2023学年高考数学一轮复习第6章数列第3节等比数列及其前n项和课时跟踪检测文新人教A版.doc

第三节　等比数列及其前n项和 A级·基础过关|固根基| 1.已知{an}为等比数列且满足a6－a2＝30，a3－a1＝3，则数列{an}的前5项和S5＝(　　) A．15 B．31 C．40 D．121 解析：选B　设等比数列{an}的公比为q，因为{an}为等比数列且满足a6－a2＝30，a3－a1＝3，所以可得所以S5＝＝31，所以数列{an}的前5项和S5＝31. 2．在等比数列{an}中，设其前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　) A. B．－ C. D. 解析：选A　因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝，所以a7＋a8＋a9＝. 3．(一题多解)(2023年届福建厦门模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n＋1＋λ，则λ＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选A　解法一：当n＝1时，a1＝S1＝4＋λ. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1＋λ)－(2n＋λ)＝2n，此时＝＝2. 因为{an}是等比数列，所以＝2， 即＝2，解得λ＝－2.故选A. 解法二：依题意，a1＝S1＝4＋λ，a2＝S2－S1＝4，a3＝S3－S2＝8， 因为{an}是等比数列，所以a＝a1·a3，所以8(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.故选A. 4．记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，已知am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m的值为(　　) A．4 B．7 C．10 D．12 解析：选A　因为{an}是等比数列，所以am－1am＋1＝a.又am－1am＋1－2am＝0，则a－2am＝0，所以am＝2或am＝0(舍去)．由等比数列的性质可知前2m－1项的积T2m－1＝a，即22m－1＝128，故m＝4.故选A. 5．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，…，an－1anan＋1＝324，则n等于(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 解析：选C　因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，a10a11a12，…也成等比数列． 不妨令b1＝a1a2a3，b2＝a4a5a6，则公比q＝＝＝3. 所以bm＝4×3m－1. 令bm＝324，即4×3m－1＝324， 解得m＝5， 所以b5＝324，即a13a14a15＝324. 所以n＝14. 6．(2023年届济南模拟)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，a2＋a5＝4，则a8＝________． 解析：因为S3，S9，S6成等差数列，所以公比q≠1，所以＝＋，整理得2q6＝1＋q3，所以q3＝－，故a2·＝4，解得a2＝8，故a8＝a2·q6＝a2·(q3)2＝8×＝2. 答案：2 7．记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则an＝________，S6＝________． 解析：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63. 答案：－2n－1　－63 8．已知在等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是________． 解析：设等比数列{an}的公比为q， 则S3＝a1＋a2＋a3＝a2＝1＋q＋. 当公比q>0时，S3＝1＋q＋≥1＋2＝3，当且仅当q＝1时，等号成立； 当公比q<0时，S3＝1－≤1－2＝－1，当且仅当q＝－1时，等号成立． 所以S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞) 9．(2023年届昆明市诊断测试)已知数列{an}是等比数列，公比q<1，前n项和为Sn，若a2＝2，S3＝7. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设m∈Z，若Sn<m恒成立，求m的最小值． 解：(1)由a2＝2，S3＝7，得 解得或(舍去)． 所以an＝4·＝. (2)由(1)可知， Sn＝＝＝8<8. 又Sn<m恒成立，m∈Z，所以m的最小值为8. 10．(2023年届南昌市第一次模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝2a4－1，S3＝2a3－1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn＝Sn(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由S4－S3＝a4，得2a4－2a3＝a4，所以＝2，所以q＝2. 又因为S3＝2a3－1， 所以a1＋2a1＋4a1＝8a1－1， 所以a1＝1，所以an＝2n－1. (2)由(1)知a1＝1，q＝2，则Sn＝＝2n－1， 所以bn＝2n－1， 则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝2＋22＋…＋2n－n＝－n＝2n＋1－2－n. B级·素养提升|练能力| 11.(2023年届安徽池州模拟)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思是某人要走三百七十八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程．则下列说法错误的是(　　) A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C．此人第三天走的路程占全程的 D．此人后三天共走了四十二里路 解析：选C　记每天走的路程里数为an(n＝1，2，3，…，6)， 由题意知{an}是公比为的等比数列， 由S6＝378，得＝378， 解得a1＝192，所以a2＝192×＝96， 此人第一天走的路程比后五天走的路程多192－(378－192)＝6(里)， a3＝192×＝48，>， 前3天走的路程为192＋96＋48＝336(里)， 则后3天走的路程为378－336＝42(里)，故选C. 12．(2023年届长春市高三质量监测)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋2n＋1，设bn＝. (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列的前n项和Sn. 解：(1)证明：当n≥2时，bn－bn－1＝－＝＝1， 又b1＝1，所以{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)可知，bn＝n，所以＝－， 所以Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝. 13．(2023年届湖北省五校联考)已知数列{an}是等差数列，a2＝6，前n项和为Sn，{bn}是等比数列，b2＝2，a1b3＝12，S3＋b1＝19. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求数列{bncos(anπ)}的前n项和Tn. 解：(1)因为数列{an}是等差数列，a2＝6， 所以S3＋b1＝3a2＋b1＝18＋b1＝19，所以b1＝1， 因为b2＝2，数列{bn}是等比数列，所以公比q＝＝2，所以bn＝2n－1. 所以b3＝4，因为a1b3＝12，所以a1＝3， 因为a2＝6，数列{an}是等差数列，所以公差d＝a2－a1＝3， 所以an＝3n. (2)由(1)得，令Cn＝bncos(anπ)＝(－1)n2n－1， 所以Cn＋1＝(－1)n＋12n， 所以＝－2，又C1＝－1， 所以数列{bncos(anπ)}是以－1为首项，－2为公比的等比数列， 所以Tn＝＝－[1－(－2)n]． 14．(2023年届湖北黄冈调研)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝·an(n∈N*)． (1)证明：数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：Tn<2. 解：(1)证明：由题设得＝·，又＝2， 所以数列是首项为2，公比为的等比数列， 所以＝2×＝22－n，则an＝n·22－n＝. (2)证明：bn＝＝＝， 因为对任意n∈N*，2n－1≥2n－1， 所以bn≤. 所以Tn≤1＋＋＋＋…＋＝2<2. - 6 -