数狔犳（狓）有反函数狔犳（狓），那么函数狔犳（狓）的反函数就是狔犳（狓）这就是说，函数狔犳（狓）与狔犳（狓）互为反函数函数狔犳（狓）的定义域是它的反函数狔犳（狓）的值域；函数狔犳（狓）的值域是它的反函数狔犳（狓）的定义域（见表）表 函数狔犳（狓）反函数狔犳（狓）定义域犇犃值域犃犇例求下列函数的反函数：（）狔狓；（）狔狓；（）狔狓（狓）；（）狔狓狓狓犚且狓（）解（）由狔狓，得狓狔将狓与狔互换，得狔狓所以，函数狔狓的反函数是狔狓（）由狔狓，得狓狔槡将狓与狔互换，得狔狓槡所以，函数狔狓的反函数是狔狓槡（）由狔狓，得狓狔因为狓，所以狓狔槡将狓与狔互换，得狔狓槡所以，函数狔狓（狓）的反函数是狔狓槡（狓）（）由狔狓狓，得狓狔狔狓，即狓（狔）狔当狔时，狓狔狔 反函数的概念犆狅 狀 犮 犲 狆 狋狅 犳犐 狀 狏 犲 狉 狊 犲犉 狌 狀 犮 狋 犻 狅 狀 狊狔狓，狓犚有反函数吗？未经允许，不得翻印将狓与狔互换，得狔狓狓狓犚且狓（）所以，函数狔狓狓的反函数是狔狓狓狓犚且狓（）如果函数狔犳（狓）（狓犇）的反函数是狔犳（狓），那么在同一平面直角坐标系中，它们的图像有什么关系呢？我们将图 中的两条直线作在同一坐标系中（图）观察表 中的数据及图，不难发现这两条直线关于直线狔狓对称例求函数狔狓的反函数，并在同一坐标系中作出原来的函数和它的反函数的图像解由狔狓，得狓槡狔因此，函数狔狓的反函数是狔槡狓函数狔狓和它反函数的图像如图 所示它们也关于狔狓对称一般地，函数狔犳（狓）的图像和它的反函数狔犳（狓）的图像关于直线狔狓对称练习 下列各图中，能成为某个具有反函数的函数狔犳（狓）的图像的是（）求函数狔狓狓（狓）的反函数的定义域 犆狅 狀 犮 犲 狆 狋狅 犳犐 狀 狏 犲 狉 狊 犲犉 狌 狀 犮 狋 犻 狅 狀 狊反函数的概念图 图 未经允许，不得翻印 求下列函数的反函数：（）狔狓；（）狔狓；（）狔狓（狓）；（）狔槡狓（狓）函数狔犳（狓）与它的反函数狔犳（狓）的图像（）（）关于狔轴对称；（）关于原点对称；（）关于直线狓狔对称；（）关于直线狓狔对称 函数狔狓的反函数的图像经过点（）（）（，）；（）（，）；（）（，）；（）（，）已知犳（狓）狓狓，求狔犳（狓）的解析式 对数函数的图像与性质 我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题某种细胞分裂时，得到的细胞的个数狔是分裂次数狓的函数，这个函数可用指数函数狔狓表示现在来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，可以得到万个、万个、细胞，那么分裂次数狓就是要得到的细胞个数狔的函数根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式，就是狓 狔如果用狓表示自变量，狔表示函数，这个函数就是狔 狓由反函数的概念，可知函数狔 狓与指数函数狔狓互为反函数 对数函数的图像与性质犛犽 犲 狋 犮 犺 犲 狊犪 狀 犱犘 狉 狅 狆 犲 狉 狋 犻 犲 狊狅 犳犔 狅 犵 犪 狉 犻 狋 犺犿 犻 犮犉 狌 狀 犮 狋 犻 狅 狀 狊未经允许，不得翻印一般地，函数狔 犪狓（犪，且犪）就是指数函数狔犪狓（犪，且犪）的反函数因为狔犪狓的值域是（，），所以，函数狔 犪狓的定义域是（，）函数狔 犪狓（犪，且犪）叫做对数函数（），其中狓是自变量，定义域是（，）下面研究对数函数狔 犪狓（犪，且犪）的图像和性质因为对数函数狔 犪狓与指数函数狔犪狓互为反函数，所以狔 