24Kira概率醒脑讲义.pdf

抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 2024 考研概率统计 冲刺醒脑串讲讲义 Kira 关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 写在前面的话 醒脑是什么？先下一个定义：醒脑是做题的底气和自信，它建立在完善的知识储备和对解题方法的深刻理解之上.看到新颖复杂的题目，不一定瞬间拿到结果，但凭借自己扎实的底层方法论，能联系所学一步步正确地往下推，而不是乱写、误写、凭着感觉写.这就是脑子醒的.学霸们战胜考试的自信和底气也正来源于此.醒脑课的任务是，通过短时间内集中突击，将你的知识储备绑成完整体系.不同知识和方法该理解到什么程度，全部理解到位，思路有理有条，建立起成熟的“概率论世界观”.帮你心理强化“这样想是对的，考试大胆做.”帮你揪出盲区和误区“天哪！以前根本没注意到！”“原来我一直理解错了.”我讲解的不只是题型题目本身，更是面对不同情境的思想方法，且带你一步一步一确认一确认理论依据“为什么这样写是正确的”.考题无非是这些情境和步骤的排列组合，触类旁通.新颖的题目和角度讲过、做过也许会忘，但这些根基性的东西是永恒的.它们足以支撑你拿到满分.过去六届学员的口碑都印证了醒脑课的有效性.尤其是没有听过我课程的同学，你会感受到一个非常不一样的概率世界.愿大家在醒脑课结束后都能收获对概统更深刻对概统更深刻的理的理解解和更强大的解题能力更强大的解题能力！Kira 2022.11 1关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 课程使用说明书（2024 版）1.2024 改版围绕着：针对普遍或潜在的易懵点，揪出来专项敲打；针对普遍或潜在的薄弱点，设计了专项特训。瞄准病灶，微创微创治疗治疗，按头教学，按头教学，猛长脑子。十五大主题之夜，重点更突出，力求全程无尿点。重要但非 2024 预测重点，重要但难的点，作为【选修】，不占用直播时间讲解（仅展示 Kira 的精美板书（狗头）。课后增补录播或直播。回归真题本质，专注训练出题人想测试的、朴素却真正能拉开考生区分度的硬功。2.请各位同学在报名后抓紧加入 qq 群.每年的醒脑课都是由课堂和群讨论两部分共同组成的 消息通知、答疑互动、考前提醒都会在 qq 群内发布，这两个月 Kira 会一直在群里陪伴大家.3.课堂节奏较紧凑，建议各位同学课前做好预习.课时比计划只多不少，但力求高效。4.不要不要把听课的时间用来抄答案，要着重听思维思维听强调强调，记录启发。课前课后都会上传例题答案的手写板书，可以提前写答案，或直接用 Kira 的板书复习.5.有不懂的或需要补充讲解的地方，欢迎在 qq 群里随时Kira 提出，我们的共同目标是解决问题.好问题或经典错误都有机会上墙哦，在直播时大家一起研讨，做案例分析.6.从课程中学到的知识要通过做题来实践通过做题来实践，先确保课内例题能独立解答，听懂课并不是真的掌握，要自己能下笔写出来能下笔写出来才可以.道理都懂，明明能动笔做，你却胆小不敢做，这就是你和明明的差距！学习是“动笔-对答案拿反馈-信心增强-动笔”的循环。7.我们与遗忘之间的斗我们与遗忘之间的斗争是争是永不停息的！永不停息的！第一次课堂第一次课堂 前情预告前情预告（一）请同学们课前认真阅读 2021-2023 每一道数一数三概率真题，我们先一起明确方向，以终为始。（二）给你们画一张概率满分的三维能力图，聊聊我能如何帮你们进步。然后正式开始！2关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 【主题一】随机事件与概率快问快答！一、一、核核心概心概念与念与能力能力反射弧反射弧测试测试 1.判断以下 3 个命题的正误：你真的全面理解了吗？1)若=P AB()0，则A B,互斥.（）2)若=P XY0,10，则=X0与=Y1相容.（）3)已知随机变量X Y,的联合分布律为 X Y-1 0 0 0.1 0 2 0.8 0.1 则=X0与=Y0可能同时发生.（）2.看到“A B,同时发生必导致C发生”，你能发散推理出什么概率不等式？（提示：P A P B(),(),1）3.化简)()_,_,P AC ABCP ABC=(P ABC)(=_.优先级 4.化简+=+=P ABP ABC_,_.)()(第一反应 3关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 5.,_.P Xx YyP Yy=不会写是第一章的锅 6.