2023学年陕西省师范大学附属中学高考数学二模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ） A．20 B．24 C．25 D．26 2．设i为数单位，为z的共轭复数，若，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 4．已知非零向量、，若且，则向量在向量方向上的投影为（ ） A． B． C． D． 5．若复数（为虚数单位）的实部与虚部相等，则的值为( ) A． B． C． D． 6．已知数列 是公比为 的等比数列，且 ， ， 成等差数列，则公比 的值为（    ） A． B． C． 或 D． 或 7．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙 8．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（ ） A． B． C． D． 9．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不正确的是（ ） A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高 B．天津的往返机票平均价格变化最大 C．上海和广州的往返机票平均价格基本相当 D．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加 10． “且”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（ ） A．2 B． C． D．1 12．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点的坐标，则点落在圆内的概率为______________． 14．已知过点的直线与函数的图象交于、两点，点在线段上，过作轴的平行线交函数的图象于点，当∥轴，点的横坐标是 15．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，且，过点分别作于点，于点，连接，则三棱锥的体积的最大值为__________． 16．展开式中的系数为_________.（用数字做答） 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数. （1）解不等式； （2）若函数的最小值为，求的最小值. 18．（12分）设函数，，其中，为正实数. （1）若的图象总在函数的图象的下方，求实数的取值范围； （2）设，证明：对任意，都有. 19．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设是椭圆上且不在轴上的一个动点，为坐标原点，过右焦点作的平行线交椭圆于、两个不同的点，求的值． 20．（12分）在中，，.已知分别是的中点.将沿折起，使到的位置且二面角的大小是60°，连接，如图： （1）证明：平面平面 （2）求平面与平面所成二面角的大小. 21．（12分）已知函数（），是的导数. （1）当时，令，为的导数.证明：在区间存在唯一的极小值点； （2）已知函数在上单调递减，求的取值范围. 22．（10分）已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，设点为中点，点为中点，点为上一点，且． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为，再利用组合数的计算公式可得所求的种数. 【题目详解】 混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（种）， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题. 2、A 【答案解析】 由复数的除法求出，然后计算． 【题目详解】 ， ∴． 故选：A. 【答案点睛】 本题考查复数的乘除法运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键． 3、D 【答案解析】 如图所示，设依次构成等差数列，其公差为. 根据椭圆定义得，又，则，解得，.所以，，，. 在和中，由余弦定理得，整理解得.故选D． 4、D 【答案解析】 设非零向量与的夹角为，在等式两边平方，求出的值，进而可求得向量在向量方向上的投影为，即可得解. 【题目详解】 ，由得，整理得， ，解得， 因此，向量在向量方向上的投影为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题. 5、C 【答案解析】 利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可. 【题目详解】 ，又的实部与虚部相等， ，解得. 故选:C 【答案点睛】 本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用. 6、D 【答案解析】 由成等差数列得，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q的方程. 【题目详解】 由题意，∴2aq2=aq+a，∴2q2=q+1，∴q=1或q= 故选：D． 【答案点睛】 本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练． 7、A 【答案解析】 利用逐一验证的方法进行求解. 【题目详解】 若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A． 【答案点睛】 本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． 8、A 【答案解析】 根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求. 【题目详解】 如图所示： 设内切球球心为，到平面的距离为，截面圆的半径为， 因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为， 又因为，所以， 又因为， 所以，所以， 所以截面圆的半径，所以截面圆的面积为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算. 9、D 【答案解析】 根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析，由此得出叙述不正确的选项. 【题目详解】 对于A选项，根据折线图可知深圳的变化幅度最小，根据条形图可知北京的平均价格最高，所以A选项叙述正确. 对于B选项，根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大，所以B选项叙述正确. 对于C选项，根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当，所以C选项叙述正确. 对于D选项，根据折线图可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五个城市的往返机票平均价格在增加，故D选项叙述错误. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析，属于基础题. 10、A 【答案解析】 画出“,,,所表示的平面区域,即可进行判断. 【题目详解】 如图，“且”表示的区域是如图所示的正方形， 记为集合P，“”表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q， 显然是的真子集,所以答案是充分非必要条件， 故选:. 【答案点睛】 本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易. 11、B 【答案解析】 ，选B. 12、A 【答案解析】 可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【题目详解】 由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的， 丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的； 假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的， 乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立， 所以可以断定值班人是甲. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 连续掷两次骰子共有种结果，列出满足条件的结果有11种，利用古典概型即得解 【题目详解】 由题意知，连续掷两次骰子共有种结果， 而满足条件的结果为： 共有11种结果，根据古典概型概率公式， 可得所求概率． 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题. 14、 【答案解析】 通过设出A点坐标，可得C点坐标，通过∥轴，可得B点坐标，于是再利用可得答案. 【题目详解】 根据题意，可设点，则,由于∥轴，故，代入， 可得，即，由于在线段上，故，即，解得 . 15、 【答案解析】 由已知可得△AEF、△PEF均为直角三角形，且AF＝2，由基本不等式可得当AE＝EF＝2时，△AEF的面积最大，然后由棱锥体积公式可求得体积最大值． 【题目详解】 由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC， 又AB⊥BC，且PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，则BC⊥AE， 又PB⊥AE，则AE⊥平面PBC， 于是AE⊥EF，且AE⊥PC，结合条件AF⊥PC，得PC⊥平面AEF， ∴△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF＝2， 而S△AEF＝（AE2+EF2）＝AF2＝2， 当且仅当AE＝EF=2时，取“＝”，此时△AEF的面积最大， 三棱锥P﹣AEF的体积的最大值为： VP﹣AEF＝＝＝． 故答案为 【答案点睛】 本题主要考查直线与平面垂直的判定，基本不等式的应用，同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，属于中档题． 16、210 【答案解析】 转化，只有中含有，即得解. 【题目详解】 只有中含有， 其中的系数为 故答案为:210 【答案点睛】 本题考查了二项式系数的求解，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2） 【答案解析】 （1）用分类讨论思想去掉绝对值符号后可解不等式； （2）由（1）得的最小值为4，则由，代换后用基本不等式可得