高数考点精讲配套习题答案【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

第一章第一章 极限极限 连续连续 1.1【答案答案】D【解析解析】假设（存在），则（存在），这与矛盾，故不存在.1.2【答案】B 1.3【答案】【答案】D【解析】【解析】设，当时为无界变量，不是无穷大.令，当时为无穷大，可排除 A.当时，令，可排除B，C.对于 D，由于当，不是无穷大，故必存在以为极限的数列使得为有界量，又有在的某邻域内有界，设该邻域为，,故同样以为极限，此时为有界量.故当时，必不是无穷大.故选 D.1.4【答案】C limnnnb cA=limlimlimlimnnnnnnnnnnnb cb ccAbb=limnnc=limnnnb c()11sinf xxx=0 x()g xx=0 x 0 x()2f xx=()1g xx=0 xx()f x0 x nx()nf x()g x0 xx=U iknxxU=ikx0 x()()iikkf xg x0 xx()()f x g x1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30 1.31 1.32 第第二二章章 一元函数微分学一元函数微分学 2.1【答案】【答案】D【解析】【解析】由于时，则存在只能得出 在点的右导数存在，不能得出点导数存在，B，C 明显不对，这两个选项中的极限存在不能推导出存在，故不能作为在点可导的充分条件.又，故选 D.对 B 选项切勿这样处理：.因为这里不符合极限四则运算法则，和都未必存在，对 C 选项同理.2.2【答案】【答案】B【解析解析】注意到，且.则 .所以选项 A 成立只保证，而不是存在的充分条件.由于与符号相反，所以若左边存在则右边存在，右边存在可推出左边存在，故选项 B 是存在h+10h+1lim()hh faf ah+()f xaa0()()limhf ahf ah+()f x=xa00()()()()limlim()hhf af ahf ahf afahh=00(2)()(2)()()()limlimhhf ahf ahf ahf af ahf ahh+=00(2)()()()2limlim2()()()2hhf ahf af ahf afafafahh+=0(2)()lim2hf ahf ah+0()()limhf ahf ah+1 cos0h0lim(1 cos)0hh=22001(1 cos)(0)1 coslim(1 cos)lim1 cos0hhfhfhfhhhh=01(1 cos)(0)lim21 cos0hfhfh=+01()(0)11 coslim(0)202uf ufuhfu+=(0)f+(0)f 1 ehh()()0001 e(0)11 e()(0)lim1 elim(1)lim(0)1 e00hhhhhhhfffhfffhhh，=(0)f 的充要条件.对于 C，注意到，所以若存在，则由右边推知左边极限存在且为零.若左边极限存在，则由知，上式左边极限可能不存在，从而可能不存在.至于选项 D，取存在，但在点处不连续，故不可导.2.3【答案答案】D【解析解析】由在处连续，要讨论的值，自然想到利用.对于选项 A，由于存在，于是，所以命题 A 正确.对于选项 B，将看成选项 A 中的，于是，即有，故，命题 B 正确.对于选项 C，由选项 A 已知，按导数定义，由选项 C 之条件知，故命题 C 亦正确.于是余下只有选项 D 不正确，选 D.可以举例说明选项 D 不正确，例如设，满足条件（存在），但不存在.2.4【答案】【答案】A【解析】【解析】221(sin)(0)sin(sin)sin0f hhfhhf hhhhhh=20sinlim0hhhh=(0)f 221(sin)(sin)(0)sinsinf hhf hhfhhhhhh=(0)f 1,0,()0,0,xf xx=0011 1lim(2)()lim0hhfhf hhh=()f x0 x=()f x0 x=(0)f0(0)lim()xff x=0()limxf xx00()(0)lim()lim0 xxf xff xxx=()()f xfx+()f x0lim()()0 xf xfx+=(0)(0)0ff+=(0)0f=(0)0f=00()(0)()(0)limlim0 xxf xff xfxx=(0)f()|f xx=0()()lim0 xf xfxx=(0)f 法一：由于，而可导，则在可导等价于在处可导，令，则.则要使在处可导，当且仅当，即.法二：本题是在考查“可导函数与连续但不可导函数的乘积的可导性问题”，实际上有如下的结论：设在处可导，在处连续但不可导，则在处可导当且仅当.于是本题直接选 A.2.5【答案】【答案】A【解析】【解析】由于为内的奇函数，则.于是，而令时，即，则，故选 A.2.6【答案】【答案】B 2.7【答案答案】-1.【解析解析】原式01(3)(3)1lim(3)122hfhffh=.2.8【答案】【答案】B【解析】【解析】函数在处可导，但在处不可导，排除A，函数在处可导，在处也可导，排除 C,D.关 于 选 项 B，因 为在点 可 导，故 在点 连 续.