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定积分的几何应用知识点
积分
几何
应用
知识点
考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届 高数上册核心高数上册核心(快速串讲快速串讲)1 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 定积分的几何应用(理论)主讲人:凯哥 一、微元法的思想概述一、微元法的思想概述(一)回顾(一)回顾 在学习定积分定义求极限的时候我们就强调过,定积分的几何意义是平面图形的面积.比如,曲线、直线、轴围成的曲边梯形的面积为.其核心思想可以归纳为“分割、近似、求和、取极限”观察的左右两边,寻找等号两边的对应关系,我们可以发现 步长其实就是,它们表示的是小曲边梯形的底边宽度;近似高度其实对应着被积函数,所以就对应着等号右边的,它们都能表示小曲边梯形的近似面积;至此,就完成了“分割”与“近似”.然后,对每一个小曲边梯形的面积求和,并求极限,所以就代表“求和”与“取极限”,它刚好对应了等号右边的.所以,现在再回过头看看,理解是不是更加深刻了呢?注注:本质上,积分就是求和,求和就是积分,只是一个离散的相加,另一个是连续的相加.(二)微元法(二)微元法 通过对上面的回顾,我们将“微元法”的思想总结如下 对于非均匀分布在区间上且具有可加性的量(包括几何量、物理量),我们在计算总量时,可以按照以下两个步骤来进行:1.求微元表达式求微元表达式 将区间分割成若干个小的子区间,在每个小区间上,不妨将左端点的函数值,考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届 高数上册核心高数上册核心(快速串讲快速串讲)2 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 看成区间上每一点的函数值(相当于将小区间上视为均匀分布).故在上的局部量的近似值便可以写成;2.求积分求积分 将上述局部近似量在上累加,也就是做积分,即可得到的精确值.即 示例示例 有一根长度为 2 的不均匀细棒,其线密度的大小恰好为该点到较近的一个端点的距离的 2 倍.求该细棒的总质量.二、定积分的几何应用二、定积分的几何应用(一)平面图形的面积(一)平面图形的面积 1.曲线、直线、轴围成的曲边梯形的面积:.2.曲线(有正有负),直线、轴围成的图形面积:.3.曲线、,直线、,围成的图形面积:.4.若曲线方程由参数方程给出,其实公式也一样,只是最终要把关于的积分转化成关于 的积分而已.比如对于第 1 种情况种的,在参数方程下的公式就只需要把代入,并且注意“换元必换限”即可,故.5.若曲线由极坐标给出,比如:曲线与射线、()所围成的曲边扇形.则面积公式为.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届 高数上册核心高数上册核心(快速串讲快速串讲)3 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书(二)旋转体的体积(二)旋转体的体积 1.绕绕 x 轴轴 假设有一个旋转体是由曲线,直线、,以及 轴围成的平面图形绕着 轴旋转一周而成,求该旋转体的体积.(自己在下面画图)由微元法,只要足够小,那么夹在中的部分就可以近似为一个薄薄的圆柱体,故体积微元为,故总体积为.2.绕绕 y 轴轴 假设有一个旋转体是由曲线,直线和()以及 轴,围成的平面图形绕着轴旋转一周而成,求该旋转体体积.(自己在下面画图)仍然采用微元法,先计算当足够小时,这一小段旋转旋转后形成的体积.位于的小竖条,绕着轴旋转一周以后,会形成一个圆柱形的“薄壳”,该薄壳可以剪开,展开成一个薄的长方形薄片(可以想象成一张 A4 纸被卷成一个圆筒),故微元体积为(其中可以理解为 A4 纸的厚度,和分别是这个纸的长和宽,所以乘起来就是纸的体积).所以,总体积为.当然,若,则.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届 高数上册核心高数上册核心(快速串讲快速串讲)4 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书(三三)平面曲线的弧长)平面曲线的弧长 求曲线从到之间的弧的长度.(自己在下面画图)只要足够小,那么曲线段就可以近似看成直线段,它在 轴和轴方向的投影大小为和,则由勾股定理可知,微元曲线段的近似长度为,提一个出来,并注意到,则.求出微元长度后,积分即可得到总长度.注注:极坐标下的弧长公式为,在习题部分我们会对其进行证明.(四四)旋转曲面的侧面积旋转曲面的侧面积 曲线绕 轴旋转一周后,求旋转曲面的面积.(自己在下面画图)仍然采用微元法,用无数垂直于 轴的平面去切割该旋转体,每一个小区间上对应的“窄带”,均是由该区间上对应的微元弧段绕着 轴旋转一周形成.故区间上对应的窄带面积为.积分即得总面积为