第一章——极限的计算5（笔记）主讲教师：考研数学李振授课时间：2023.10.17粉笔考研·官方微信1第一章——极限的计算5（笔记）【注意】以上公式都要牢记住。2【注意】1.运用泰勒公式计算极限的基本步骤：展开、合并、替换（当多个无穷小量相加时，抓住其中起主导作用的那一项）。2.使用泰勒公式的关键在于确定展开的阶数，原则有两点：第一，上下同阶，即若分子、分母中的任何一个的阶数已知，则另一个直接展开到对应的阶数；第二，只余一项，即若分子、分母阶数均未知，则先按照常用公式展开，看合并之后是否恰好只剩下一项，若剩余不是一项，则再利用多退少补方法使得合并之后恰好只剩一项。3.常用麦克劳林公式见上图PPT。3【解析】例28.（1）0/0型未定式，如果用洛必达法则，洛四次是可以出来的，但是没有必要。阶数比较高，建议用泰勒公式。分母的阶数为4次方，按照已知阶数展开，使得上下同解，涉及泰勒广义化，需要用泰勒广义化求解。（2）0/0型未定式，先化简，化简后分母第一个tanx展开一阶，后面的tanx展开到三阶，确定分母后进行约分，再进行展开，此时要注意加减不能等替，最终利用泰勒公式求解。也可以用等价无穷小替换公式快速计算。（3）0/0型未定式，先化简，分子是个三次项，利用泰勒公式展为三阶，但是没必要，分子部分是一个公式，x→0，x-sinx∽（1/6）x3，□→0，□-sin□∽（1/6）□3。4【注意】1.上述的8个公式都可以广义化，今后背公式，直接背广义化公式即可。2.一些常见的等价无穷小替换公式：当x→0时，公式见PPT。这些等价无穷小替换公式均可广义化。【注意】前面很多题目用泰勒公式都可以做。以书本15页例20的第2题为5例。∞-∞型未定式，之前是做代换，进行通分，但是现在完全没有必要，因为t-ln（1+t）等价于（1/2）t2。如果对泰勒和公式理解深刻，可以提取x2，□-ln（1+□）正好趋向于0。【解析】例29.方法一：利用洛必达法则，0/0型未定式，洛必达后，把x=0代入，分子为1-a，分母为0，需要讨论。若a≠1，分母的极限为0，分子的极限为无穷，最终的极限为无穷。根据洛必达法则，洛完之后极限等于A或无穷，可以推出原极限为A或无穷，但是原先为2，矛盾，故a=1，排除B、C项。当a=1时，利用洛必达法则，极限要想等于2，分子的极限需要为4。方法二：分母是平方项，按照已知阶数展开，ln（1+x）展开到二阶即可。分母是个平方，如果极限想要存在，分子的1-a=0，二次项系数相除为2，即61/2+b=-2，只有这样子，两个二次项系...