当时，故也在处连续.故选 B.()()()|sin|F xf xf xx=+()f x()F x=0 x()|sin|f xx=0 x()()|sin|xf xx=00()|sin|()sin(0)limlim(0)xxf xxf xxfxx+=00()|sin|()sin(0)limlim(0)xxf xxf xxfxx=()F x=0 x(0)(0)ff=(0)0f=()f x0 x=x()g x0 x=x()()()F xf xg x=0 x=x0()0f x=()f x()1,1()00f=()()()()+000limlim0 xxf xf xfafxx+=xt=()()00limlimxtf xftaxt+=()()()()000limlim00ttf tf tfftt=()()00ffa+=()0fa=()f xx=0 x=()f xx=0 x=()2f xx=0 x=()2f xx=0 x=()f x0 x0 x0 xx()()()()000f xf xf xf x()f x0 x 2.9【答案】【答案】D【解析】【解析】按定义考查在处的可导性，即考查是否存在.选项 D 中，不存在.因为.故不存在，因此选 D.2.10 2.11()f x0 x=0()(0)limxf xfx0001|cos|1()(0)2limlimlimxxxxxf xfxxx=01|12lim,2xxx+=01|12lim,2xxx=(0)(0)ff+(0)f 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.30 2.31 2.32 2.33 2.34 2.35 2.36 2.37 2.38 2.39 2.40 2.41 2.42 2.43 2.44 2.45 第第三三章章 一元函数积分学一元函数积分学 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 3.21 3.22 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27 3.28 3.29 3.30 第第四四章章 多元函数微分学多元函数微分学 4.1 解：解：（1）；（2）；（3）.4.2 解：解：（1）；（2）；（3）当时，故，则.4.3【答案】【答案】C【解析】【解析】当时，当时，由夹逼准则，可得极限值为 0.故选 C.4.4【答案】【答案】B【解析】【解析】当取时，与有关，故极限不存在.故选 B.4.5 证：证：选择直线作为路径计算极限.选择曲线作为路径计算极限.由于不同路径算得不同的极限值，所以原极限不存在.4.6【答案】【答案】应填()2,0,0,x y xyxy()22,0,0,1x y yxxxy+()22222,0,0 x y z xyzxy+()()()()()(),0,0,0,0limlim2e11221 e2e1xyxyxyx yx yxyxy=+=()()()()()(),2,0,2,0tantanlimlim1 22x yx yxyxyxyxy=()(),0,0 x y 220 xy+()()2222211 cos2xyxy+()()()()()()2222222222,0,0,0,01 coslimlim0e2ex yx yx yx yxyxyxy+=+0 xy 110sinsinxyxyyx+()(),0,0 x y ykx=033lim1xy kxxkxkxxkk=+kykx=22322424442000limlimlim01xxxy kxxyk xk xxyxk xk x=+2xy=2242444001limlim2yyx yxyyxyyy=+()22,1x y xy+【解析】【解析】所有多元初等函数在其有定义的区域内都是连续的.故答案为：.4.7【答案】【答案】C【解析】【解析】当时，为二元连续函数，而当时，00limarctan0 xyyyxx=.所以，为的连续点，故此函数的不连续点集为空集.故选 C.4.8 解：解：（1），.（2），.（3），.4.9 解：解：，.4.10【答案】【答案】1【解析】【解析】.故答案为：1.4.11 解：解：当时，当时，()22,1x y xy+0 x(,)f x y00,xyy()00,y(,)f x y11112ln()2ln()zyxxyxyxxy=11112ln()2ln()zxyxyxyyxy=21(1)yzyxyx=+yln(1)e(1)ln(1)1xyyzxyxyxyyyxy+=+12()1()zzuz xyxxy=+12()1()zzuz xyyxy=+2()ln()1()zzuxyxyzxy=+111(,)112xyfx yyxxyy=+(,1)1xfx=2001sin()(0,1)(0,1)(0,1)limlim1xxxxfxfxfxx +=220 xy+()()()2222322222222222(,)xxy xyx yxx yxyfx yxxyxyxy+=+()()()()22222222222222222(,)yxxyx yyxxyx yfx yyxyxyxy+=+220 xy+=00(0,0)(0,0)0(0,0)limlim0 xxxfxffxx +=同样，.4.12 解：解：，.4.13【答案答案】【解析解析】设，则，从而，故.4.14 解：解：（1）因为，所以.