第四章——线性方程组的基本内容（讲义+笔记）主讲教师：考研数学李振授课时间：2024.04.17粉笔考研·官方微信1第四章——线性方程组的基本内容（笔记）一、伴随矩阵【注意】基本概念：1.A*是伴随矩阵的符号。2.里面的元素是代数余子式。2【解析】1.先写出A*，注意里面的元素的排列顺序是对称的，A*=(𝐴11𝐴21𝐴12𝐴22)，主对调、副变号，具体步骤见上图。【注意】重要定理：1.设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，则有AA*=A*A=|A|E。2.证明过程如上图所示。二、逆矩阵3【注意】基本概念：1.逆矩阵，B=A-1。2.逆矩阵在矩阵中的运算相当于实数中的倒数。3.若A可逆，则A-1唯一。4【注意】重要定理：1.可逆性的判断。2.证明过程如上图所示。【注意】推论：设A为n阶方阵，那么当AB=E或BA=E时，有A-1=B。5【注意】逆矩阵的基本性质：1.性质1：若A可逆，则A-1，AT均可逆，且（A-1）-1=A，（AT）-1=（A-1）T。2.性质2：若A，B为同阶可逆矩阵，则AB可逆，且（AB）-1=B-1A-1。也满足6穿脱律。3.性质3：若A可逆，且k≠0，则kA可逆，且（kA）-1=k-1A-1。4.性质4。【解析】2.先写出A-2E，判断是否可逆，求行列式，利用伴随矩阵求逆矩阵，具体步骤见上图。三、初等矩阵7【注意】基本概念：1.初等变换：初等行变换、初等列变换。2.初等矩阵：对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，由于初等变换有三种，所以初等矩阵也就有三种。89【注意】重要定理：1.定理1：本定理是初等矩阵的核心考点，可以把它简记作“左行右列”法则。2.推论：所有初等矩阵都是可逆的，并且它们的逆矩阵均为其同类型的初等矩阵。3.推论：左乘可逆矩阵A等于作若干次初等行变换，右乘可逆矩阵A等于作若干次初等列变换。10【解析】3.明显考查初等变换，左行右列，具体步骤见上图。【注意】矩阵等价：1.设矩阵A,B为同型矩阵（不一定为方阵），如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A，B等价，记作A≅B。2.定理1：矩阵A与矩阵B等价当且仅当存在可逆矩阵P，Q使得PA0=B。3.定理2：任何n阶矩阵A可逆的充要条件是它与同阶的单位矩阵等价。11【注意】基本性质：1.反身性。2.对称性。3.传递性。四、常考题型1.矩阵可逆的充要条件【解析】4.判断是否可逆，核心是求行列式，已知-A=AT，则|-A|=|AT|，具体步骤见上图。12【解析】1510.A、B项后面是乘法，C、D项后面是加法，具体步骤见上图。【解析】5.可以利用特殊值，抽象矩阵，只要可以凑出AB=E，则A也可逆，具体步骤见上图。2.求逆...