化简1P XYXY+=_.有限可加性 设123,B B B是完备事件组，则必有()P A=_.全集分解 Kira 备注：所有所有求概率的题，若不能直接计算，先尝试转化相等事件转化相等事件（课堂（课堂举例）举例）；若不能简单转化且需要“分类讨论”，本质上都可以用一句话一句话来指导思路_.概率要往底层总结，越底层公式越少，解题反而越清晰.写题时要对自己在干什么有觉知觉知.7.当0()1P A时，(|)()(|)()P B AP BP B AP B=(|)(|)P B AP B A=(|)(|)1P B AP B A+=_.独立的独立的常用常用结论结论 若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B亦相互独立.任意事件A都与概率为 0 或 1 的事件相互独立.若0()1P A，则A与B相互独立(|)()(|)()P B AP BP B AP B=(|)(|)P B AP B A=(|)(|)1P B AP B A+=若()0,()0P AP B，则A与B独立A与B不互斥,A与B互斥A与B不独立.注:若不说明()0,()0P AP B，则A与B是否独立和A与B是否互斥无必然联系.应用（快速化简）：若,X Y独立，则1|1P XY=_；8.看到“已知事件max,2X Y=与事件min,1X Y=相互独立”，如何列式？4关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 二、二、道道理都理都懂，如懂，如何何搞搞快点快点？（选（选填技巧填技巧）【类型【类型 1】求概率求概率 【例1.1】2020，一/三设设,A B C为三个随机事件，且1()()()4P AP BP C=，1()0,()()12P ABP ACP BC=，则,A B C中恰有一个事件发生的概率为（）（A）34 （B）23 （C）12 （D）512 【例1.2】2022，一/三 设,A B C为随机事件，且A与B互不相容，A与C互不相容，B与C相互独立，1()()()3P AP BP C=，则(|)_.P BC ABC=【例1.3】已知,X Y为随机变量且30,07P XY=，4007P XP Y=，设()()max,0,min,0,AX YX Y=则()_.P A=注：常用结论()max,X YaXaYa=；()min,X YaXaYa=；()()max,min,X YaX Ya；()()min,max,X YaX Ya.5关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 【类型【类型 2】概率】概率不等式（不等式（四选一）四选一）【例1.4】2017，一 设,A B为 随 机 事 件，若0()1P A，0()1P B，则(|)(|)P A BP A B的充分必要条件是（）（A）(|)(|)P B AP B A（B）(|)(|)P B AP B A （C）(|)(|)P B AP B A （D）(|)(|)P B AP B A 【例1.5】2022，一/三 设,A B为随机事件，且0()1P B，下列假命题是（）.（A）若(|)()P A BP A=，则(|)()P A BP A=.（B）若(|)()P A BP A，则(|)()P A BP A.（C）若(|)(|)P A BP A B，则(|)()P A BP A.（D）若(|)(|)P A ABP A AB，则()()P AP B.三、三、古古典概典概型（以型（以近年近年真题考真题考法为法为准）准）1.定义：定义：称具有以下两个特点的试验为古典概型（等古典概型（等可能概型）可能概型）(1)试验E的样本空间只包含有限个样本点，即12,n =；(2)每个样本点出现的可能性相同.2.计算公式：计算公式：若事件A由k个基本事件组成，则有()kAP An=包含的基本事件数中的基本事件总数 6关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 【复杂天花板复杂天花板】【例1.6】2016，三 设袋中有红、白、黑球各一个，从中有放回地取球，每次取 1 个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为 4 的概率为_.选修 【日常版日常版】【例1.7】2010，三 箱中装有 6 个球，其中红，白，黑球的个数分别为 1，2，3，现从箱中随机地取出 2 个球，设X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数.