(0,0)0yf=()322222222,0,(,)0,0,xxyxyfx yxyxy+=+=()()2222222222,0,(,)0,0.yxxyxyfx yxyxy+=+=lnxzyyx=222lnxzyyx=1xzxyy=222(1)xzx xyy=()21ln(1ln)xxzyyyxyx yy=+d2dxy222(,)2F x y zxyzxyz=+222(,)xxF x y zyzxyz=+222(,)yyF x y zxzxyz=+222(,)zzF x y zxyxyz=+(1,0,1)(1,0,1)1xzFzxF=(1,0,1)(1,0,1)2yzFzyF=dddd2dzzzxyxyxy=+=21,yyxxzyzeexxyx=21ddde(dd)yxzzzxyy xx yxyx=+=（2）因为，所以.4.15 解：解：因为，所以.4.16【答案答案】【解析解析】对两个方程两边取微分，得 把代入上式，有消去，得.4.17 解：解：，.4.18 解：解：1yzuyzxx=lnyzuzxxy=lnyzuyxxz=1dddddln dln dyzyzyzuuuuxyzyzxxzxx yyxx zxyz=+=+2221zxxxy=+2221zyyxy=+1213xyzx=1223xyzy=1212ddd33xyzxy=+22e2d2de 1e 1xy+222e1yzuxyzxz=+=d2 d2 d2 d,dde(dd)0yzux xy yz zz xx zz yy z=+=(1,1,1)(1,1,1)2d2d2d,dde(dd)0,dxyzxzyzu=+=dz(1,1,1)22ed2d2de1e1uxy=+212 ln3zzuzvuuvxuxvxyv=+=+22223ln(32)(32)xxxyyxy y=+222 ln(2)zzuzvxuuvyuyvyyv=+=+223222ln(32)(32)xxxyyxy y=ddddddzzxzytxtyt=+2221(1)3121()1()txyxy=+.4.19 解：解：.4.20 解：解：将中间变量，依次编为 1，2 号，则，.4.21 解：解：；.由，得.4.22 解：解：，.()()2233 1 4134ttt=dddddduuuyuzxxyxzx=+222e()ecos(1)(sin)111axaxaxayzeaxxaaa=+()22esincoscossin1axaxaxaxxa=+esinaxx=22xyexy12122e2exyxyuf xfyxfyfx=+=+1221(2)e2exyxyufyfxyfxfy=+=+()()()()ufxayfxayg xayg xayx=+()()()()uafxayafxayag xayag xayy=+22()()()()ufxayfxayg xayg xayx=+222222()()()()ua fxaya fxaya g xaya g xayy=+22220uunxy=2ma n=121zffxy=+22zxfyy=21112222221zfffxyy=+2122222231zxxfffx yyyy=222222342zxxffyyy=+4.23 解：解：法一.法二由链式法则直接求导得.4.24 解：解：在中令，得，所以.4.25 解：解：，.又因为在点取到极小值，所以，从而.4.26 解：解：，确定，两边对求导，得，12122211zyyf yfgyffgxyxyx=+=+121221()xxxzxxyfxyfgyffgxyyyx=+=+()2(),tf t f t t=ut=()2,vf t t=()(,)tf u v=12dd()(,)(,)dduvtf u vf u vtt=+()()221212(,)1(,),1,2f u vf u vft tft tt=+()()()()22221212,2ft f t tft f t tft tft tt=+1212(0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)2 0ffff=+(0)(1)ab aab=+=+121(,(,)(,(,)(,)zf xy f x yfxy f x yf x yx=+211122212(,(,)(,(,)(,)(,(,)(,)zfxy f x yfxy f x yfx yfxy f x yfx yx y=+121222(,)(,(,)(,(,)(,)f x yfxy f x yfxy f x yfx y+f(1,1)(1,1)0f=12(1,1)(1,1)0ff=211122212121222(1,1)(0,0)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(1,1)(0,0)(0,0)(1,1)zfffffffffx y=+11212(0,0)(0,0)(1,1)fff=+22lnarctanyxyx+=()yy x=x2222d11d1d222d1yxyyxxyxyxxyx+=+当时，得.4.27 证明：证明：令，并记，分别为 1 号与2 号变量，则，111212xzFcczxFabab=+，故.4.28【答案答案】【解析解析】由知，由知，.