第四章——定积分的计算1（讲义+笔记）主讲教师：考研数学李振授课时间：2023.12.01粉笔考研·官方微信1第四章——定积分的计算1（笔记）【注意】定积分考情分析：1.定积分的题型比不定积分多了很多，分值占比相比于不定积分大很多。2.举例阐述一下什么是微分、积分：假设都能活100岁。（1）微分：当时间间隔很小的时候体重的变化，假设比1秒还少，在△t内体重的变化。（2）积分：从出生到死体重去积分，把所有的微分都加起来，x表示时间。一、定积分的定义23【注意】1.定积分刚开始是用于求解面积的，一旦图形的边是弯曲的（最主要的是圆），S圆=πr²，π是怎么来的，圆周率的发展，追溯到战国时期，有一个数学家刘辉，在圆里内接一个正方形，此时还相差很多，就在弧上取中点，变为一个正八边形，继续分割，直到与圆的面积相差不多，方法叫做“割圆术”。到南北朝时期，祖冲之利用割圆术算到3.1415926，后来德国的鲁德夫算到了小数点后35位。在实际生活中算面积3.14就够用，第一步分割、第二步近似、第三步求和，得到的只是一个近似值；当圆内接多边形的边数n趋近于无穷的时候，圆内接多边形的面积就越趋近于圆的面积，所以多了第四步取极限，这四步叫做微元法。2.如图，假设要算曲边梯形的面积，可以利用微元法，第一步分割，沿着自变量的方向去分割，分为很多小条，当每根小条足够细的时候，认为小条的高度就是近似不变的，小条可以近似看成一个矩形，第二步近似，假设下面的宽度为△xi，高度为f（𝜉i），𝜉i∈[xi-1,xi]，则小条的面积Si≈f（𝜉i）*△xi，第三步求和，S=∑𝑛𝑖=1f(ξi)*△xi，第四步取极限，分割成无穷多个小条，要保证每个小条都足够细，n→∞不行，令𝜆=max{△xi}，则lim𝜆→∞∑𝑛𝑖=1f(ξi)*△xi。3.极限的结果与如何分割没有关系，与𝜉i的选取没有关系。4【注意】1.定义定积分的前提：区间有限，函数有界。2.定积分的本质是一个数，与积分变量没有关系。3.在定积分定义中，默认a＜b。4.选择一个特殊的划分方式：n等分；𝜉i取右端点。5【解析】例1.直接考查定积分定义的形式，后面学习了牛顿莱布尼兹公式再计算，具体步骤见上图。【解析】例2.如果利用数列极限中的夹逼准则是失效的；先把通项写出来，6然后凑lim𝑛→∞∑1𝑛𝑛𝑖=1𝑓（𝑖𝑛），具体步骤见上图。【解析】1.举例：红色例子的分母满足大同小异，利用夹逼准则。2.最大分母/最小分母取极限等于1，就用夹逼准则，如果不等于1，就利用定积分定义。二、定积分的几何...
