第21章 目标规划.pdf

-253-第二十一章第二十一章 目标规划目标规划 1 引言 1线性规划的局限性 只能解决一组线性约束条件下，某一目标只能是一个目标的最大或最小值的问题。2实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标 这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大值的，也有最小值的；有定量的，也有定性的；有相互补充的，也有相互对立的，LP 则无能为力。3目标规划（Goal Programming）美国经济学家查恩斯（A.Charnes）和库柏（W.W.Cooper）在 1961 年出版的管理模型及线性规划的工业应用一书中，首先提出的。4求解思路（1）加权系数法 为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。（2）优先等级法 将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。（3）有效解法 寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。2 目标规划的数学模型 为了具体说明目标规划与线性规划在处理问题的方法上的区别，先通过例子来介绍目标规划的有关概念及数学模型。例1 某工厂生产 I，II 两种产品，已知有关数据见下表 I II 拥有量 原材料 kg 2 1 11 设 备 hr 1 2 10 利润 元/件 8 10 试求获利最大的生产方案。解 这是一个单目标的规划问题，用线性规划模型表述为：21108maxxxz+=+0,102112212121xxxxxx 最优决策方案为：62,3,4*2*1=zxx元。但实际上工厂在作决策方案时，要考虑市场等一系列其它条件。如（i）根据市场信息，产品 I 的销售量有下降的趋势，故考虑产品 I 的产量不大于产品 II。（ii）超过计划供应的原材料，需要高价采购，这就使成本增加。（iii）应尽可能充分利用设备，但不希望加班。-254-（iv）应尽可能达到并超过计划利润指标 56 元。这样在考虑产品决策时，便为多目标决策问题。目标规划方法是解决这类决策问题的方法之一。下面引入与建立目标规划数学模型有关的概念。1.正、负偏差变量 设d为决策变量的函数，正偏差变量0,max0ddd=+表示决策值超过目标值的部分，负偏差变量0,min0ddd=表示决策值未达到目标值的部分，这里0d表示d的目标值。因决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，即恒有0=+dd。2.绝对（刚性）约束和目标约束 绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束；如线性规划问题的所有约束条件，不能满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束。目标约束是目标规划特有的，可把约束右端项看作要追求的目标值。在达到此目标值时允许发生正或负偏差，因此在这些约束中加入正、负偏差变量，它们是软约束。线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可变换为目标约束。也可根据问题的需要将绝对约束变换为目标约束。如：例 1 的目标函数21108xxz+=可变换为目标约束561081121=+ddxx。绝 对 约 束11221+xx可 变 换 为 目 标 约 束1122221=+ddxx。3.优先因子（优先等级）与权系数 一个规划问题常常有若干目标。但决策者在要求达到这些目标时，是有主次或轻重缓急的不同。凡要求第一位达到的目标赋于优先因子1P，次位的目标赋于优先因子L,2P，并规定qkPPkk,2,1,1L=+。表示kP比1+kP有更大的优先权。以此类推，若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别，这时可分别赋于它们不同的权系数jw，这些都由决策者按具体情况而定。4.目标规划的目标函数 目标规划的目标函数（准则函数）是按各目标约束的正、负偏差变量和赋于相应的优先因子而构造的。当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值。因此目标规划的目标函数只能是),(min+=ddfz。其基本形式有三种：（1）要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时 )(min+=ddfz（2）要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时 )(min+=dfz（3）要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时 )(min=dfz 对每一个具体目标规划问题，可根据决策者的要求和赋于各目标的优先因子来构造目标函数，以下用例子说明。例 2 例 1 的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑：首先是产品 II 的产量不低于产品 I 的产量；其次是充分利用设备有效台时，不加班；再次是利润额不小于56 元。求决策方案。