基础知识扫盲讲义【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

考研数学考研数学 基础基础知识知识扫盲扫盲 主讲：主讲：Sora 老师老师启航教育 B站：奔跑的 sora老师 1 第一节第一节 初高中初高中基础基础知识知识总结总结 一、三角函数一、三角函数与反三角函数公式与反三角函数公式 1三角函数基本关系三角函数基本关系（1）对角线上乘积为 1：1csc,sinxx=1sec,cosxx=1cottanxx=；（2）顶点等于相邻两个顶点乘积：sintan,cosxxx=coscotsinxxx=；（3）阴影三角形上两顶点的平方和等于下顶点的平方：22sincos1,xx+=221 tansec,xx+=221 cotcscxx+=2诱导诱导公式公式 对于2kx（kZ）的三角函数值（1）符号看象限：把x看成锐角，看2kx对应三角函数值的符号；（一正二正弦，三切四余弦）（2）奇变偶不变：当k是偶数时，函数名不改变；当k是奇数时，函数名改变成相应的余函数值，即sincos,cossin,tancot,cottan【例【例 1】写出下列三角函数的值 sin2x=cos2x=sin2x+=cos2x+=()sin x=()cos x=()sin x+=()cos x+=启航教育 B站：奔跑的 sora老师 2 3二倍角公式二倍角公式 sin22sin cos,xxx=2222cos2cossin2cos1 1 2sin,xxxxx=22tantan2,1 tanxxx=2cot1cot22cotxxx=4半角公式（降幂公式）半角公式（降幂公式）()21sin1 cos2,2xx=()21cos1 cos22xx=+5和差公式和差公式()sinsin coscos sin,xyxyxy=()coscos cossin sin,xyxyxy=22sincossinarctanbaxbxabxa+=+（辅助角公式），()tantantan,1tantanxyxyxy=()cot cot1cotcotcotxyxyyx=6积化积化和差公式和差公式()()1sin cossinsin,2xyxyxy=+()()1cos sinsinsin,2xyxyxy=+()()1cos coscoscos,2xyxyxy=+()()1sin sincoscos2xyxyxy=+7和差化积和差化积公式公式 sinsin2sincos,22xyxyxy+=sinsin2sincos,22xyxyxy+=coscos2coscos,22xyxyxy+=coscos2sinsin22xyxyxy+=8万能公式万能公式 若tan2xt=（x），则22sin,1txt=+221cos1txt=+9反三角函数基本关系反三角函数基本关系 arcsinarccos2xx+=（11x），arctanarccot2xx+=（x+）启航教育 B站：奔跑的 sora老师 3 【例【例 2】用万能公式tan2xt=化简csc1csccot1xxx+【例【例 3】设tan,xt=其中0,2t将()2sin tanln seccosttttt+化为x的函数 二、二、代数与方程代数与方程 1指数对数运算法则指数对数运算法则,mnm na aa+=(),nmmnaa=(),mmmaba b=11,aa=1,nnaa=01,a=2,aa=()lnlnln,abab+=lnlnln,aabb=lnln,nana=lneaa=【例【例 4】化简32 32411113342a baba ba b 启航教育 B站：奔跑的 sora老师 4 【例【例 5】对1111xxaxa做对数恒等变形 2常用数列常用数列（1）等差数列：首项为1,a公差为d（0d）通项：()11naand=+；前n项和：()12nnnSaa=+（2）等比数列：首项为1,a公比为q（0q）通项：11nnaa q=；前n项和：()11,1,1,1.1nnnaqSaqqq=3阶乘与双阶乘阶乘与双阶乘!1 2 3,nn=规定0!1,=(2)!2 4(2)2!,nnnn=(21)!1 3(21)nn+=+4因式分解公式因式分解公式 222()2,abaabb+=+222()2,abaabb=+33223()33,abaa babb+=+33223()33,abaa babb=+00()CC,nnnkn kkkkn knnkkababa b=+=其中!C,()!nknnk k=启航教育 B站：奔跑的 sora老师 5 22()(),abab ab=+3322()(),abab aabb=+3322()(),abab aabb+=+1221()()nnnnnnabab aababb=+（n是正整数）【例【例 6】对下列各式作因式分解（1）()333xyxy+；（2）421 