犪狓的图像与狔犪狓的图像关于直线狔狓对称因此，只要作出和狔犪狓的图像关于直线狔狓对称的图形，就可得到狔 犪狓的图像例如作出与狔狓的图像关于直线狔狓对称的曲线，就可以得到狔 狓的图像（图）图 图 用同样的方法，作出与狔（）狓的图像关于直线狔狓对称的曲线，就可以得到狔 狓的图像（图）一般地，对数函数狔 犪狓（犪，犪）在犪及犪两种情形下的图像如图 所示图 根据对数函数的意义和指数函数的性质，可以推出对数函 犛犽 犲 狋 犮 犺 犲 狊犪 狀 犱犘 狉 狅 狆 犲 狉 狋 犻 犲 狊狅 犳犔 狅 犵 犪 狉 犻 狋 犺犿 犻 犮犉 狌 狀 犮 狋 犻 狅 狀 狊对数函数的图像与性质对数函数的图像是通过指数函数的图像得到的用原函数图像研究其反函数图像是研究函数图像的一种方法从图 可以看到指数函数递增比对数函数快得多未经允许，不得翻印数狔 犪狓（犪，犪）的性质：性质对数函数狔 犪狓的图像都在狔轴的右方性质对数函数狔 犪狓的图像都经过点（，）这是因为对于不等于的正数犪，当狓时，狔性质对数函数狔 犪狓（犪），当狓时，狔；当狓时，狔对数函数狔 犪狓（犪），当狓时，狔；当狓时，狔性质对数函数狔 犪狓（犪）在（，）上是增函数，对数函数狔 犪狓（犪）在（，）上是减函数例求下列函数的定义域：（）狔 犪狓；（）狔 犪（狓）；（）狔 犪狓狓解（）因为狓，即狓，所以函数狔 犪狓的定义域是（，）（，）（）因为狓，即狓，所以函数狔 犪（狓）的定义域是（，）（）因为狓狓，即狓（狓），所以函数狔 犪狓狓的定义域是（，）例利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：（）和 ；（）和 ；（）犪和 犪，其中犪，犪解（）因为对数函数狔 狓在（，）上是增函数，又，所以 （）因为对数函数狔 狓在（，）上是减函数，又，所以 （）（犻）当犪时，因为对数函数狔 犪狓在（，）上 对数函数的图像与性质犛犽 犲 狋 犮 犺 犲 狊犪 狀 犱犘 狉 狅 狆 犲 狉 狋 犻 犲 狊狅 犳犔 狅 犵 犪 狉 犻 狋 犺犿 犻 犮犉 狌 狀 犮 狋 犻 狅 狀 狊对数函数的性质可从其图像中观察到，也可通过指数函数的性质予以证明未经允许，不得翻印是增函数，又，所以 犪 犪（犻 犻）当犪时，因为对数函数狔 犪狓在（，）上是减函数，又，所以 犪 犪例“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数狋 犖（）中，狋表示达到某一英文打字水平（字分）所需的学习时间（时），犖表示每分钟打出的字数（字分）（）计算要达到 字分、字分水平所需的学习时间；（精确到“时”）（）利用（）的结果，结合对函数性质的分析，作出函数的大致图像解（）用计算器计算，得犖 时，狋；犖 时，狋 所以，要达到这两个水平分别需学习时间 小时和 小时（）由犖 ，得犖 当犖增大时，犖 随犖的增大而减小又狔 狓为递增函数，犖（）随犖的增大而减小从而有 犖（）随犖的增大而增大，所以狋 犖（）为递增函数由（）知函数图像过点（，）、（，）另外，当犖时狋，所以函数图像过点（，）根据上述这些点的坐标描点作图（图）犛犽 犲 狋 犮 犺 犲 狊犪 狀 犱犘 狉 狅 狆 犲 狉 狋 犻 犲 狊狅 犳犔 狅 犵 犪 狉 犻 狋 犺犿 犻 犮犉 狌 狀 犮 狋 犻 狅 狀 狊对数函数的图像与性质图 未经允许，不得翻印练习（第题）已知对数函数狔犳（狓）的图像过点（，），求狔犳（狓）的解析式 求函数的定义域：（）狔 （狓）；（）狔 狓；（）狔 犪狓狓（犪且犪）已知犪犫犮，比较下列各组数的大小：（）犪犫与 犪犮；（）犪犫与 犪犮 画出函数狔 （狓）的大致图像 画出函数狔 狓的大致图像 借助函数图像（右上图），对于函数值增长的快慢，你可得出什么结论和猜测？