解 按决策者所要求的，分别赋于这三个目标321,PPP优先因子。这问题的数学-255-模型是+3322211)(mindPddPdP=+=+=+.3,2,1,0,5610810201122133212221112121iddxxddxxddxxddxxxxii 5目标规划的一般数学模型 设jx（nj,2,1L=）是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为+iidd,（li,2,1L=）。设有q个优先级别，分别为qPPP,21L。在同一个优先级kP中，有不同的权重，分别记为),2,1(,ljwwkjkjL=+。因此目标规划模型的一般数学表达式为 +=+=ljjkjjkjqkkdwdwPz11min =+=+=+=liddnjxligddxcmibxaiijnjiiijijnjijij,2,1,0,2,1,0,2,1,1,),(11LLLL 建立目标规划的数学模型时，需要确定目标值、优先等级、权系数等，它都具有一定的主观性和模糊性，可以用专家评定法给以量化。3 求解目标规划的序贯式算法 序贯式算法是求解目标规划的一种早期算法，其核心是根据优先级的先后次序，将目标规划问题分解成一系列的单目标规划问题，然后再依次求解。求解目标规划的序贯算法 对于qk,2,1L=，求解单目标规划=+=ljjkjjkjdwdwz1)(min （1）s.t.=njijijmibxa1,1,),(L （2）=+=+njiiijijligddxc1,2,1,L （3）-256-*1)(sljjsjjsjzdwdw+=+，1,2,1=ksL，（4）njxj,2,1,0L=（5）liddii,2,1,0,L=+（6）其最优目标值为*kz，当1=k时，约束（4）为空约束。当qk=时，*qz所对应的解*x为目标规划的最优解。注 此时最优解的概念与线性规划最优解的概念已有所不同，但为方便起见，仍称为最优解。例 3 某企业生产甲、乙两种产品，需要用到CBA,三种设备，关于产品的赢利与使用设备的工时及限制如下表所示。问该企业应如何安排生产，才能达到下列目标：甲 乙 设备的生产能力（h）A(h/件)2 2 12 B(h/件)4 0 16 C(h/件)0 5 15 赢利（元/件）200 300 （1）力求使利润指标不低于 1500 元；（2）考虑到市场需求，甲、乙两种产品的产量比应尽量保持 1:2；（3）设备A为贵重设备，严格禁止超时使用；（4）设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又尽可能不加班。在重要性上，设备B是设备C的 3 倍。建立相应的目标规划模型并求解。解 设备A是刚性约束，其余是柔性约束。首先，最重要的指标是企业的利润，因此，将它的优先级列为第一级；其次，甲、乙两种产品的产量保持 1:2 的比例，列为第二级；再次，设备BC,的工作时间要有所控制，列为第三级。在第三级中，设备B的重要性是设备C的三倍，因此，它们的权重不一样，设备B前的系数是设备C前系数的 3 倍。由此得到相应的目标规划模型。)33()(min433322211+=dddPddPdPz （7）s.t.122221+xx （8）15003002001121=+ddxx （9）022221=+ddxx （10）164331=+ddx （11）155442=+ddx （12）0,21+iiddxx，4,3,2,1=i （13）序贯算法中每个单目标问题都是一个线性规划问题，可以使用 LINGO 软件进行求解。求第一级目标。LINGO 程序如下：model:sets:variable/1.2/:x;-257-S_Con_Num/1.4/:g,dplus,dminus;S_con(S_Con_Num,Variable):c;endsets data:g=1500 0 16 15;c=200 300 2-1 4 0 0 5;enddata min=dminus(1);2*x(1)+2*x(2)12;for(S_Con_Num(i):sum(Variable(j):c(i,j)*x(j)+dminus(i)-dplus(i)=g(i);end 求得 dminus(1)=0，即目标函数的最优值为 0，第一级偏差为 0。求第二级目标，LINGO 程序如下：model:sets:variable/1.2/:x;S_Con_Num/1.4/:g,dplus,dminus;S_con(S_Con_Num,Variable):c;endsets data:g=1500 0 16 15;c=200 300 2-1 4 0 0 5;enddata min=dplus(2)+dminus(2);!二级目标函数;2*x(1)+2*x(2)12;for(S_Con_Num(i):sum(Variable(j):c(i,j)*x(j)+dminus(i)-dplus(i)=g(i);dminus(1)=0;!一级目标约束;for(variable:gin(x);end 求得目标函数的最优值为 0，即第二级的偏差仍为 0。求第三级目标，LINGO 程序如下：model:sets:variable/1.2/:x;S_Con_Num/1.4/:g,dplus,dminus;S_con(S_Con_Num,Variable):c;endsets data:g=1500 0 16 15;c=200 300 2-1 4 0 0 5;enddata min=3*dplus(3)+3*dminus(3)+dplus(4);!