考研竞赛凯哥-25届-高数上册核心（快速串讲）1为中华之崛起而读书定积分（理论）一、定积分的几何意义若在可积，且，则的几何意义是“由一条曲线和三条直线所围成的曲边梯形的面积”.二、定积分的定义设在有界（这是讨论可积前提，不可少！）.(1)取一列的点，将区间进行分割，并记(2)任取，求出；(3)记，若存在，则称在可积，并将该极限值称为在的定积分，记为.注1：如何判断一个函数是否可积，属于一元函数积分学的概念题，我在2022年3月31日发布了一个全网最全面的“一元积分概念题结论汇总”的视频，名为“变限积分是否可导？”，大家一定要看！注2：规定，；注3：时，一定有；但不一定会导致；但当区间被均匀分割（等分）时，和就是一回事儿了.比如，将等分成份，则每一份长度为，故当时，必有；同理，若，则必有.注4：若在可积，则积分值的大小注5：当在上已经确定可积时，那么的值，就与区间的分割方式与的位置选取无关，此时总是一个定值.所以，当确定可积时，为了便于计算，我们通常就将区间进行等分，并且就取每一个小区间的右端点.以上的积分为例，若将其等分成份，则每一份小区间的长度为，第个小区间为，则.比如，取时，则有.考研竞赛凯哥-25届-高数上册核心（快速串讲）2为中华之崛起而读书当然，如果取小区间的左端点，则有；如果取小区间的中点，则有如果区间是等分，则每份小区间长度为，第个小区间为，其中.若取小区间的左端点，则.当然，不论是如何分割、如何取点，只要可积，那么上述极限都相等，都等于.当然，我们在实际操作中，计算时，肯定不是转化成极限来算的.相反的，我们如果遇到一个极限是，我们会立刻反应出它是定积分定义，所以将其写成.所以，我们学习定积分定义的价值，在于将极限转化为定积分去计算，而不是将定积分用定义转化为计算极限.比如，；再比如，；现在的问题就是，定积分到底应该怎么计算？三、伟大的牛顿莱布尼兹公式定积分的原始定义是一个非常抽象的、几乎无法计算的极限.由于区间的分割方式和的位置可以自己任选，所以一定程度上简化了计算，但仍然不太方便.直到….直到，牛顿莱布尼兹公式出现了.牛顿莱布尼兹公式：设在连续，是的原函数，则.该公式几乎彻底颠覆了定积分的计算方式，并且成为了一种“通杀方法”.在该公式出现之前，人们为了计算定积分的值，必须计算各种复杂的极限.比如，古人为了计算圆的面积、弓形的面积、圆锥的体积，用的都是“穷竭法”，计算量非常大.比如我国古代刘徽的“割...