（I）求随机变量()XY，的概率分布；【以下不归类为古典以下不归类为古典概型概型（排列组合）问题（排列组合）问题】【注例 1】已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有 2 件合格品和 2 件次品,乙箱中仅装有 2 件合格品.从甲箱中任取 2 件产品放入乙箱后,求:(II)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【注例 2】考虑一元二次方程20 xBxC+=,其中BC、分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率p和有重根的概率q.【注例 3】假设有十只同种电器元件，其中有两只废品装配仪器时从这批元件中任取一只，如是废品，则倒掉重新任取一只；若仍是废品，则扔掉再取一只，试求在取到正品之前，已取出的废品只数的分布，数学期望和方差.注：上述都可以改摸球.摸球不是题型，只是表述问题的形式.它可以套进任何问题古典概型或各种离散型分布，要透过摸球看本质.四、四、几几何概何概型（结型（结合一合一维、二维、二维均维均匀分布匀分布）7关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 五、五、全全概率概率公式和公式和贝叶贝叶斯公式斯公式（全概率公式自己推，贝叶斯公式不用背）关键问题：1.具有什么特点的题目要想到用全概率/贝叶斯公式？2.如何从题目中设出事件A,12,nB BB等？答：1.完备事件组（样本空间完备事件组（样本空间的划分）：的划分）：设为某试验E的样本空间，12,nB BB为试验为E的一组事件.若(,1,2,)ijBBij i jn=；1niiB=.则称事件组12,nB BB为的一个完备事件组.即每次试验中，事件12,nB BB中必有一个且仅有一个发生.2.全概率公式：全概率公式：设12,nB BB为的一个完备事件组，且()0(1,2,)iP Bin=，则对任意事件A有 11()()(|)()nniiiiiP AP ABP A B P B=3.贝叶斯公式（逆概公式贝叶斯公式（逆概公式）：）：设12,nB BB为的一个完备事件组，且()0(1,2,)iP Bin=，则对任意()0P A 的事件 A，有 1()(|)()(|)()(|)()iiiiniiiP ABP A B P BP BAP AP A B P B=（注：本章不设例题，后面遍地都是 先想想出题人可在公式中哪些地方做文章？）8关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 【主题二】随机变量与分布函数底层理解！一、一、【引入引入】随机】随机变量变量（“只要有随机性，万物皆可随机变量”）例例 1 在含 5 件废品的 50 件产品中随机抽取 3 件，其中含有的废品数 X（件）.至多抽到 2 件废品的概率 未抽到废品的概率 例例 2 在市场上随机购买一台笔记本电脑，其使用寿命 X（年）.该电脑使用寿命超过 5 年的概率 例例 3 抛掷一枚硬币，正面向上记1X=，反面记0X=.正面向上的概率 注：1.做一次随机试验，X只能取一个值（单值性）；2.我们事先无法预知X的取值（X也不能控几它寄几），但必能事先确认X的取值范围，并可以求X的概率、分布、数字特征等.如何理解这道题在问什么【例2.1】设随机变量X服从正态分布()2,4N，()x为标准正态分布的分布函数，则函数()21f xxXxX=+在(),+内处处连续的概率为（）（A）()1 （B）()11 （C）()211 （D）()()10 二、二、分分布函布函数数（“宇宙唯二概率”）1.定义：定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数(),F xP Xxx=+称为X的分布函数分布函数.注：1）分布函数是一个普普通通的函数，自变量为 x，高数里函数长啥样，它就长啥样.2)X的分布函数()F x中包含了X所有取值概率的信息.9关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 2.基本性质（基本性质（4 个）：个）：1)非负性：0()1F x；2)单调性：()F x是x的不减函数，即对1212,()()xxF xF x有;3)规范性：()lim()0 xFF x=，()lim()1xFF x+=；4)右连续性：00()(0)F xF x=+.