三级目标函数;2*x(1)+2*x(2)12;for(S_Con_Num(i):sum(Variable(j):c(i,j)*x(j)+dminus(i)-dplus(i)=g(i);dminus(1)=0;!一级目标约束;dplus(2)+dminus(2)=0;!二级目标约束;end 目标函数的最优值为29，即第三级偏差为29。-258-分析计算结果，21=x，42=x，1001=+d，因此，目标规划的最优解为)4,2(*=x，最优利润为1600。上述过程虽然给出了目标规划问题的最优解，但需要连续编几个程序，这样在使用时不方便，下面用 LINGO 软件，编写一个通用的程序，在程序中用到数据段未知数据的编程方法。例 4（续例 3）按照序贯式算法，编写求解例 3 的通用 LINGO 程序。model:sets:level/1.3/:p,z,goal;variable/1.2/:x;h_con_num/1.1/:b;s_con_num/1.4/:g,dplus,dminus;h_con(h_con_num,variable):a;s_con(s_con_num,variable):c;obj(level,s_con_num)/1 1,2 2,3 3,3 4/:wplus,wminus;endsets data:ctr=?;goal=?0;b=12;g=1500 0 16 15;a=2 2;c=200 300 2-1 4 0 0 5;wplus=0 1 3 1;wminus=1 1 3 0;enddata min=sum(level:p*z);p(ctr)=1;for(level(i)|i#ne#ctr:p(i)=0);for(level(i):z(i)=sum(obj(i,j):wplus(i,j)*dplus(j)+wminus(i,j)*dminus(j);for(h_con_num(i):sum(variable(j):a(i,j)*x(j)b(i);for(s_con_num(i):sum(variable(j):c(i,j)*x(j)+dminus(i)-dplus(i)=g(i);for(level(i)|i#lt#size(level):bnd(0,z(i),goal(i);end 当程序运行时，会出现一个对话框。在做第一级目标计算时，ctr 输入 1，goal(1)和 goal(2)输入两个较大的值，表明这两项约束不起作用。求得第一级的最优偏差为 0，进行第二轮计算。在第二级目标的运算中，ctr 输入 2。由于第一级的偏差为 0，因此 goal(1)的输入值为 0，goal(2)输入一个较大的值。求得第二级的最优偏差仍为 0，进行第三级计算。在第三级的计算中，ctr 输入 3。由于第一级、第二级的偏差均是 0，因此，goal(1)和 goal(2)的输入值也均是 0。最终结果是：21=x，42=x，最优利润是 1600 元，第三级的最优偏差为 29。4 多标规划的 Matlab 解法 多目标规划可以归结为 -259-,minx 使得 goalweightxF)(beqxAeqbxA=,0)(,0)(=xceqxc ubxlb 其中lbbeqbgoalweightx,和ub是向量，A和Aeq是矩阵；)(),(xceqxc和)(xF是向量函数，他们可以是非线性函数。)(xF是所考虑的目标函数，goal是欲达到的目标，多目标规划的 Matlab 函数 fgoalattain 的用法为 x,fval=fgoalattain(fun,x0,goal,weight)x,fval=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)x,fval=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq)x,fval=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)其中 fun 是用 M 文件定义的目标向量函数，x0是初值，weight 是权重。A,b 定义不等式约束 A*xb，Aeq,beq 定义等式约束 Aeq*x=Beq，nonlcon 是用 M 文件定义的非线性约束 c(x)0，ceq(x)=0。返回值 fval 是目标向量函数的值。要完整掌握其用法，请用 help fgoalattain 或 type fgoalattain 查询相关的帮助。例 5 求解多目标线性规划问题 4224321123 min708090100 maxxxZxxxxZ+=+=+4,1 ,0482312023303042314321Lixxxxxxxxxi 解 （i）编写 M 函数 Fun.m:function F=Fun(x);F(1)=-100*x(1)-90*x(2)-80*x(2)-70*x(4);F(2)=3*x(2)+2*x(4);（ii）编写 M 文件 a=-1-1 0 0 0 0 -1-1 3 0 2 0 0 3 0 2;b=-30-30 120 48;c1=-100-90-80-70;c2=0 3 0 2;x1,g1=linprog(c1,a,b,zeros(4,1)%求第一个目标函数的目标值 x2,g2=linprog(c2,a,b,zeros(4,1)%求第二个目标函数的目标值 g3=g1;g2%目标goal的值 x,fval=fgoalattain(Fun,rand(4,1),g3,abs(g3),a,b,zeros(4,1)-260-%这里权重weight=目标goal的绝对值 就可求得问题的解。