第九章——常微分方程1（讲义+笔记）主讲教师：考研数学李振授课时间：2024.02.21粉笔考研·官方微信1第九章——常微分方程1（笔记）【注意】常微分方程：1.考情：整体有六类题型，考频比较高，在7分左右的基本都是大题，小题集中在一阶微分方程的求解和高阶微分方程，大题主要集中在微分方程的应用和积分方程的求解。2.最近几年考查微分方程都是一大一小。3.对于微分方程，要先列方程，再解方程。解方程一般是小题会出，列方程一般是大题会出。一、微分方程的基本概念2【注意】1.方程：含有未知数的等式叫方程。是小学的概念。2.微分方程：含有未知函数及其导数的方程称为微分方程。3.常微分方程：含有未知函数及其导数的方程称为微分方程，其中，未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程。比如y′=x，y′′=x。4.偏微分方程：考研不考。5.微分方程的阶数：未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。6.算微分方程的核心是算积分，需要把不定积分学好。7.一阶微分方程：y=（1/2）x²+C，有一个任意常数；二阶微分方程：y=（1/6）3x³+C1x+C2，有两个任意常数，两个任意常数不能合并，也叫作线性无关。4【注意】解、通解和特解：1.比如y′=x的通解y=（1/2）x²+C。y′′=x的通解y=（1/6）x³+C1x+C2。2.相互独立：是指它们不能通过合并而使通解中的任意常数的个数减少。3.通解未必是微分方程所有的解，不在通解中的解叫作奇解。4.重点掌握微分方程的类型。【解析】常见的一阶微分方程：1.规范型（可分离变量的微分方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，全微分方程）、非规范型（强化阶段学习）。52.规范型的5个数学一的都考，数学二和数学三不考伯努利方程，全微分方程。3.核心：识别、求解。【注意】可分离变量的微分方程：1.识别：从定义的形式，从本质特点。2.求解：分离变量后，两边同时求不定积分，就得到微分方程的通解。6【解析】例1.先分离变量，再两边同时积分，对方程进行化简，两边有ln，就先去掉ln，再去掉绝对值，具体步骤见上图。【解析】例2.是可分离变量的微分方程，第一步先分离变量，然后化简，两边同时取e，求出通解，最后求特解，具体步骤见上图。7【注意】齐次方程。【解析】例3.齐次方程，化为可分离变量的微分方程，做变量代换，再代入，最后化简，具体步骤见上图。8【注意】1.齐次方程变化比较多，不仅要掌握定义形式，还要掌握本质特点。2.求解时就先化成定义形式。【解析】例4.每一项的次数一样多，是...