由知，.故答案为：.4.29【答案答案】D【解析解析】两边对求偏导，得，解 得.由 对 称 性，所 以，从 而，选 D.4.30 解：解：（1）方程两边同时取全微分，xyddyxyxxy+=(,)(,)F x y zcxaz cybz=cxazcybz12,xyFc Fc=12()()zFab=+221212yzFcczyFabab=+1212acbzzabcxyabc+=+2(1)2xyx+222zx=2d2()zxxyx=+(1,)1xfyy=+12()yy+=+()1yy=2(1)zxyx=+()()()221d1zxyxxyxy=+=+(1,)2fyy=+21(1)()yyy+=+()2y=2(1)2zxyx=+2(1)2xyx+()2222,0F zxzy=x122220zzFzxFzxx+=112zzFx xFF=+212zzFy yFF=+1zzzzx xy y+=zzxyyxxyz+=d(2 d2 d)ddduvzfx xy yf zy xx y+=+故.（2）由于，.代入点，令，得.故.4.31 解：解：令，则 由轮换对称性，得，代入原等式，得，即 解得,由，得,即，积分得,由于，得.故.4.32【答案】【答案】A【解析】【解析】由条件知，故，.由极限与无穷小的关系可得()222(,)1f x yxyxy=+，其中00lim0 xy=.22ddd11uuvvyxfxyfzxyff+=+21uvzyxfxf+=21uvzxyfyf+=()()()221221221uuuvvuvuvvvzzx fyffyxffyfyyzx yf+=(1,1)(1,1)0zx=(1,1)0zy=120uf+=()()()()()221 11411221411uuvuvuuuvvffffzfx yff+=，22xyr+=222232(),()()uxuyxf rf rfrxrxrr=+222232()()uxyf rfryrr=+3()()rfrf rr+=3()rfrr=411()4rf rrC=+(1)1f=134C=313()44f rrr=+4213()ln164f rrrC=+(1)1f=21516C=41315()ln16416f xxx=+(,)(0,0)lim(,)0 x yf x yxy=(,)(0,0)lim(,)(0,0)0 x yf x yf=故()()222(,)1f x yxyxy=+.当时，()24(,)(0,0)140f x yfxx=+（0 x 时）；当时，()24(,)(0,0)140f x yfxx=+（0 x 时），因此，不是的极值点.应选 A.4.33【答案答案】D【解析解析】由得在处连续；由得.同理，即在处可偏导；，令，显然，根据夹逼定理得，即在点处可微，故选 D.4.34 解：解：解方程组 求得驻点.又，由判定极值的充分条件知：在点处，函数取得极大值.4.35 解：解：附加条件可表示为，代入中，问题转化为求yx=yx=(0,0)(,)f x y00lim(,)(0,0)0 xyx y=(,)x y(0,0)00(,0)(0,0)|limlim(,0)0 xxxxg xxx=(0,0)0 x=(0,0)0y=(,)x y(0,0)(,)(0,0)|(,)x yxy g x y=22xy=+22000(0,0)(0)(0,0)(0)|limlim(,)xyxpyxyxyg x yxy=+222222|0(,)|(,)|2|(,)|xyxyg x yg x yg x yxyxyxy+00lim2|(,)|0 xyg x y=2200|lim(,)0 xyxyg x yxy=+(,)x y(0,0)420,420,xyfxfy=(2,2)(2,2)20 xxAf=(2,2)0 xyBf=(2,2)2yyCf=240ACB=(2,2)(2,2)8f=1xy+=1yx=zxy=的无条件极值.因为，令，得驻点.又因为，所以为极大值点，且极大值为.故在条件下在处取得极大值.(1)zxx=d1 2dzxx=d0dzx=12x=2212d20dxzx=12x=1111224z=zxy=1xy+=1 1,2 214第第五五章章 二重积分二重积分 5.1【答案】答案】D【解析【解析】如下图所示，用曲线将区域划分为和两部分，则关于轴对称，关于轴对称，于是有 ，从而（的面积）.由于区域的面积与直线所围成矩形的面积相等，故，故应选 D.5.2【答案】答案】C【解析】【解析】在内，所以，于是.5.3【答案】答案】A【解析】【解析】积分区域由两部分组成，.将视为型区域，则 sin02yxx=D1D2D1Dx2Dy1233d d0d dDDxyx yxyx y=()31 d d1d dDDDxyx yx yS=DD0,1,2yyx=DS=D114xy+()()ln0sinxyxyxy+()()()333lnd dsind dd dDDDxyx yxyx yxyx y+()211,|0,022Dx yyxx=()22,|08,22 2Dx yyxx=12DDD=Y，从而 ，故应选 A.5.4【答案】答案】【解析】【解析】因被积函数在闭区域上是抽象函数，故无法用先求出重积分的方法求极限，因此考虑：用中值定理先去掉积分号再求极限；用二次积分化分子为积分上限函数.