第四章——定积分的计算3（讲义+笔记）主讲教师：考研数学李振授课时间：2023.12.13粉笔考研·官方微信1第四章——定积分的计算3（笔记）【注意】（二）变限积分求导：考试对于变限积分最主要的要求就是算导数。公式中，被积函数中只有t，一旦被积函数中有x，就需要处理掉。变限积分求导的核心就是处理掉积分中的x。2【解析】例14.利用定积分的性质，拆分，前半部分还是有x，提到积分符号外面，再求导，具体步骤见上图。【解析】例15.积分号里面有x，还是复合在sin中，可以做变量代换，令x-t=u，换元要换限，换限要保持对应关系，转化为-∫𝑠𝑖𝑛𝑢²𝑑𝑢0𝑥=∫𝑠𝑖𝑛𝑢²𝑑𝑢𝑥0，再3求导，具体步骤见上图。【解析】例16.x复合在里面，换元，令x²-t²=u，此时t有根号，所以可以先凑微分，再变量代换，最后再求导，具体步骤见上图。4【解析】例17.变限积分就是求导，如果做题没有思路，就先求导，x复合在里面，换元，令x-t=u，转化为∫（𝑥−𝑢）𝑓（𝑢）𝑑𝑢𝑥0，还是有x，可以拆分，然后将x提到积分符号外面，原式转化为x∫𝑓（𝑢）𝑑𝑢𝑥0-∫𝑢𝑓（𝑢）𝑑𝑢𝑥0=1-cosx，等式两边可以同时对x求导，具体步骤见上图。【注意】举例，极限中含有变限积分，是00型，先化简，然后分子用洛必达法则，具体步骤见上图。5【解析】例18.极限中含有变限积分，是00型，不能直接求导，积分号中有x，换元，令x-t=u，化简，转化为∫√𝑢𝑒𝑥−𝑢𝑑𝑢𝑥0，此时被积函数中依然有x，将x提到积分符号外面，得到ex*∫√𝑢𝑒−𝑢𝑑𝑢𝑥0，此时原式=ex∗∫√𝑢𝑒−𝑢𝑑𝑢𝑥0𝑥32，是00型，先化简，非零因子代入，然后用洛必达法则，具体步骤见上图。【解析】补充题目：2014年-123-10分，分母可以等替，原式是∞∞型，直接用洛必达，得到∞-∞型，代换，具体步骤见上图。【注意】（三）分段函数的定积分：利用区间的可加性。6【解析】例19.x所属范围是下限到上限，积分变量的范围：积分上下限。利用区间的可加性写成两个部分，分别用牛顿莱布尼兹公式计算即可，具体步骤见上图。【注意】改题：可以计算出f（x-1），再利用可加性；还可以做代换，令x-1=t，具体步骤见上图。7【解析】例20.分段函数积分，当0≤x≤1时，F（x）=∫𝑡²𝑑𝑡𝑥0=1/3x³，利用牛顿莱布尼兹公式，当1＜x≤2时，利用积分区间可加性，最后将F（x）写成分段的形式，具体步骤见上图。【注意】1.还有一些是隐藏的分段函数，举例，如图所示。2.这个方法先不讲，后面学习到的时候再讲解。8【注意】（四）...
