高数第五章定积分44-58节课讲义-赵老师【公众号：小盆学长】免费分享.pdfVIP免费

赵军高等数学零基础课程一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)(()(xfxfy，轴及x以及两直线bxax,所围成,求其面积A.?A)(xfy矩形面积ahhaahb梯形面积)(2bahyOxab1xix1ixxabyO解决步骤:1)大化小.在区间[a,b]中任意插入n–1个分点bxxxxxann1210],[1iiixx用直线ixx将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)常代变.在第i个窄曲边梯形上任取作以],[1iixx为底,)(if为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),,2,1,nii3)近似和.niiAA1niiixf1)(4)取极限.令,}{max1inix则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(lim1xix1ixxabyOiOabx二、定积分定义,],[)(上定义在设函数baxf的若对],[ba任一种分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取,],[1iiixxi时只要0}{max1inixiniixf1)(总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数)(xf在区间],[ba上的定积分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称f(x)在[a,b]上可积.记作baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间],[ba定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即baxxfd)(battfd)(bauufd)(定积分的几何意义:Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和AO可积的充分条件:定理1.上连续在函数],[)(baxf.],[)(可积在baxfO1xyninix1,nii取),,2,1(ni例1.利用定义计算定积分.d102xx解:将[0,1]n等分,分点为niix),,1,0(ni2xyiiiixxf2)(则32niiinixf)(1niin1231)12)(1(6113nnnn)12)(11(61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11(61nnO1xyni2xy121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例2.用定积分表示下列极限:ninnin111lim)1(121lim)2(ppppnnn解:ninnin111lim)1(nninin11lim1iixxxd110Ox1ni1ni三、定积分的性质(设所列定积分都存在)abbaxxfxxfd)(d)(.10d)(aaxxf...