5 目标规划模型的实例 前面介绍了目标规划的求解方法，这里再介绍几个目标规划模型的模型，帮助我们进一步了解目标规划模型的建立和求解过程。例6 某计算机公司生产三种型号的笔记本电脑CBA,。这三种笔记本电脑需要在复杂的装配线上生产，生产1台CBA,型号的笔记本电脑分别需要5，8，12（h）。公司装配线正常的生产时间是每月1700h。公司营业部门估计CBA,三种笔记本电脑的利润分别是每台1000，1440，2520（元），而公司预测这个月生产的笔记本电脑能够全部售出。公司经理考虑以下目标：第一目标：充分利用正常的生产能力，避免开工不足；第二目标：优先满足老客户的需求，CBA,三种型号的电脑50，50，80（台），同时根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子；第三目标：限制装配线加班时间，最好不要超过200h；第四目标：满足各种型号电脑的销售目标，CBA,型号分别为100，120，100（台），再根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子；第五目标：装配线的加班时间尽可能少。请列出相应的目标规划模型，并用LINGO软件求解。解 建立目标约束。（1）装配线正常生产 设生产CBA,型号的电脑为321,xxx（台），1d为装配线正常生产时间未利用数，+1d为装配线加班时间，希望装配线正常生产，避免开工不足，因此装配线目标约束为=+17001285min113211ddxxxd （14）（2）销售目标 优先满足老客户的需求，并根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子，CBA,三种型号的电脑每小时的利润是122520,81440,51000，因此，老客户的销售目标约束为=+=+=+805050211820min443332221432ddxddxddxddd （15）再考虑一般销售。类似上面的讨论，得到=+=+=+100120100211820min773662551765ddxddxddxddd （16）（3）加班限制 -261-首先是限制装配线加班时间，不允许超过200h，因此得到=+19001285min883218ddxxxd （17）其次装配线的加班时间尽可能少，即=+17001285min113211ddxxxd （18）写出目标规划的数学模型+=15765483432211)211820()211820(mindPdddPdPdddPdPz s.t.1700128511321=+ddxxx 805050443332221=+=+=+ddxddxddx 100120100773662551=+=+=+ddxddxddx 1900128588321=+ddxxx 0,21+iiddxx，8,2,1L=i 写出相应的LINGO程序如下：model:sets:level/1.5/:p,z,goal;variable/1.3/:x;s_con_num/1.8/:g,dplus,dminus;s_con(s_con_num,variable):c;obj(level,s_con_num)/1 1,2 2,2 3,2 4,3 8,4 5,4 6,4 7,5 1/:wplus,wminus;endsets data:ctr=?;goal=?0;g=1700 50 50 80 100 120 100 1900;c=5 8 12 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 5 8 12;wplus=0 0 0 0 1 0 0 0 1;wminus=1 20 18 21 0 20 18 21 0;enddata min=sum(level:p*z);p(ctr)=1;for(level(i)|i#ne#ctr:p(i)=0);for(level(i):z(i)=sum(obj(i,j):wplus(i,j)*dplus(j)+wminus(i,j)*dminus(j);for(s_con_num(i):sum(variable(j):c(i,j)*x(j)+dminus(i)-dplus(i-262-)=g(i);for(level(i)|i#lt#size(level):bnd(0,z(i),goal);End 经5次计算得到1001=x，552=x，803=x。装配线生产时间为1900h，满足装配线加班不超过200h的要求。能够满足老客户的需求，但未能达到销售目标。销售总利润为 3808002520801440551000100=+（元）例7 已知三个工厂生产的产品供应给四个客户，各工厂生产量、用户需求量及从各工厂到用户的单位产品的运输费用如下表所示，其中总生产量小于总需求量。用 户 1 2 3 4 生产量 工厂1 5 2 6 7 300 工厂2 3 5 4 6 200 工厂3 4 5 2 3 400 需求量 200 100 450 250 （1）求总运费最小的运输问题的调度方案。（2）上级部门经研究后，制定了调配方案的8项指标，并规定了重要性的次序。