注：由此产生了求()F x的两大重要习惯等号跟着大于走；秒杀 0,1.常识结论 设()(),F xG x为分布函数，,a b为实数，则 ()()aF xbG x+为分布函数1,0,0abab+=；()F axb+为分布函数0,ab为任意常数；()()F x G x必为分布函数.【例2.2】（“宇宙唯二概率”）已知随机变量的分布函数为()0,11,18,111,1.xxF xaxbxx=+，已知5118PX=，则_,_.ab=X10关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 我们一起来看以下写法对不对？为什么？第一组：()()1,2P aP F aP XYP XY=，;（“说故事”）第二组：()(),F XF Xa.（“普通函数”）第三组：10.5P y=，10.5P Y=.（“随机性”）第四组：(),(,),(,),1,2E X YD X YCov X YP XY=（“逗号的意义”）群友疑问“总感觉有思维上的误区，比如总是潜意识里认为EXY就是(),E X Y，其 实根本没这个东西，还比如总是会认为事件XY就是X和Y同时发生，希望 Kira 老师能讲讲这之间的区别.”Kira：没有“事件XY”，只有“随机变量XY”；没有“XY发生”，只有关于XY的某件事比如“1XY 发生”.比方说，如果X和Y都服从 0-1 分布，那么ZXY=只可能取 0,1.一次试验中事件1XY 可能发生也可能不发生，我们不可预知，但可以求一求它发生的概率1P XY，概率论就是在干这个.11关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 【主题三】常见离散型随机变量塑造习惯！一、一、一一维离维离散型随散型随机变机变量量（“两句话搞定所有题”）1.分布律：分布律：kkP Xxp=，1,2,k=2.分布律的充要条件：分布律的充要条件：（1）0kp，1,2,k=（2）11kkp=.注：离散型X的分布律中包含了X所有取值概率的信息.基本功基本功测试测试 【例3.1】设随机变量 X 的分布函数为 则 X 的分布律为 ，24PX_=.Kira 醒脑提问：1）只有离散型随机变量才有分布律吗？有分布律的一定是离散型随机变量吗？2）离散型随机变量的分布函数有何特点？只有离散型的分布函数才有这种特点吗？二、二、常见离散型随机变量的分布（五种）常见离散型随机变量的分布（五种）【大局观测试大局观测试()】以下常见分布中，】以下常见分布中，哪些哪些可能在应用题中隐藏可能在应用题中隐藏出现出现？（即题目不直接出现分布名称，也不设随机变量，需自己设变量找分布建模）离散型X：0-1 分布、二项分布、泊松分布、几何分布、帕斯卡分布*（到第 X 次试验恰第 Y 次发生）、超几何分布；连续型X：均匀分布、指数分布、正态分布.X0,11,122()5,2361,3xxF xP Xxxx=12关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 1.二项分布二项分布(,)B n p“结合性好（泊松定理、中心极限定理、统计抽样等）区分度好”1)定义：定义：随机变量X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，记每次试验中事件A发生的概率为p，则X的分布律为(1)kkn knP XkC pp=，（k=_）其中01p，则称X服从参数为,n p的二项分布二项分布，记为(,)XB n p 2)可加性：可加性：设是相互独立的随机变量，且则 注：1)要重视常见分布中X能取哪些值！2）要重视“P Xk=”这个模板！为什么离散型X有无穷多取值时，很多同学就开始 hold 不住，写不出分布律？因为心中没有模板.以下共同特点：题干中均只字未提“二项分布”，却都是二项分布问题【例3.2】设随机变量X在0,3上服从均匀分布，现对X进行 3 次独立观测，则至少有 2 次观测值不小于 1 的概率为_.【Kira 点拨：“句式杂糅题”的句子成分分析小技巧】【变一变】设随机变量X在0,3上服从均匀分布，现对X进行独立重复观测，直到第 2个不小于 1 的观测值出现时停止，则观测次数为 4 的概率为_.【例3.3】设X服从二项分布(),B n p，请问YnX=服从什么分布？12,kXXX(,)(1,2,)iiXB n pik=1212(,)kkXXXB nnnp+13关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 群友疑问“为什么个数N也可以求方差？”