08.12.4笔记小结【公众号：小盆学长】免费分享.pdfVIP免费

无穷级数函数展开为幂级数主讲武忠祥教授函数的幂级数展开)(xf),(00RxRx0xx,)()(00nnnxxaxf定理1如果函数在区间上能展开为的幂级数nnnxxnxf)(!)(000)()(xf0xx在处的泰勒级数.该式称为)(xf0xx定理2设在的某邻域内任意阶可导,则)(xf.0)(limxRnn10)1()()!1()()(nnnxxnfxR)(xf0x)()(!)()(000)(xRxxkxfxfnknkk其中为在处的泰勒公式在该邻域内能展开为泰勒级数的中的余项.nnnxxnxfxf)(!)()(000)(f0x在处的泰勒展开式nnnxnfxf0)(!)0()(f的麦克劳林展开式)(xf0xx函数展开为的幂级数的步骤nnnxxnxfxf)(!)(~)(000)(第二步考查0)()!1()(lim)(lim10)1(nnnnnxxnfxR是否成立.第一步常用初等函数的麦克劳林展开式!!212nxxxenx),(x1．)!12()1(!3sin123nxxxxnn),(x2.!2)1(!21cos22nxxxnn),(x3.nxxxxnn12)1(2)1ln()1,1(x4.2!2)1(1)1(xxxnxnn!)1()1()1,1(x5.2)(2xxxxfx例1将展开为的幂级数。xxfsin)(4x例2将函数在处展开为幂级数.)]4(4sin[)(xxf)]4cos()4[sin(22xx22])!2()4()1()!12()4()1([02012nnnnnnnxnx),(x【解】)2ln()(2xxxf1x例3将在展开为幂级数。xxfarctan)(x例4将展开为的幂级数。内容小结1.函数展开为幂级数的两种方法1）直接展开法nnnxxnxfxf)(!)(~)(000)(第二步考查0)()!1()(lim)(lim10)1(nnnnnxxnfxR是否成立.第一步2）间接展开法根据函数展开为幂级数的唯一性，从某些已知函数的展开式出发，利用幂级数的性质（四则运算，逐项求导，逐项积分）及变量代换等方法，求得所给函数的展开式.2.几个常用的展开式;111)1(2nxxxx)11(x!!21)2(2nxxxenx)!12()1(!3sin)3(123nxxxxnn)!2()1(!21cos)4(212nxxxnnnxxxxnn12)1(2)1ln()5(nxnnxxx!)1()1(!2)1(1)1()6(2)(x)(x)(x)11(x)11(x作业P2892(2),(3),(5),(6);3(2);4;6