第八章——中值定理2（笔记）主讲教师：考研数学李振授课时间：2024.01.31粉笔考研·官方微信1第八章——中值定理2（笔记）【注意】微分中值定理：一定有5个，费马引理、罗尔定理、拉格朗日、柯西和泰勒中值定理，基础阶段只介绍前四个，泰勒中值定理放在强化阶段。【注意】费马引理：不用进行过多介绍，在第六章极值的必要条件时已经渗透讲解，极值的必要条件其实就是费马引理（可导函数在极值点处的导数等于0），大前提：函数一定是可导的，如图的第二象限中，虽然有极值点，但是不满足可导，所以不能得到费马引理的结论。2【注意】小结：1.费马引理是极值判定的必要条件。2.需要掌握费马引理的证明过程，即证明可导函数的极值点处导数为0，用导数定义证明（第六章讲解极值的必要条件时证明过）。3.使用费马引理证明f’（x0）=0，只需证明最值不在端点处取到即可（在区间内部有个极值，可以看最值，在端点或内部，在内部取到的最值就是极值）。【解析】例4.虽然两头异号，但不能对f’（x）在[a，b]内使用零点定理，和开区间、闭区间无关（两头异号说明不等于0），错误原因是最值定理、介值定理、零点定理是连续函数的性质，本题中并没有说明f’（x）连续，只说明f（x）可导，即f’（x）存在，故不能使用零点定理，考虑使用费马引理，证明最值在区间内部取到即可，想到导数的定义。证明：不妨设f+'（a）＞0、f−'（b）＜0（反过来也是成立的），由导数的定义，由极限的保号性可知有[f（x）-f（a）]/（x-a）＞0，故f（x）＞f（a）。同理可得：[f（x）-f（b）]/（x-b）＜0，故f（x）＞f（b）。由此可知，最大值不在端点处取到（如果反过来，则证明出最小值不在端点处取到）。由费马3引理可知结论：最值在内部取到一定是极值，按照取极值的必要条件，一定是个可导函数，可导函数在极值点处的导数一定等于0。【注意】1.结论要记住，若f’（x）在[a，b]上连续，可以用零点定理。没有说连续，只说f’（x）存在，同样可以用费马引理证明。2.费马引理本身在考试中使用并不多。“引理”的作用是引出更为重要的定理，即罗尔定理。【注意】罗尔定理：三个条件一定要烂熟于心。1.若函数f（x）满足：（1）在闭区间[a，b]上连续。（2）在开区间（a，b）内可导。（3）f（a）=f（b）。则在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得f’（ξ）=0。2.理解：连续又可导，曲线没有断开，且没有尖点，两头函数值相等（可能上去又下来，可能下去又上来，也可能中间打几个弯又...