【例3.4】设X的概率分布为 1 2 3 p 0.2 0.5 0.3 以表示来自总体的简单随机样本(样本容量为)中等于 的个数，则1_.EN=.【Kira 强调：统计抽样中蕴含着二项分布】3.0-1 分布分布(两点分布两点分布)：1(1),0,1kkP Xkppk=或011Xpp.【例3.5】设110,XX独立同分布于011pp，则101iiX=服从于分布_.3.几何分布：几何分布：可列重伯努利试验中，记每次试验中事件A发生的概率为p，随机变量X表示事件A首次发生时的试验次数，其分布律为 1(1)kP Xkpp=（_k=）其中01p，则称X服从几何分布几何分布，记作()XGe p.醒脑课：基础版企业级理解 注：几何分布具有“无记忆性”，即|,P Xmn XmP Xn=+=|,0P Xmn XmP Xnm n+=.【例3.6】设随机变量X满足11,2,3,5P XkP Xkk=，则X服从于分布_.XiNXni14关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 4.泊松分布泊松分布()P：X的分布律为 e!kP Xkk=，（_k=）其中0是常数，则称X服从参数为的泊松分布泊松分布，记作()XP.可加性：可加性：设是相互独立的随机变量，且，则.泊松定理：泊松定理：设0是一个常数，n是任意正整数，设nnp=，则对于任意固定的非负整数k，有()lim lim(1)!nknpkkn knnnnnnnpP XkC ppek=，（0,1,2,k=）注：若(,)XB n p，其中n较大p较小，则X近似服从于()P np.(用不用，听指挥)5.超几何分布：超几何分布：若随机变量X的分布律为 kn kMN MnNC CP XkC=，max 0,min,knNMn M=+其中,M N n都是正整数，则称X服从参数为,M N n的超几何分布，记作(,)XH n M N.注：超几何分布的背景设N件产品中有M件次品，从中无放回取n次，则取到次品 数X服从超几何分布(,)H n M N.【例3.7】已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品,乙箱中仅装有 3 件合格品.从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后,求乙箱中次品件数 X 的数学期望.12,kXXX()(1,2,)iiXPik=1212()kkXXXP+15关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 三、三、已知已知X分布律，求分布律，求()Yg X=分布分布（“求分布律永恒不变的唯一原则”）【例3.8】设随机变量X服从参数为()01pp的 0-1 分布，X的分布函数为()F x，令()YF X=，求Y的分布律.四、四、进进化版化版题型题型条件条件 XX 分布分布（重难点重难点）【例3.9】设随机变量X的概率分布为121,2,33P XP X=，在给定Xi=的条件下，随机变量Y服从二项分布(),(1,2)B i pi=，求Y的概率分布.【主题四】连续型概率密度专场你真的理解吗？一、一、一一维连维连续型随续型随机变机变量量X 注意看，眼前这条曲线叫小()f x（X的概率密度），我们能获取哪些信息？能用它来做什么？16关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 1.连续型随机变量及其概连续型随机变量及其概率密度：率密度：对于随机变量X的分布函数()F x，如果存在非负可积函数()f x，使对任意实数x有()()xF xf t dt=，则X称为连续型随机变连续型随机变量量，其中()f x称为X的概率密度函数概率密度函数，简称概率密度概率密度.注：1)连续型X的概率密度()f x包含了X所有取值概率的信息.2)由定义知，改变概率密度()f x在有限个点的函数值不影响分布函数()F x的取值，因此，并不在乎改变不在乎改变概率密度在有限个点的值.3)()f x的大小能反映出X在x邻域内取值概率的大小（即“概率的密度”）.4)当我们提到随机变量X的“概率分布概率分布”时，指的是它的分布函数分布函数，或者，当X是连续型随机变量时，指的是它的概率密度，当X是离散型随机变量时，指的是它的分布律分布律.2.