简 单 的 指 数 方 程 节中某种放射性物质的剩留量问题中可得到方程 狓 我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程（）于是，上述问题可归结为求指数方程 狓 的解下面举一些简单的指数方程例子例解方程：狓狓解原方程可化为狓狓由指数函数的性质，可知它们的幂指数相等，即 简单的指数方程犛 犻 犿狆 犾 犲犈 狓 狆 狅 狀 犲 狀 狋 犻 犪 犾犈 狇 狌 犪 狋 犻 狅 狀 狊未经允许，不得翻印狓狓所以，狓在解指数方程时，常利用指数函数的性质：犪犪，其中犪，且犪，将指数方程化为整式方程求解例解方程：狓狓 解原方程可化为（狓）狓 设狓狔，代入上述方程，得狔狔 解得狔，狔由狓，得狓；又狓不符合指数函数的性质，应舍去所以，原方程的解是狓例要测定古物的年代，常用碳的放射性同位素 的衰减来测定：在动植物的体内都含有微量的，动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原有的 含量的衰变经过 年（的半衰期），它的残余量只有原始量的一半若 的原始含量为犪，则经过狓年后的残余量犪 与犪之间满足犪 犪犽 狓测得湖南长沙马王堆汉墓女尸中 的残余量约占原始含量的 ，试推算马王堆古墓的年代（精确到 年）解由犪 犪犽 狓，得犪 犪犽 狓两边取对数，得 犪 犪犽 狓又知 的半衰期是 年，即狓 时，犪 犪，所以 犽，即犽 犛 犻 犿狆 犾 犲犈 狓 狆 狅 狀 犲 狀 狋 犻 犪 犾犈 狇 狌 犪 狋 犻 狅 狀 狊简单的指数方程湖南长沙马王堆汉墓女尸肖像复原图未经允许，不得翻印代入并整理，得狓 犪 犪 由题意，犪 犪 ，所以狓 由此可知马王堆古墓约是 年前的遗址练习 解下列方程：（）狓；（）狓；（）狓狓 解下列方程：（）狓狓；（）狓 某汽车厂生产的汽车数，从今年起每年比上一年平均增长 经过多少年该汽车厂生产的汽车数可以增长到原来的倍？（精确到年）某种动物数量的年增长率为狉，经过狓年后这种动物的数量由狆变化为狆，狆与狓之间的关系满足方程狆狆犲狉 狓现已知该种动物数量由 年的 亿增长到 年的 亿，试确定年增长率狉（精确到 ）简 单 的 对 数 方 程 在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程（）例假设在不考虑空气阻力的前提下，火箭的最大速度狏（）和燃料的质量犕（）、火箭（除燃料外）的质量犿（）之间的关系是 简单的对数方程犛 犻 犿狆 犾 犲犔 狅 犵 犪 狉 犻 狋 犺犿 犻 犮犈 狇 狌 犪 狋 犻 狅 狀 狊未经允许，不得翻印狏 犕（）犿当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度能达到（）；（精确到 倍）（）（精确到 倍）解（）根据题意，得 犕（）犿，犕（）犿，犕犿所以犕犿 （倍）（）用同样方法，可得犕犿 （倍）综上所述，当燃料的质量分别是火箭质量的 倍和 倍时，火箭的最大速度能达到和 例解方程：（狓）（狓）（狓）解原方程可化为 （狓）（狓）（狓）所以狓狓 解得狓，狓经检验，狓 时，狓，负数的对数没有意义，所以狓 不是原方程的解；狓时，原方程的左边为 ，而原方程的右边是 ，所以狓是原方程的解解对数方程时，必须对求得的解进行检验，因为在利用对数的性质将对数方程变形过程中，如果未知数的允许值范围扩大，那么可能产生增解如例，原方程允许解的范围是狓狓，犛 犻 犿狆 犾 犲犔 狅 犵 犪 狉 犻 狋 犺犿 犻 犮犈 狇 狌 犪 狋 犻 狅 狀 狊简单的对数方程解对数方程时，常用到对数的性质：犪犕 犪犖犕犖（犪且犪，犕，犖）未经允许，不得翻印而变形后方程（狓）（狓）（狓）允许解的范围扩大了，因为狓，狓狓，所以方程产生了增解例解方程：（狓）狓解利用换底公式把原方程化为（狓）狓 ，即（狓）狓令 狓狔，得狔狔解得狔，狔由 狓，得狓；由 狓，得狓槡 经检验，狓，狓槡 都是原方程的解练习 解下列方程：（）狓；（）狓；（）（狓狓）（狓狓）；（）犪（狓）（犪且犪）解下列方程：（）（狓）（狓）；（）（狓）（狓）；（）（狓）；（）狓 狓 狓 简单的对数方程犛 犻 犿狆 犾 犲犔 狅 犵 犪 狉 犻 狋 犺犿 犻 犮犈 狇 狌 犪 狋 犻 狅 狀 狊（犪狓）可 记作 犪狓，注意它与 犪狓的区别未经允许，不得翻印课题一声音传播问题声音传播的最大距离（米）与声音强度（分贝）的对应实验数据如下表（在特定条件下）分贝 米 完成以下作业 建立声音强度与传播最大距离间的数学模型（）确定模型中函数的类型；（）寻找适当的方法，定出函数模型中的待定系数，建立经验公式；（）验证计算结果与数据是否相符；（）修正你的数学表达式，提出结论 写一篇数学建模的小论文，说明建模的过程、方法、结论及应用范围 运用你所学的知识，收集其他实际问题的数据，建立经验公式 同学间口头交流建模成果和经验一、主要内容本章由求指数运算的逆运算引入了对数，研究了对数运算的性质、对数的换底公式、反函数、互为反函数的两个函数的图像间的关系，以及指数函数、对数函数的图像和性质，并介绍了简单的指数方程和对数方程的一些解法 犃犅 狉 犻 犲 犳犛狌犿 狌 狆本章（下）小结未经允许，不得翻印本章知识结构框图如下，请填空：互化指数形式ab=N(a0,a1)对数形式指数运算性质aman=am+n=am-n(am)n=amnaman对数运算性质logaMN=loga=换底公式logaN=MN简单的指数方程与对数方程指数函数的一般形式指数函数的性质1.定义域：2.值域：3.单调性：反函数函数y=f(x)与y=f-1(x)的定义域、值域之间的关系：函数y=f(x)与y=f-1(x)的图像之间的关系：对数函数的一般形式对数函数的性质1.定义域：2.值域：3.单调性：b=logaN(a0,a1,N0)二、数学思想方法通过取对数使乘法运算转变为加法运算这种把较复杂的运算转变为较简单的运算的思想方法，是一种重要的数学思想方法阅读材料犚 犲 犪 犱 犻 狀 犵犕犪 狋 犲 狉 犻 犪 犾 狊诺贝尔奖金金额诺贝尔（）是瑞典人，生于 年 月 日，发明家、化学工程师，年 月 日病故于意大利的圣雷莫根据诺贝尔的遗嘱，把他留下的大部分财产投资于安全证券构成基金，其部分利息以奖金方式奖给对人类作出了最有益的贡献的人现在诺贝尔奖分成项：物理学、化学、文学、经济学、生理学和医学以及和平奖诺贝尔逝世时留作基金的总额为 万美元，随着物价的上涨，给受奖人的奖金金额正逐步提高 年诺贝尔奖每项奖金金额为 万美元诺贝尔奖基金的平均年利率是多少？