一类投资组合问题的建模与分析.pdf

第卷 第期门洪年月数学的 实 践与认识厂入,产、尹。、一,吃一类投资组合问题的建模与分析陈叔平浙江大学,杭州。谭永基复旦大学,上海邓摘要本文介绍了年全国大学生数学建模竞赛题的特点、建模与求解过程,并对参赛队的答案作出评述在今年的全国大学生数学建模竞赛中,陈叔平提供的赛题即题被竞赛全国组委会采用该题是一类关于投资组合的决策问题构思这道题目的主要动机是它有广泛的背景和一定的难度,同时也让参赛学生有较大的发挥余地在人类的经济活动中,收益和风险往往是相伴而来的,不同的经营或投资项日有不同的收益和风险此外,每一项目都需要经营或投资成本,而可用的资金都是有限的因此相当大的一类决策问题可归结为在资金总额约束下,对一批成本一收益一风险各不相同的项 目进行权衡并作出经营或投资抉择我们可以列出许多这样的问题下面就是一个例子某出版社有,种不同的书籍可供选择出版确定出版一种图书时,要支付固定数额的稿酬和制版费当印数达到某一数量时,包括印刷发行费在内的整个成本可视为印数的线性函数此外每种图书都有各自的利润率但当第种图书印数为夕时,将可能有、万的量销不出去,这部分图书只能作为废纸回收处理,相当于损失如果、刀,夕,其中是常值,那么这一问题就与题所给出的情形基本相同我们选择证券投资组合为具体背景是因为它是目前社会上的一个热点,接近大众生活,容易引起兴趣但与此同时也带来了一些弊病下面我们具体介绍这道赛题的几个特点,同时分析一下命题中的一些缺陷交易费问题一项商业活动的成本一般由固定成本和可变成本两部分组成 研制开发费、基建费等与产量无关的基本费用属固定成本原材料、能耗等与产量或经营规模相关的属可变成本赛题中给出的这类成本函数是有代表性和有趣的,开发生产一种新药或新软件如此,乘坐出租车也如此从数学上看,这类成本函数非凸也非连续因此放到目标函数和约束条件中求解优化问题有一定的困难,至少没有完全现成的方法可直接套用风险问题风险是人们都能意会、十分熟悉但又没有统一标准的一个量为了明确起见,我们选择,以嫉州、作为投资八于冻三沂夕,的总体风险它反映了风险损失搬不会同时发生的现实,也与一些文献如川中所采用的一致本拟给出这个具体表达式,后考虑到检验参赛学生的建模能力而改成文字叙述由于问题的背景是证券投资,一些参赛学生从各种不同的参考资料中查阅广余融风险的其它公式沙口二、的定义,见,从而引起一定程度的混乱对金融风险的不同度量公式进行比较,在完成本题基本要求基础上才予讨论,多 目标优化问题人们的经济行为之所以呈现多样性,主要原因是兼顾收益和风险时有不同的考虑,且各人可支配的资金也不同追求大的收益和小的风险构成一个两 目标优化问题传统上,这类问题大多用某种方式化为单目标问题来求解例如,将一个指标作为约束来优化另一指标或将两指标加权合成一个指标这一过程依赖于决策者对收益和风险的理解与偏好,因而往往是不唯一的对固定的一个单目标优化问题求解不是主要口的,因为所得的结果对木题的具体背景并无太大的实际意义本题的决策包含两个层次首先是决定买哪些股票,然后是决定各买多少对在不同的偏好考虑下算得的结果进行分析、比较则更有意义,也有更大的讨论和发挥余地 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/数学的实践与认识卷计算和数据问题由于交易成木函数的非凸,非连续,该题在一般情况下的求解是有一定难度的例如,一维装箱问题就可化为固定风险水平条件下极大化收益这类问题的特殊情况见附录吴雄伟的论文曾对加权和模型的算法作过巧妙但较复杂的分析当资金总额不足以购买这刀种证券起步值之和,即 刀三又“,时,情况变得有些复杂因些我们加了 刀“相当大、这一条件了 二当刀和弋、,、。,三三刃的值由数据具体给出时,就可构造各种数值算法由于命题较匆忙且青于我国股市口前的实际情况,赛题中给出的数据不够理想,使得把交易成本当作线性函数处理对计算结果的影响不大这就造成了解题和评卷时的又一些混乱一、参考建模与求解过程模型的建立设购买 从的金额为沈,所需的交易费,、为,亡,了,注“丈艺沈丈乞,二月了户、一一才设存银行的金额为,显然咖劣讨二。对兮投资的净收益为,、泣花 一建。,、一,投资组合,枷,力的净收益为由题意,投资的风险丫,叼汉艺“万】之 飞砂投资所需资金为户艺沈一一“、因此,问题的数学模型是一个双目标优化孟日。了尸沈了,谈】。