第一目标：用户4为重要部门，需求量必须全部满足；第二目标：供应用户1的产品中，工厂3的产品不少于100个单位；第三目标：每个用户的满足率不低于80；第四目标：应尽量满足各用户的需求；第五目标：新方案的总运费不超过原运输问题的调度方案的10；第六目标：因道路限制，工厂2到用户4的路线应尽量避免运输任务；第七目标：用户1和用户3的满足率应尽量保持平衡；第八目标：力求减少总运费。请列出相应的目标规划模型，并用LINGO程序求解。解 （1）求解原运输问题 由于总生产量小于总需求量，虚设工厂4，生产量为100个单位，到各个用户间的运费单价为0。用LINGO软件求解，得到总运费是2950元，运输方案如下表所示。用 户 1 2 3 4 生产量 工厂1 100 200 300 工厂2 200 200 工厂3 250 150 400 工厂4 100 100 需求量 200 100 450 250 （2）下面按照目标的重要性的等级列出目标规划的约束和目标函数。设ijx为工厂)3,2,1(=ii调配给用户)4,3,2,1(=jj的运量，ijc表示从工厂i到用户j的单位产品的运输费用，)4,3,2,1(=jaj表示第j个用户的需求量，)3,2,1(=ibi表示第i个工厂的生产量。i）供应约束应严格满足，即 ijijbx=41 ii）供应用户1的产品中，工厂3的产品不少于100个单位，即 1001131=+ddx iii）需求约束。各用户的满足率不低于80，即 -263-16022312111=+ddxxx 8033322212=+ddxxx 36044332313=+ddxxx 20055342414=+ddxxx 应尽量满足各用户的需求，即 20066312111=+ddxxx 10077322212=+ddxxx 45088332313=+ddxxx 25099342414=+ddxxx iv）新方案的总运费不超过原方案的10（原运输方案的运费为2950元），即 324510103141=+=ddxciijjij v）工厂2到用户4的路线应尽量避免运输任务，即 0111124=+ddx vi）用户1和用户3的满足率应尽量保持平衡，即 0)(450200)(1212332313312111=+ddxxxxxx vii）力求总运费最少，即 295013133141=+=ddxciijjij 目标函数为+=1381212711610598764543231291)()()(mindPddPdPdPddddPddddPdPdPz 编写LINGO程序如下：model:sets:level/1.8/:p,z,goal;s_con_num/1.13/:g,dplus,dminus;plant/1.3/:a;customer/1.4/:b;routes(plant,customer):c,x;obj(level,s_con_num)/1 9,2 1,3 2,3 3,3 4,3 5,4 6,4 7,4 8,4 9,5 10,6 11,7 12,8 13/:wplus,wminus;endsets data:ctr=?;goal=?0;a=300 200 400;b=200 100 450 250;c=5 2 6 7 3 5 4 6 4 5 2 3;wplus=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1;wminus=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0;-264-enddata min=sum(level:p*z);p(ctr)=1;for(level(i)|i#ne#ctr:p(i)=0);for(level(i):z(i)=sum(obj(i,j):wplus(i,j)*dplus(j)+wminus(i,j)*dminus(j);for(plant(i):sum(customer(j):x(i,j)a(i);x(3,1)+dminus(1)-dplus(1)=100;for(customer(j):sum(plant(i):x(i,j)+dminus(1+j)-dplus(1+j)=0.8*b(j);sum(plant(i):x(i,j)+dminus(5+j)-dplus(5+j)=b(j);sum(routes:c*x)+dminus(10)-dplus(10)=3245;x(2,4)+dminus(11)-dplus(11)=0;sum(plant(i):x(i,1)-20/45*sum(plant(i):x(i,3)+dminus(12)-dplus(12)=0;sum(routes:c*x)+dminus(13)-dplus(13)=2950;for(level(i)|i#lt#size(level):bnd(0,z(i),goal);End 经8次运算，得到最终的计算结果，见下表。总运费为3360元，高于原运费410元，超过原方案10的上限115元。用 户 1 2 3 4 生产量 工厂1 100 200 300 工厂2 90 110 200 工厂3 100 250 50 400 实际运量 190 100 360 250 需求量 200 100 450 250 例8 某公司从三个仓库向四个用户提供某种产品。仓库与用户所在地的供需量及单位运价见下表。