阅读材料犚犲 犪 犱 犻 狀 犵犕犪 狋 犲 狉 犻 犪 犾 狊未经允许，不得翻印分析诺贝尔基金会开始时资金总额为 万美元，为了增加资金总额，必须以复利形式投资，才能支付日益增大的奖金发放额为了简化问题，我们作如下假设：假设一每年平均复利率不变，为犔假设二每年发放奖金的总额是该年所获利息的一半，另一半利息用于增加资金总额假设三 年记作年，年作为第一颁发年（实际上，年是第一颁发年，该假设可理解为 年以前年利率是犔）以后每年一次无间断（实际上，世界大战期间有少数年间断，可认为在间断的那些年利率为犔）建立模型设狔犽表示第犽年基金的总额由题意及假设，得狔 （万），狔犽（犔）狔犽犔狔犽犔（）犽狔 年发放奖金总额为犔狔 （万）所以犔犔（）狔 因此犔（）犔 由式两边取对数，得 犔（）犔 狔 犔（）犔是关于犔的递增函数，利用函数的单调性求方程未知数犔的近似解当犔 时，的左式 ，逐步增大犔值，算得当犔 时，式成立的误差为 因此我们把 作为犔的近似解验证利用求得的犔可算出下表年份资金总额估算值每项诺贝尔奖的金额 万美元 万美元 万美元 万美元 亿 万美元 万美元 亿 万美元 万美元 亿 万美元 万美元这样的计算结果与实际情形基本相符合，即诺贝尔奖基金的平均年利率约为 犚犲 犪 犱 犻 狀 犵犕犪 狋 犲 狉 犻 犪 犾 狊阅读材料未经允许，不得翻印5三角比Trigonometric Ratios在平面上，点的移动引起点位置的变化；射线绕端点转动引起射线方向的变化，即角的变化考察车轮转动时轮辐条旋转的角度：车轮旋转一周轮辐条转过360，旋转两周轮辐条转过720，如果规定轮辐条按逆时针方向旋转得正角，按顺时针方向旋转得负角，那么轮辐条的旋转可以得到任意角本章将把角的概念推广到任意角的情形，并在此基础上，讨论任意角的三角比、三角比的诱导公式、同角三角比之间的关系、两角和与差的三角比、正弦定理、余弦定理和解斜三角形等这些数学知识将为学习下一章的三角函数打下基础未经允许，不得翻印一任意角的三角比Trigonometric Ratios for ny ngle 任 意 角 及 其 度 量 我们知道，角可以看作是平面内由一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形我们以前学习的角，其大小都在 到 之间，而在现实生活中还有其他的角图图是车轮的示意图轮辐条的中心线犗犃按逆时针方向旋转所形成的角犃犗犅与犗犃按顺时针方向旋转所形成的角犃犗犅 具有不同的方向因此，要准确地刻画这些现象，不仅要知道角形成的结果，还要知道角形成的过程，即既要知道旋转量，又要知道旋转方向，这就需要推广角的概念一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角（），其度量值是正的；按顺时针方向旋转所形成的角为负角（），其度量值是负的（图）在图中，当车轮按逆时针方向旋转周时，犗犃绕犗旋转所形成的角是 ，犗犃按顺时针方向旋转周所形成的角是 特别地，当一条射线没有旋转时，我们也认为形成了一个 犃狀狔犃狀 犵 犾 犲犪 狀 犱犐 狋 狊犕犲 犪 狊 狌 狉 犲 狊任意角及其度量打开机械手表的后盖，可以看到很多按不同方向旋转的齿轮图未经允许，不得翻印角，这个角叫做零角（）这样，零角的始边与终边重合，如果是零角，那么 为了定义任意角的三角比的需要，这里引入象限角的概念在平面直角坐标系中，把角的顶点置于坐标原点，角的始边与狓轴的正半轴重合，此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限例如，和 都是第一象限的角图 （），和 都是第二象限的角图 （）（）（）图 当角的终边在坐标轴上时，就认为这些角不属于任何象限从角的形成过程可以看到，与某一个角的始边相同且终边重合的角有无数个，它们的大小与角都相差 