连续型连续型随机变量随机变量X的性质：的性质：连续型随机变量X的分布函数()F x是x的连续函数连续函数，即对任意aR，有0P Xa=，因此P aXbP aXbP aXbP aXb=.注：1）若()F x不连续，则X一定不是连续型.（重要）2）有时虽()F x连续，但X可能不是连续型.（了解）3.概率密度概率密度()f x的的性质性质：1)非负性：()0f x；2)规范性：()1f x dx+=；3)对于任意实数(),a b ab，有()()()baP aXbF bF af x dx=；4)若()f x在点x连续，则有()()F xf x=.常识结论 设()(),f xg x为分布函数，,a b为实数，则 ()()af xbg x+为概率密度1,0,0abab+=；()f axb+为概率密度1,ab=为任意常数；()()f x g x一般不是概率密度.17关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 【例4.1】设随机变量X的概率密度为(),02,0,kxxxYXf=其他，为不超过X的最大整数，则2XYP+=_.二维转一维 Kira 醒脑提问醒脑提问判断以下随机变量属于离散/连续/非离散非连续：(1)已知X的概率密度为()f x，问：X是？(2)已知X的概率密度为()f x，1,20,2XUX=，问：U是？U有没有概率密度？(3)设X是两次故障之间的时间间隔，问：X是？(4)设X是时段t内发生的故障次数，问：X是？(5)0,0(),011,1xXF xxxx=，问：X 是什么类型？X 有没有概率密度？(6)0,0(),0121,1xxXF xxx=，问：X 是什么类型？X 有没有概率密度？(7)0,01(),0121,1xXF xxx=，问：X 是什么类型？注：务必先判断随机变量类型，再谈分题型解题，否则就是瞎做题！4.连续型连续型 X 概率密度和分概率密度和分布函数的互推布函数的互推【例4.2】设X的概率密度()2e(),1 exxf xx=+，求X的分布函数.18关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 二、二、已知已知连连续型续型X的的概率概率密度密度，求，求的的分布分布 方法：设连续型随机变量X的概率密度为()Xfx，x，则求X的函数()Yg X=的分布()()()()YXg xyFyP YyP g Xyfx dx=.此处有金句 注：注：此处()Yg X=是连续函数，但Y不一定是连续型随机变量.当()Yg X=在X的正概范围上有单值反函数时，Y是连续型随机变量.【例4.3】设X()1,1,41,13,80,xf xx=其他，令()21,1,2,1,XXYg XX+=求()YFy.此题 2024 选修 巩固两个习惯：（1）讨论()F x分段时，x 的分的分段区间开闭段区间开闭我们永远这样写（2）求()F x时，先秒杀先秒杀()0F x=和和()1F x=（永远好用！）()f x()Yg X=19关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 【例4.4】设X服从0,2上的均匀分布，则0,0,0221,2XXYXX=，服从分布_.定理：定理：设X的分布函数()F x为连续连续函数（或当X为连续型随机变量）()YF X=服从0,1上的均匀分布(0,1)U.（2019 数一三 14）注：若()YF X=只取0()1F x时的表达式，定理仍然成立.例如上题改求2XY=的分布，仍然是(0,1)U.【例4.5】设随机变量Y在0,1上服从均匀分布，()()0()1F xF x是严格单调递减且连续的函数，则由关系式()YF X=定义的随机变量X的分布函数是（）（A）()F x （B）1()Fx （C）1()F x （D）11()Fx 注：遇到新的题目，大家不要刻意回想“跟做过的哪道题像”，这样容易落入陷阱.因为条 件偏差一点背景就全变了.就把定义摆出来看，针对这道题的设定，顺水推舟.只要保证每步是对的（而不是乱写），就一定能把题做出来.【例4.6】2017，一/三某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n 次测量，该物体的质量是已知的，设 n 次测量结果12,.,nXXX相互独立且均服从正态分布()2,N.该工程师记录的是 n 次测量的绝对误差()1,2,iiZXin=，利用12,nZ ZZ估计，求1Z的概率密度.正态分布情形 注：正态分布的问题用正态分布的方式去解决！