单位：元/件 1B 2B 3B 4B 供应量（件）1A 5 2 6 7 300 2A 3 5 4 6 200 3A 4 5 2 3 400 需求量（件）200 100 450 250 公司有关部门根据供求关系和经营条件，确定了下列目标：1P：完全满足用户4B的需要；2P：3A向1B提供的产品数量不少于100件；3P：每个用户的供应量不少于其需求的80%；4P：从仓库1A到用户2B之间的公路正在大修，运货量应尽量少；5P：平衡用户1B和2B的供货满意水平；6P：力求总运费最省；试求满意的调运方案。解 这是具有6个优先级目标的运输问题。设ijx为从仓库iA到用户jB的运输量-265-（3,2,1=i；4,3,2,1=j），+kkdd,为第k个目标约束中，未达到规定目标的负偏差和超过目标的正偏差。ia（3,2,1=i）是第i个仓库的供应量。约束条件有以下几种：i）供应约束（硬约束）。ijijax=41，3,2,1=i ii）需求约束。由于产品供不应求，向各用户的实际供应量不可能超过需求量，所以需求正偏差没有意义。记jd为各用户需求量的负偏差，jb是各用户的需求量（4,3,2,1=j），约束为 jjiijbdx=+=31，4,3,2,1=j iii）3A向1B的供货约束：1005531=+ddx iv）至少满足用户需求80的约束：jjjiijbddx8.05531=+=，4,3,2,1=j v）1A到2B的运货量尽量少，也就是运货量尽可能为零。显然，负偏差没有意义，故有 01012=+dx vi）平衡用户1B和4B的满意水平，也就是供应率要相同。约束条件为 04502001111313311=+=ddxxiiii vii）运费尽量少，即尽量等于零，负偏差没有意义。所以 0311241=+=ijijijdxc 目标函数为+=12611115104987635241)()(mindPddPdPddddPdPdPz 计算程序如下。model:sets:plant/A1.A3/:a;customer/B1.B4/:b;routes(plant,customer):c,x;deviation/1.12/:d1,d2,p1,p2;endsets data:a=300 200 400;b=200 100 450 250;c=5 2 6 7 3 5 4 6 4 5 2 3;p1=0,0,0,100000,10000,1000,1000,1000,1000,0,10,0;p2=0,0,0,0,0,0,0,0,0,100,10,1;-266-enddata for(plant(i):con1sum(customer(j):x(i,j)j，00j，并且其最优目标值10=jV，则称决策单元0j是DEA有效的。从上述定义可以看出，所谓DEA有效，就是指那些决策单元，它们的投入产出比达到最大。因此，我们可以用DEA来对决策单元进行评价。-268-（3）C2R模型的求解 从上面的模型可以看到，求解C2R模型，需要求解若干个线性规划，这一点可以用LINGO软件完成。例10（续例9）运用C2R模型（20）求解例9。解 按照C2R模型写出相应的LINGO程序如下：model:sets:dmu/1.6/:s,t,p;!决策单元;inw/1.2/:w;!输入权重;outw/1.2/:u;!输出权重;inv(inw,dmu):x;!输入变量;outv(outw,dmu):y;endsets data:ctr=?;x=89.39 86.25 108.13 106.38 62.40 47.19 64.3 99 99.6 96 96.2 79.9;y=25.2 28.2 29.4 26.4 27.2 25.2 223 287 317 291 295 222;enddata max=sum(dmu:p*t);p(ctr)=1;for(dmu(i)|i#ne#ctr:p(i)=0);for(dmu(j):s(j)=sum(inw(i):w(i)*x(i,j);t(j)=sum(outw(i):u(i)*y(i,j);s(j)t(j);sum(dmu:p*s)=1;end 在上述程序中，ctr的值分别输入6,2,1L，经过6次计算，得到6个最优目标值 1，0.9096132，0.9635345，0.9143053，1，1 并且对于学校A（决策单元1）有0,012，对于学校E（决策单元5）有01，02和对于学校F（决策单元6）有0,011。因此，学校FEA,是DEA有效的。习题二十一 1.试求解多目标线性规划问题 +=+=21221123 maxxxzxxz s.t.+0,557212121xxxxxx 2一个小型的无线电广播台考虑如何最好地安排音乐、新闻和商业节目时间。依据法律，该台每天允许广播12小时，其中商业节目用以赢利，每分钟可收入250美元，新闻节目每分钟需支出40美元，音乐节目每播一分钟费用为17.50美元。法律规定，正常情况下商业节目只能占广播时间的20%，每小时至少安排5分钟新闻节目。问每天的广播节目该如何安排？优先级如下：1p：满足法律规定的要求；2p：每天的纯收入最大。-269-试建立该问题的目标规划模型。3.某工厂生产两种产品,每件产品I可获利10元，每件产品II可获利8元。每生产一件产品I，需要3小时；每生产一件产品II，需要2.5小时。每周总的有效时间为120小时。若加班生产，则每件产品I的利润降低1.5元；每件产品II的利润降低1元。决策者希望在允许的工作及加班时间内取最大利润，试建立该问题的目标规划模型，并求解。