的整数倍在图 中，的角与 的角的终边重合，这两个角的大小之差为 ；的角与 的角的终边重合，这两个角的大小之差为 我们可以把所有与角有重合终边的角（包括角本身）的集合表示为犽 （犽犣）例判别下列各角分别属于哪个象限：（）；（）解设角与所求角的终边重合，且 （）因为角 （），而 的角属于第二象限，所以 的角属于第二象限 任意角及其度量犃狀狔犃狀 犵 犾 犲犪 狀 犱犐 狋 狊犕犲 犪 狊 狌 狉 犲 狊本书中提到的角，若不特别声明，总是指角的顶点与原点重合，角的始边与狓轴的正半轴重合为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为“”总结一下解这类问题的方法，并画图验证未经允许，不得翻印（）因为（），而 的角属于第三象限，所以 的角属于第三象限练习（）填空：（）与 角终边重合的角的集合是；（）角 属于第象限 大于 且终边与角 重合的负角是 分别写出与下列各角的终边重合的角的集合：（）；（）分别找出一个与以下角的终边重合的角（），并判断它们属于哪个象限（）；（）度量角的大小与度量其他量一样，都要根据量的特征和使用方便，选择一个同类的量作为度量的单位来度量在平面几何里，我们把周角分成 等份，每一份叫做度的角，这种用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制（）由于 的圆心角所对的弧长为狉 狉，因此狓的圆心角所对的弧长为犾狓 狉，由此得到，犾狉狓 其中 为定值，说明比值犾狉仅与角的大小狓有关，即对于不同半径的圆，这个比值不变因此，我们可以用圆弧的长与圆半径的比值来表示这个圆弧或圆弧所对的圆心角的大小把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做弧度（）的角用符号 表示，读作弧度 犃狀狔犃狀 犵 犾 犲犪 狀 犱犐 狋 狊犕犲 犪 狊 狌 狉 犲 狊任意角及其度量图未经允许，不得翻印用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制（）弧度制在数学和其他学科研究中经常用到下面介绍关于弧度的计算和应用设圆的半径为狉，把圆心和角的顶点置于原点，角的始边与狓轴的正半轴重合，交圆于点犃，角的终边绕圆心旋转，交圆于点犅（图），请在表空格处填上适当的数：表点犅所转过的弧长犗犅旋转的方向所成角的弧度数狉逆时针方向狉逆时针方向狉狉顺时针方向 狉逆时针方向 一般地说，如果一个半径为狉的圆的圆心角所对的弧长为犾，那么比值犾狉就是角的弧度数的绝对值，即犾狉，这里的正负由它的终边的旋转方向决定；零角的弧度数为零下面讨论弧度制和角度制的换算关系弧度的弧长犾等于半径的长度狉，相当于圆周长狉的，所以弧度也就相当于 的，即弧度 反过来，是圆周角的 ，也就是弧度的 ，即 周角 狉狉 （弧度）（弧度）（弧度）任意角及其度量犃狀狔犃狀 犵 犾 犲犪 狀 犱犐 狋 狊犕犲 犪 狊 狌 狉 犲 狊对于不同半径的圆，长度等于半径的弧所对应的圆心角总是一个定值这就是说，一定大小的圆心角，它所对应的弧长和半径的比值是一个定值所以，这样规定弧度的角是合理的图一般地，我们只需根据 弧度，推得 （弧度）（弧度），弧度 未经允许，不得翻印例按下列要求，将 换算成弧度：（）精确值；（）近似值（精确到 ）解（）弧度弧度（）利用计算器可计算出 ，即 约等于 弧度例将 弧度换算成角度（用度数表示，保留两位小数）解 弧度 ，即 弧度约为 