考研竞赛凯哥-25届-高数上册核心串讲1为中华之崛起而读书导数的定义与计算（理论）一、导数与微分（一）导数函数在处，当自变量有增量时，对应函数值增量为.若存在，则称函数在处可导，且该极限值称为在处的导数，记为.注1：当时，、、均表示处的导数值.注2：导数定义有两种写法——和，但本质上没有区别.注3：由于极限分左右，而导数定义本身就是一个极限，故导数也分左右.分别为——左导数右导数所以，在处可导的充要条件为左右导数均存在且相等，即.注4：一定要区分和的区别，前者是函数在处的左导数，后者是导函数在的左极限，它们并不是同一个意思.这是比较容易混淆的概念，在后面讲习题的时候会特别强调.注5：导数的几何意义是曲线的切线斜率.一般而言，曲线在点处的切线方程为.当然，如果切线是竖直的，则直接表示为直线.注6：研究“抽象函数在具体一点处的导数”和“分段函数在分段点处的导数”一般都用导数定义.注7：可导一定连续，但连续不一定可导，比如是连续函数，但是在不可导.示例(2012年)设函数，求.（二）微分（单独录一个短视频，正课部分不讲，略微有点抽象）函数在处，当自变量有增量时，对应函数值增量为.若存在一个常数，使得，则称函数在处可微，并将称为在处对应于自变量增量的微分，记为.如果在区间上每个点都可微，则称在区间上是可微函数.考研竞赛凯哥-25届-高数上册核心串讲2为中华之崛起而读书注1：当为自变量，为因变量时，一般将就写成，即，但决不能写成；注2：可以证明，可微定义中的常数，其实就等于，故有公式，如、等，所以微分的几何意义是曲线在切线方向上的线性增量.注3：从可微定义可以看出，若函数在处可微，则处由产生的“真实增量”，便可以粗略看成“近似增量”，即，而产生的误差仅仅是的高阶无穷小.注4：从定义可以看出，可微与可导的定义几乎没有任何联系，但其实对于一元函数而言，可导与可微等价，二者可以互推.（至于原因，4月讲）二、基本求导公式(1)(2)(3)(4)三、导数的四则运算法则(1)加减：(2)乘法：(3)除法：四、各种类型的求导法则（一）复合函数求导设可导，也可导，则复合函数也可导，且有如下的复合函数求导公式示例设，求考研竞赛凯哥-25届-高数上册核心串讲3为中华之崛起而读书（二）反函数求导若函数是函数的反函数，则有如下的反函数求导公式——注：反函数的二阶导为.（三）隐函数求导若函数是由方程所确定的可导函数，为求得时，没有必要将表示成的显函数的形式以后再求导，只需...