2xxx+5整式的除法整式的除法 设n为一个非负整数，01,na aa为实数，则对于一个变量的多项式()01,nnf xaa xa x=+如果0,na 称其为n次多项式 零次多项式就是只有常数项的单项式，若01,na aa全为零，则称其为零多项式 对任意两个实系数的多项式()f x和()g x（()g x不是零多项式），一定存在实系数的多项式()Q x和(),R x使得()()()(),f xQ x g xR x=+其中()R x的次数小于()g x的次数，或()R x为零多项式，当()f x与()g x固定的时候，这样得到的()Q x与()R x是唯一的，此时()Q x称为商式，()R x称为余式当()0R x=时，称()g x整除()f x【例【例 7】求()323456f xxxx=+除以()231g xxx=+的商式()Q x和余式()R x 启航教育 B站：奔跑的 sora老师 6 6一元二次方程一元二次方程：20axbxc+=（0a）（1）求根公式：24,2bbaca 其中24bac=为判别式，0,方程有两个不等实根，0,=方程有两个相等实根，0,方程无实根（有一对共轭复根）（2）根与系数关系（韦达定理）：12,bxxa+=12cx xa=三三、简易逻辑简易逻辑 1命题的标准形式命题的标准形式“若 A则 B”，其中 A 为命题条件，B 为命题结论特别地，我们把“若 A 则 B”叫做肯定命题，而相对地，把“若 A 则非 B”叫做否定命题，或者称为命题的否定 2命题的四种形式命题的四种形式 原命题：若 A 则 B；逆命题：若 B 则 A；否命题：若非 A 则非 B；逆否命题：若非 B 则非A 其中互为逆否关系的两个命题是同真同假的，互逆和互否关系的两个命题真假性没有关系 3充分条件和必要条件充分条件和必要条件 若“若 A 则 B”为真命题，则 A是 B 的充分条件（或 B 的充分条件是 A），B是 A 的必要条件（或 A 的必要条件是 B）；若“若 A 则 B”和“若 B则 A”均为真命题，则 A和 B 互为充要条件 4数学归纳法数学归纳法 数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个命题在自然数范围内成立其一般 步骤如下：第一步：验证n取第一个自然数时成立；第二步：假设nk=时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中推导处理在1nk=+时假设的原式成立 最后基于以上两步作总结表述 启航教育 B站：奔跑的 sora老师 7 【例【例 8】证明：222112(1)(21)6nn nn+=+四四、常用不等式、常用不等式 1 1,xxxx+,ababab+()ln 11xxxx+（0 x），e1,xx+sin xx（0 x），sintanxxx（02x），2221122abababab+（,0a b），2232311133abcababcabcc+（,0a b c），121212111nnnnaaana aanaaa+（0,ia 1,2,in=）五五、极坐标系和参数方程（仅数一数二）表示的函数极坐标系和参数方程（仅数一数二）表示的函数 1极坐标系表示的函数极坐标系表示的函数 在平面上取定一点 O，称为极点，从 O出发引一条射线,Ox称为极轴再取定一个长度单位，一个角度单位，规定角度取逆时针方向为正，这样就建立了一个极坐标系此时，平面上启航教育 B站：奔跑的 sora老师 8 任一点P的位置就可以用线段OP的长度r以及从Ox到OP的角度来确定，有序数对(),r就称为P点的极坐标，记为(),P r；r称为P点的极径，称为P点的极角()rr=为极坐标系表示的函数 2直角坐标和极坐标之间的互换直角坐标和极坐标之间的互换（1）互换条件：极点与原点重合，极轴做x轴正向，两种坐标系的长度单位一致（2）互换公式：222cossinxryrrxy=+【例【例 9】写出下列函数对应的直角坐标方程（1）1r=；（2）2cosr=；（3）2cos2r=【例【例 10】写出下列函数对应的极坐标方程（1）1x=；（2）21xy=（0,x 0y）；（3）()3224xyy+=启航教育 B站：奔跑的 sora老师 9 3参数方程表示的函数参数方程表示的函数（仅数一数二）（仅数一数二）在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(),x y都是某个变量t的函数(),(),xf tyg t=并且对于t的每一个值，由方程组所确定的点(),M x y都在这条曲线上，那么该方程组就叫做这条曲线的参数方程，t叫做参数 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 