考研竞赛凯哥-25届高数上册核心（快速串讲）1为中华之崛起而读书定积分的几何应用（理论）主讲人：凯哥一、微元法的思想概述（一）回顾在学习定积分定义求极限的时候我们就强调过，定积分的几何意义是平面图形的面积.比如，曲线、直线、、轴围成的曲边梯形的面积为.其核心思想可以归纳为“分割、近似、求和、取极限”观察的左右两边，寻找等号两边的对应关系，我们可以发现——步长其实就是，它们表示的是小曲边梯形的底边宽度；近似高度其实对应着被积函数，所以就对应着等号右边的，它们都能表示小曲边梯形的近似面积；至此，就完成了“分割”与“近似”.然后，对每一个小曲边梯形的面积求和，并求极限，所以就代表“求和”与“取极限”，它刚好对应了等号右边的.所以，现在再回过头看看，理解是不是更加深刻了呢？注：本质上，积分就是求和，求和就是积分，只是一个离散的相加，另一个是连续的相加.（二）微元法通过对上面的回顾，我们将“微元法”的思想总结如下——对于非均匀分布在区间上且具有可加性的量（包括几何量、物理量），我们在计算总量时，可以按照以下两个步骤来进行：1.求微元表达式将区间分割成若干个小的子区间，在每个小区间上，不妨将左端点的函数值，考研竞赛凯哥-25届高数上册核心（快速串讲）2为中华之崛起而读书看成区间上每一点的函数值（相当于将小区间上视为均匀分布）.故在上的局部量的近似值便可以写成——；2.求积分将上述局部近似量在上累加，也就是做积分，即可得到的精确值.即示例有一根长度为2的不均匀细棒，其线密度的大小恰好为该点到较近的一个端点的距离的2倍.求该细棒的总质量.二、定积分的几何应用（一）平面图形的面积1.曲线、直线、、轴围成的曲边梯形的面积：.2.曲线（有正有负），直线、、轴围成的图形面积：.3.曲线、，直线、，围成的图形面积：.4.若曲线方程由参数方程给出，其实公式也一样，只是最终要把关于的积分转化成关于的积分而已.比如对于第1种情况种的，在参数方程下的公式就只需要把代入，并且注意“换元必换限”即可，故.5.若曲线由极坐标给出，比如：曲线与射线、（）所围成的曲边扇形.则面积公式为.考研竞赛凯哥-25届高数上册核心（快速串讲）3为中华之崛起而读书（二）旋转体的体积1.绕x轴假设有一个旋转体是由曲线，直线、，以及轴围成的平面图形绕着轴旋转一周而成，求该旋转体的体积.（自己在下面画图）由微元法，只要足够小，那么夹在中的部分就可以近似为一个薄薄的圆柱体，故...