20关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 【主题五】均匀分布、指数分布、正态分布 必考三巨头！一、一、均均匀分匀分布布(,)U a b看到均匀分布，如果第一反应是写概率密度，就完蛋了 定义：定义：若连续型随机变量X的概率密度为 1 ,()0,axbf xba=，其他，则称X在区间(,)a b上服从均匀分布均匀分布，记为(,)XU a b.背景（几何概型）：X取值在区间(,)a b上的概率处处相等.你能用概率密度解释吗？X的分布函数为 0()1.xaxaF xaxbbaxb=，【例5.1】2021，一/三 在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X，较长的一段长度记为Y.（I）求X的概率密度.（II）13P X=_.注：“在区间(0,2)上随机取一点”也可表述为“在区间(0,2)上取点，设该点落在(0,2)中 任意小区间内的概率与这个小区间长度成正比”.二、二、指指数分数分布布()E 1.定义：定义：设连续型随机变量X的概率密度为,0,()0,0,xexf xx=其中0为常数，则称X服从参数为的指数分布指数分布，记为()XE.X的分布函数为 10()00 xexF xx=21关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 2.结论结论：1)相互独立的指数分布相互独立的指数分布的最的最小值函数仍服从指数小值函数仍服从指数分布分布：设是相互独立的随机变量，且()()1,2,iiXEik=，则()1212min,kkXXXE+.2)指数分布具有“无记忆性”，即|,0P Xst XsP Xts t+=.【例5.2】2013，一设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布，a 为常数且大于零，则1|P YaYa+=_.秒了哈 【例5.3】设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数()N t服从参数为t的泊松分布.(I)求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；(II)求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下,再无故障运行 8 小时的概率Q.选修 三、三、正态正态分布分布2(,)N 概率密度概率密度：22()21()()2xf xex=+性质：性质：若2(,)XN，则 1)()()XXfxfx=+.即()Xxf关于x=对称 2)12P XP X=.即X落在左右概率各占一半 12,kXXX22关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 3)()22,0YaXbN ab aa=+.即X的一次函数依然服从正态分布 4)可加性：设是相互独立的随机变量，且 则 5)3原理（了解）：0.6827220.9545330.9973PXPXPX+=+=+=标准正态分布标准正态分布(0,1)N：概率密度221()()2xxex=+，分布函数()x.1)正态分布的标准化：正态分布的标准化：若2(,)XN，则(0,1)XZN=.于是有 ()XxxF xP XxP=aXbbaP aXbP=2)标准正态分布的性质标准正态分布的性质：()1()xx=；1(0)2=；()210P Xaaa=,【例5.4】2013,一三设123,XXX是随机变量，且1(0,1)XN，22(0,2)XN，23(5,3)XN，22(1,2,3)iipPXi=，则（）一鱼三吃，优质母题（A）123ppp （B）213ppp （C）312ppp （D）132ppp 12,kXXX2(,)(1,2,)iiiXNik=22112211(,)kkkkiiiiiia Xa Xa XNaa=+23关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 【例5.5】设随机变量X的概率密度为22()e()xbxf xax+=+，0b，且满足254EX=，13,3YB，,X Y相互独立，则1P XYXY+=（）.（A）718 （B）518 （C）512 （D）712 注：若本题设定为“已知X的分布函数为42xb”，你能看懂门道吗？四、四、进进化版化版题型题型条件条件 XX 分分布（布（重难点重难点）【例5.6】某实验室有 10 枚 A 型号电子元件和 5 枚 B 型号电子元件，这两种电子元件的寿命（以小时计）分别服从参数为112040和的指数分布.