在同一个直角坐标系下，参数方程和普通方程可以互化【例【例 11】（1）写出曲线22149xy+=的参数方程；（2）写出直线2,22xtyt=+=的普通方程；（3）写出曲线2r=的参数方程 启航教育 B站：奔跑的 sora老师 10 第第二二节节 函数函数基础基础知识知识总结总结 一、函数的概念一、函数的概念 1定义定义 设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于D中的每一个,x变量y按照一定的法则总有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数，记为()yf x=数集D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量，f称为对应法则，y取值的全体所构成的集合称为函数的值域，记作fR 2函数的表示法函数的表示法 表格法、图形法、解析法（公式法）【注注】（1）对应法则f是给定x求y值的方法，这里的“x”可以广义化（2）函数只与对应法则及定义域有关，而与变量及对应法则选取的字母无关（3）两个函数相同定义域相同且对应法则相同【例【例 1】求下列函数的定义域：（1）()2ln1()1xf xx=；（2）211()arcsin323xf xxx=+【例【例 2】判断下列函数是否相同？（1）3433(),()1f xxxg xx x=；（2）2()lg,()2lgf xxg xx=启航教育 B站：奔跑的 sora老师 11 二、函数的四种特性二、函数的四种特性 1有界性有界性 设函数()f x在区间I上有定义，如果0,M使对xI 都有(),f xM则称()f x在区间I上有界；若不存在这样的,M即0,M总0,xI使得0(),f xM则称()f x在区间I上无界 有上界：1,K使对xI 都有1()f xK 有下界：2,K使对xI 都有2()f xK【注注】（1）函数有界的充要条件是函数既有上界又有下界（2）常见的有界函数：sin1,x cos1,x(,)x +；arcsin,2x 1,1x；0arccos,x 1,1x；arctan,2x(,)x +；0arccot,x(,)x +2单调性单调性 设函数()f x在区间I上有定义，如果对于12,x x且12xx时，恒有 12()f xf x（12()f xf x），则称函数()f x在区间I上是单调增加（减少）的【注注】若对于12,x x且12xx时，恒有12()f xf x（12()f xf x），则称函数()f x在区间I上是单调不减（不增）的 3奇偶性奇偶性 设函数()f x的定义域D关于原点对称，若,xD 有()()fxf x=（()()fxf x=），则称()f x为偶（奇）函数偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点对称，若在0 x=处有定义，则(0)0f=启航教育 B站：奔跑的 sora老师 12 【注注】（1）奇偶函数的运算性质：奇函数的代数和仍为奇函数；偶函数的代数和仍为偶函数 偶数个奇（或偶）函数乘积为偶函数；奇数个奇函数乘积为奇函数 一奇一偶乘积为奇函数（2）常见的奇函数：21,nx+sin,xtan,xarcsin,xarctan,x1ln,1xx+()2ln1xx+；常见的偶函数：2,nx,xcosx（3）任何一个定义域关于原点对称的函数都可以看成奇函数和偶函数之和 设()yf x=的定义域关于原点对称，则()()()2f xfxF x+=为偶函数，()()()2f xfxG x=为奇函数，且()()()f xF xG x=+（4）()f x关于xa=对称()()f axf ax=+【例【例 3】设()f x为定义在(,)+上的偶函数，且0 x 时，32()2sine,xf xxxx=+求()f x的表达式 4周期性周期性 设函数()f x的定义域为,D如果存在一个正数,T使得,xD(),xTD都有()(),f xTf x+=则称()f x是以T为周期的周期函数【注】【注】（1）通常我们说的周期函数的周期是指最小正周期（2）并非每个周期函数都有最小正周期 启航教育 B站：奔跑的 sora老师 13 （3）常见的周期函数：sin,xcosx以2为周期；sin,xcosx以为周期；tan,xcot x以为周期；tan,xcot x以为周期；三、反函数与复合函数三、反函数与复合函数 1反函数反函数 设函数()yf x=的定义域为,D值域为,fR若对于每一个,fyR从关系式()yf x=中可以确定唯一的一个x值，则称变量x为变量y的函数，记为1(),xfy=此时1()xfy=称为函数()yf x=的反函数，习惯上也可把()yf x=的反函数记为1()yfx=相对于反函数来说，原来的函数()yf