2025多元函数微分学第十章多元函数的极值与最值第三节第二部分、题型解析题型一：求多元函数的无条件极值(★★★)1.(无条件)极值的定义如果对于该邻域内任何异于00(,)xy的点(,)xy都有00(,)(,)fxyfxy(或00(,)(,)fxyfxy)则称函数在点00(,)xy有极大值(或极小值).2.求(,)zfxy=的(无条件)极值的方法第一步：求出(,),(,)xyfxyfxy，并解方程组(,)0,(,)0xyfxyfxy==求出所有驻点(,)iixy.第二步：每个驻点(,)iixy求出3个二阶偏导数(,),(,),xxiixyiiAfxyBfxy==(,)yyiiCfxy=.第三步：用求出的,,ABC来判断每个驻点(,)iixy是否为极值点：情形1：若20ACB−则(,)iifxy为极值，且当0A时是极大值当0A时是极小值情形2：若20ACB−，则(,)iifxy不是极值情形3：若20ACB−=时(,)iifxy可能是极值也可能不是，改用极值定义判断解题思路1——(,)fxy为具体函数且二阶可偏导时，用偏导数求极值解题思路2——上述方法判断不了时，尤其是(,)fxy为抽象函数时，可用定义判断.【例10.3.1】已知函数(,)fxy在点(0,0)的某个邻域内连续，且2220,0(,)lim1()xyfxyxyxy→→−=+，则().(A)点(0,0)不是(,)fxy的极值点(B)点(0,0)是(,)fxy的极大值点(C)点(0,0)是(,)fxy的极小值点(D)根据条件无法判断(0,0)是否为(,)fxy的极值点【例10.3.2】求函数44222zxyxxyy=+−−−的极值.【例10.3.3】求由方程222224100xyzxyz++−+−−=确定的函数(,)zfxy=的极值.题型二：条件极值与最值的问题(★★★★)1.条件极值函数(,)zfxy=在条件(,)0xy=下的极值，称为条件极值，其中(,)fxy称为目标函数，(,)xy称为条件函数.2.条件最值函数(,)zfxy=在条件(,)0xy=下的最大、最小值，称为条件最值.3.条件极值的求法法一、条件代入法：如果(,)0xy=可解出()yyx=或()xxy=或化成参数方程()()xxtyyt==，则可将其代入到(,)zfxy=变成一元函数，然后利用一元函数求极值的方法求解.法二、拉格朗日乘数法：构造辅助函数(,,)(,)(,),Fxyfxyxy=+其中为某一常数然后解方程组(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0(,)0xxxyyyFxyfxyxyFxyfxyxyxy=+==+==，解出驻点000(,,)xy则其中00(,)xy就是所要求的极值点条件极值问题的难点往往在于求解方程组。解题思路：条件极值的求法思路1——条件代入法思路2——拉格朗日乘数法【例10.3.4】求函数mnpuxyz=在条件xyza++=(0,0,0,mnp0,0,0xyz)下的极大值.【例10.3.5】已知曲线22220:35x...