由周角的角度数和弧度数关系可推出一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系，见表（空格处由学生填写）表角度数 弧度数角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集犚之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应在用弧度制表示角的大小时，通常省略“弧度”两字，而只写这个角对应的弧度数（实数）例如：角和的互补关系可写成“”；“”表示 弧度的角的正弦例如图，设扇形的圆心角为（），半径为狉，弧长为犾，面积为犛求证：（）犾 狉；（）犛 狉；（）犛犾 狉证明因为角的弧度数的绝对值是犾狉，所以当取正值时，犾狉，即犾 狉 犃狀狔犃狀 犵 犾 犲犪 狀 犱犐 狋 狊犕犲 犪 狊 狌 狉 犲 狊任意角及其度量L.欧 拉（L.Euler,17071783）是出生于瑞士的数学家，任职于圣彼得堡科学院和柏林科学院，在俄国工作31年他出版文集70卷，在数学、力学、物理、天文学方面均有突出贡献，是历史上最有成就的数学家之一在三角学方面，他首先提出弧度制思想，把半径1作为弧的度量单位.这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算.图使用计算器时，要注意弧度制与角度制的区别未经允许，不得翻印图中扇形的面积与所在圆的面积之比为，因此犛狉 狉用犾狉代入上式得犛犾 狉例写出终边在狔轴上角的集合（用弧度制表示）解如果角的终边在狔轴的正半轴上，那么犽，犽犣；如果角的终边在狔轴的负半轴上，那么犽（犽），犽犣合并上述两部分结果，得到终边在狔轴上的角的集合为犽，犽犣例设是第三象限的角，试讨论是哪个象限的角解因为是第三象限的角，所以犽犽（犽犣）所以，犽犽（犽犣）（）当犽是偶数时，设犽狀（狀犣），则狀狀（狀犣）所以，是第二象限的角（）当犽是奇数时，设犽狀（狀犣），则狀狀（狀犣）所以，是第四象限的角由（）和（），可知当是第三象限的角时，是第二象限或第四象限的角 任意角及其度量犃狀狔犃狀 犵 犾 犲犪 狀 犱犐 狋 狊犕犲 犪 狊 狌 狉 犲 狊引进弧度制后，使扇形的面积公式和圆的弧长公式显得简单了例的结果也可用角度制表示成犽 ，犽犣 在同一个表达式或同一个问题中不要将角度制和弧度制混用未经允许，不得翻印练习（）将下列各度化为弧度：（）；（）；（）将下列各弧度化为度：（）；（）；（）（精确到 度）填空：（）；（）；（）；（）已知扇形的圆心角为，半径为，求扇形的弧长犾及面积犛 写出终边在狓轴上的角的集合（分别用角度制和弧度制来表示）当是第二象限的角时，试讨论是哪个象限的角 任 意 角 的 三 角 比 初中已经学过锐角三角比，现在我们把锐角置于平面直角坐标系狓犗狔中（图），锐角的顶点与原点犗重合，始边与狓轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限在角的终边上任取一点犘（狓，狔），它与原点的距离狉狓狔槡，过 犜 狉 犻 犵 狅 狀 狅犿犲 狋 狉 犻 犮犚犪 狋 犻 狅 狊犳 狅 狉犃狀狔犃狀 犵 犾 犲任意角的三角比图未经允许，不得翻印犘作狓轴的垂线，垂足为犕，则线段犗犕的长度为狓，线段犕犘的长度为狔根据初中学过的锐角三角比的定义，我们有 角的对边角的斜边犕犘犗犘狔狉，角的邻边角的斜边犗犕犗犘狓狉，角的对边角的邻边犕犘犗犕狔狓 角的邻边角的对边犗犕犕犘狓狔这就是说，锐角的三角比可以用其