x=称为直接函数【注】【注】（1）()yf x=的图像与其反函数1()xfy=的图像重合；()yf x=的图像与其反函数1()yfx=的图像关于直线yx=对称（2）只有一一对应的函数才有反函数，特别地，单调函数存在反函数，且反函数也是单调函数（3）1(,)ffyy=1()ff xx=（4）常见的反函数：,xya=（0,a 1a），(,)x +的反函数为log,ayx=(0,)x+sin,yx=,2 2x 的反函数为arcsin,yx=1,1x cos,yx=0,x的反函数为arccos,yx=1,1x tan,yx=,2 2x 的反函数为arctan,yx=(,)x +cot,yx=(0,)x的反函数为arccot,yx=(,)x +启航教育 B站：奔跑的 sora老师 14 【例【例 4】求函数sin,yx=,2x的反函数 2复合函数复合函数 设函数()yf u=的定义域为,fD函数()ug x=的定义域为,gD且其值域为,gR若,gfRD 则函数()yf g x=称为由函数()ug x=与函数()yf u=构成的复合函数，变量u称为中间变量【例【例 5】设e,1,(),1,xxf xxx=22,0,()1,0,xxg xxx+=求()f g x 【例【例 6】已知()2eee,xxxfx=+求()f x 启航教育 B站：奔跑的 sora老师 15 四、初等函数四、初等函数 1基本初等函数基本初等函数（1）幂函数）幂函数 yx=（是常数，R）其定义域随不同而不同：值 函数 定义域 值域 1 yx=(,)+(,)+2 2yx=(,)+0,)+3 3yx=(,)+(,)+12 yx=0,)+0,)+1 1yx=(,0)(0,)+(,0)(0,)+（2）指数函数）指数函数,xya=（0,a 1a），定义域(,)D=+因,x R总有0,xa 因此值域(0,)fR=+又01,a=故指数函数的图形总在x轴的上方，且过(0,1)点 当1a 时，xya=单 调 增 加，当01a时，xya=单 调 减 少 exy=是 常 用 的 指 数 函 数，其 中e2.718281828=（3）对数函数）对数函数 log,ayx=（0,a 1a），定义域(0,),D=+值域(,)fR=+它和指数函数 xya=互为反函数logayx=的图形总是在y轴的右方，且通过点(1,0)当1a 时，函数单调增加，当01a时，函数单调减少以e为底数的对数函数记作lnyx=（4）三角函数三角函数 启航教育 B站：奔跑的 sora老师 16 名称 表示 定义域 值域 奇偶性 正弦函数 sinyx=(,)+1,1 奇 余弦函数 cosyx=(,)+1,1 偶 正切函数 tanyx=|2x xk+(,)+奇 余切函数 cotyx=|x xk(,)+奇 正割函数 1seccosyxx=|2x xk+(,11,)+偶 余割函数 1cscsinyxx=|x xk(,11,)+奇（5）反）反三角函数三角函数 名称 表示 定义域 值域 单调性 奇偶性 反正弦函数 arcsinyx=1,1 ,2 2 增 奇 反余弦函数 arccosyx=1,1 0,减 非奇非偶 反正切函数 arctanyx=(,)+,2 2 增 奇 反余切函数 arccotyx=(,)+(0,)减 非奇非偶 2初等函数初等函数 启航教育 B站：奔跑的 sora老师 17 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数例如21,yx=+sinexy=都是初等函数 五、分段函数和隐函数五、分段函数和隐函数 1常见的分段函数常见的分段函数 在自变量的不同范围中，对应法则用不同式子表示的函数称为分段函数 例如：函数21,1,()75,1xxf xxx+=就是分段函数【注注】分段函数有可能是初等函数（1）绝对值函数）绝对值函数,0,(),0.xxf xxxx=（2）符号函数）符号函数 1,0,()sgn0,0,1,0.xf xxxx=（3）取整函数）取整函数 ()f xx=表示不大于x的最大整数，对于取整函数，有 11xxxx+成立（4）最大（小）值函数）最大（小）值函数 max(),(),yf x g x=min(),()yf x g x=()()()()max(),()2f xg xf xg xf x g x+=()()()()min(),()2f xg xf xg xf x g x+=2隐函数隐函数 启航教育 B站：奔跑的 sora老师 18 设有关系式(,)0,F x y=若对,xD 存在唯一确定的y满足(,)0F x y=与x相对应，由此确定的y与x的函数关系()yy x=称为由方程(,)0F x y=确定的隐函数 相对于隐函数而言，()yf x=称为显函数，把一个隐函数化成显函数的过程，叫做隐函数的显化 启航教育