第九章——常微分方程3（讲义+笔记）主讲教师：考研数学李振授课时间：2024.02.28粉笔考研·官方微信题型考频分值难度值区分度多元函数的极限、连续、偏导与微分10380.3090.368多元函数导数的计算814180.6270.568多元函数的极值352960.5310.571多元函数的极限、连续、偏导与微分3130.3460.386多元函数导数的计算201040.6330.599多元函数的极值131220.5320.60337年近10年1第九章——常微分方程3（笔记）【注意】上节课学习了二阶常系数齐次线性微分方程，先写出特征方程，有两个不同实根、有两个相同实根、共轭虚根。2【注意】1.求解二阶常系数非齐次线性微分方程的一般步骤。2.不是所有的非齐次都能求解，只有特定形式的非齐次才能求解。3.方法：待定系数法。4.理解三个原则。3【解析】例16.要算通解，先算齐次通解，然后令y*=x*（ax+b）*ex，与我同型，项数补全，然后代入原微分方程，具体步骤见上图。【解析】例17.第一步先算齐次通解，再设y*，具体步骤见上图。4【解析】例18.不是所有的非齐次都能求解，要么是单独的多项式，要么是单独的三角函数，或者是有指数、多项式、三角组成的才能求解。注意都不是平方项，题干中的平方项要利用二倍角公式去掉再求解，具体步骤见上图。5【解析】例19.给了特解，反求参数。方法一：可以直接把y代入进去，具体步骤见上图。方法二：y是由三个函数组成，是非齐次解，其中有两个是齐次解，有一个是非齐次解，分别讨论，具体步骤见上图。6【注意】将特征方程变化一下。7【注意】欧拉方程（数学一）：1.一共考了2次，要学习识别和求解。2.考试一般不会考三阶。【解析】例20.令x=et，代入式子，得到特征方程，就出通解，具体步骤见上图。【注意】数二考法：利用变量代换x=et，求解x²y′′+xy′-4y=0。定积分的几何应用8【注意】平面曲线的弧长：1.假设坐标系中有一条曲线，求曲线的长度，用微元法。2.第一步分割，第二步近似，第三步求和，第四步取极限。3.核心记住弧微分。9【解析】例10（1）.先算出弧微分，利用倍角公式把根号去掉，具体步骤见上图。【解析】例10（2）.利用弧微分公式算出弧微分，假分式先变成真分式，再算积分，具体步骤见上图。10【解析】例10（3）.是一个心形线，算出弧微分，具体步骤见上图。旋转曲面的面积11【注意】1.公式用微元法推导，第一步分割，第二步近似，第三步求和，第四步取极限。2.记住公式，理解公式中每个字母的含义。【解析】例11（1）.先表示出弧微分，化简，去根号，再...