模型的约化上述双目标优化模型可用多种方式记为单目标优化问题,主要有以下三种模型、固定风险水平、优化收益,“沈、仁幼丸飞 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/期陈叔平、谭永基一类投资组合问题的建模与分析模型固定盈利水平,极少化风险,、一,全人,川 动,全模型。确定投资者对风险一收益的相对偏好参数,求解,尸这一一,丫,、卜劝二,。全以在上述三个问题中,选择人,的不同水平和的不同值进行求解就可揭示投资和风险之问相互依存规律,再根据投资者对风险的承受能力,确定投资方案化简与求解因为刀相当大,写若被选中,其投资额飞一般都超过了,投资费用可简化为二,在进行计算时,可设二,此时尸,、可视作投资叼的比例对固定风险的情形,问题可化为求如下线性规划问题、艺,一,、三二,”艺,艺万八对于有相对偏好参数的优化问题,引入变量,十,可化为如下线性规划,、一,一,艺,一,艺,矛、八,矛全。一、,三泣,这两个问题易于用日左八,习等数学软件来求解,对固定收益优化风险的问题也可作类似处理二、几点评述多数参赛队能够正确地写出净收益的表达式有些参赛队用投资兮、的全部费用包括投资与手续费、,作基本变量当、较大时、,次、,从而刀,、,因此收益表达式为、艺业,一,了,1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/数学的实践与认识卷固定风险,优化收益问题就成为之艺号玉之卫竺止人少一月艺、,、七。此问题既可以用线性规划求解,但也可以证明,将导后份按由大至小次序排队,投资时尽可能将资金投向导云汗最大的投资项目即能获得最优解这样,无需求解线性规划也能获得最优解本问题建模中主要的缺陷表现在二个方面其一,计算投资总支出时遗漏交易费用,约束条件误为另一个缺陷是未用题日所要求的改公了 乙艺,二作为风险的度量而是采用定义的风险在数值示解时,有些参赛队用随机模拟或枚举的方法求最优解,但计算量较大,精度也略差一些有些参赛队直接解非线性规划,但没有注意到交易费不是一个光滑函数,因此目标函数和约束条件均不是可微的、而直接调用一些需用导数的非线性规划程序,这样做是不可取的各参赛队的答卷中总的来说对模型的验证、评价和敏感性分析等方面似嫌不足,有待提高附录定理一设模型的最优解固定风险水平,优化效益为广二端,对,几,则至多有一个班七,使得叮任,。,日恤,、其中符号的意义见定理二的证明定理二模型、是尸难问题证明构造一个一维装箱问题,已知是刀难问题,下面说明它可化为模型问题甲设 刀是一个正整数,求指标集召一、,使得是,个小于的正整数,八,。沙二二之召耳了、七“乙曰问题乙我们要讨论的投资问题问题甲是难问题,下面证明若问题乙存在多项式时问算法,则问题甲也存在多式时问算法构造一个乙问题如下适当选取,、,三沂二。等参数,可以使得,勺二而劣丽“、咨,、“、一柑二、,、击、生三,其中,执,意义同上文介一价,之一之,之设率令刀咤,川特别地,表示银行如图二,城是乙的最优解易知对任队,司。,三该三。二门笋该任月,则刀即是甲问题的解首先可以证明叮钊,“小则由定理一必有书二“,或“,笋以,才任【,任,这时艺叮不任月崔、,因为若是整数,矛盾所 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/期陈叔平、谭永基一类投资组合问题的建模与分析因对任刀有,卜,十赤二、卜,则丫,“艺“,犷“、,“几工任少二艺、“公 任沙十,、几二了子。十二,土、十,训、二丫。,十“一介分任丁、子七了云、赤,。,了任使甲最优否则记甲的最优解为知,任万八则兄“,全任召,酥艺“谬子,、全艺“名任了卜竺厂二,华、,、。,、升丫,”,试任下,全曰,右、一叹尹一卜门钊一月,卜一魂昌二。任月,岛,乙一、崔万、译则了全艺斤,月与。是乙的最优解矛盾所以乙有多项式时间算法,甲必有证毕参考文献一“,又八一川从,、川、,。,、,一、,几,盯,、,、一乍,是、乙,一,。,川入是川从,一。一写匕,一,乙二、二、一入,人,。、卜,生,、,、。、,水,、,、,、,、,、。一,、叭,一弋,、,丫,一冬,冬二月钊吴雄伟,一类带交易成本的证券组合投资模型及算法,浙江大学博士学位论文,明忘一一一,一一一王 二卜 卜,。,乙,才,卜。,、弓,认汉卜、过,了、,写,、,。1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/