某研究员随机取一枚元件进行实验，求该元件寿命 X 的概率密度.注：本题可以套入任何的同类型全概率问题.试对比本题与 2014 年 22 题“设随机变量X的概率分布为112,2P XP X=在给定Xi=的条件下，随机变量Y服从均匀分布()0,(1,2)Uii=,求Y的分布函数()YFy.”你会自己做其他改编吗？学习路线引导：先接【主题十】，再回【主题六】24关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 【主题六】二维离散型随机变量两道题全搞定！一、二二维随维随机变量机变量的概的概率分布率分布 1.联合分布函数：联合分布函数：(,),F x yP Xx Yy=，任意,x yR，称为二维随机变量(,)X Y的分布函数分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数联合分布函数.2.分布函数分布函数(,)F x y的性质：的性质：1）非负性：任意实数,x y，0(,)1F x y；2）规范性：()lim(,)0 xFyF x y=,，()lim(,)0yF xF x y=，()0,()1FF =+=，；3）单调不减性：(,)F x y关于变量x和y单调不减，即对于任意固定的y，当21xx时，21(,)(,)F xyF x y；对于任意固定的x，当21yy时，21(,)(,)F x yF x y；4）右连续性：(0,)(,),(,0)(,)F xyF x yF x yF x y+=+=5）随机点(,)X Y落在矩形区域1212(,)|,Dx yxXxyYy=内的概率为121222122111,(,)(,)(,)(,)P xXxyYyF xyF x yF xyF x y=+.注：以上 5 条也是(,)F x y为二维分布函数的充要条件，缺一不可缺一不可！3.二维随机变量的边缘分二维随机变量的边缘分布函数：布函数：()(),()(,)XYFFFFyyxx=+=+，注：边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低维分量的分布.【例6.1】设随机变量XY，()XFx,()YFy分别为,X Y的分布函数，(,)F x y为(),X Y的分布函数，则对任意实数 a 有（）（A）()(),(,)()XYXFaF aF a aFa=；（B）()(),(,)()XYYFaF aF a aF a=；（C）()(),(,)()XYXFaF aF a aFa=；（D）()(),(,)()XYYFaF aF a aF a=.【Kira 点拨：概率不等式思路；“包含”定义的再思考】25关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 二、二维离散型随机变量二维离散型随机变量及其及其分布分布 1.联合分布律联合分布律：(,1,2,ijijP Xx Yypi j=2.联合分布律的联合分布律的充要条件充要条件：（1）0ijp；（2）111ijijp+=.3.边缘分布律边缘分布律 4.条件分布律条件分布律 【例6.2】（2021 节选）甲乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒，再从乙盒中任取一球，令,X Y分别表示从甲盒和从乙盒中取到的红球个数，求X和Y的联合分布律.Kira 点拨：如何从应用题中求出联合分布律 【例6.3】已知随机变量X和Y的概率分布为 10101,1111142422XY 且01P XY=，设(,)X Y的分布函数为(,)F x y，试求：（I）X和Y的联合分布律 （II）1 1,2 2F （III）00P XY=（IV）判断X和Y的独立性，并说明理由.26关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新关注公众号【乘龙考研】获取后续课程更新 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 【主题七】二维连续型随机变量八大题型+二维均匀 一、二二维连维连续型随续型随机变机变量量及其及其分布分布 1.二维连续型随机变量及二维连续型随机变量及其分布：其分布：1)定义：定义：设二维随机变量()X Y,的分布函数为(,)F x y，如果存在非负可积的二元函数()f x y,，使得对任意实数,x y，有(,)