方法一方法一 因在上连续，由积分中值定理可知，在上至少存在一点使.因在上，所以当时，于是.方法二方法二 因，故 原式=()2,|28,02Dx yyxyy=()()22802,d dd,dyyDIf x yx yyf x yx=()0,0f(),f x yD(),f x yDD(),()()()2,d,Df x yft f =(),D0t+()(),0,0()()()()()2,0,001lim,dlim,0,0tDf x yfft +=()()200,ddcos,sindtDfx yf rrr r=02(cos,sin)dtf rrr r0,2020020002(cos,sin)dlim2(cos,sin)dlim2(cos,sin)lim2lim(cos,sin)(0,0)ttttttf rrr rtf rrr rtf ttttf ttf+=5.5【答案】答案】0【解析】【解析】若连续函数关于为奇函数，即；若关于为偶函数，即，设积分区域关于轴对称，表示的位于轴右方的部分，则有 同理当关于为奇函数或偶函数，积分区域关于轴对称时也有类似的结论.【注注】该类型中积分区域的对称性及被奇函数的奇偶性两要素缺一不可如缺少其一，结论不能成立.7.6【答案】答案】0【解析】【解析】因积分区域D关于轴对称，被积函数关于变量是奇函数，故 5.7 解：解：设，则.故.两边求二重积分，则()()211111d ddd24yDAxAyx yyxAyxA=+=+=+，从而，故(,)zf x y=x(,)(,)fx yf x y=x(,)(,)fx yf x y=Dy1DDy12(,)d d,(,)(,),(,)d d0,(,)(,).DDf x yx yfx yf x yf x yx yfx yf x y=(,)zf x y=yDxy2()xf yx2()d0.Dxf y=(,)d dDf u vuAv=(,)d dDf x yxAy=(,)(,)d dDf x yxyf u vu vxyA=+=+12A=5.8 解：解：.5.9 解：解：原积分 5.10 解：解：.5.11 解：解：（1）如下图所示，根据的形状，选用直角坐标较简单.，故.1(,).2f x yxy=+222221221111ddddyyyDyyyyxyyxxx=()222342111111539d42424yyyyy=2 222000deddedbaxab xyaaabxbIxyxy=+2 222000eddedaabbabyyxbxxyxa=+2 22 22 2111(e1)(e1)(e1).22a ba ba bababab=+=()()()21222200ln 1d dln 1d dln 1ddDDxyx yrr rrr r+=+=+()()211122222200012ln 1dln 1d21rrrrrrr=+=+()212201 1 ln2d 2ln2 11rrr+=+DD()1,|,12Dx yyxxx=2221221dddxxDxxxyyy=()2319d4xxx=+=（2）如下图所示，选用直角坐标为宜，又根据的边界曲线的情况，宜采用先对、后对积分的次序，于是.（3）本题显然适于用极坐标计算.5.12【答案】答案】A【解析】【解析】如图所示，分成四部分，由于与关于轴对称且是关于的奇函数，故 .则 .又因为与关于轴对称，关于是奇数，关于是偶函数，所以，故 .故选 A.DDxy()()32222dddayay aDxyyxyx+=+33222d3aaaaya yy=+414a=(),|,02Dab=22220dd dddbaDDxy +=()()333312233baba=DD1234,D D D D3D4Dxcos sinxyxy+y()34cos sind d0DDxyxyx y+=()()12cos sind dcos sind dDDDxyxyx yxyxyx y+=+1D2Dyxyxcos sinxyx12121d d0,cos sin d d2cos sin d dDDDDDxy x yxy x yxy x y+=()2cos sind d2cos sin d dDDxyxyx yxy x y+=5.13【答案】【答案】B【解析】方法一【解析】方法一 由于考虑，故可设，对所二重积分变换积分次序，得，于是 ，从而有 .故选 B.方法二方法二 设的一个原函数，则有 ，求导得，因此.5.14 解：解：积分域如图所示，抛物线的极坐标方程为；直线的极坐标方程为.用射线和将分成、三部分：()2F1t()()11ddtxF tf xxy=()()11dtxf xx=()()()1F ttf t=()()22Ff=()f x()G x()()()()111dddttyF tyf xxG tG yy=()()()()()111dd1dtttG tyG yytG tG yy=()()()()()()()11F tG ttf tG ttf t=+=()()22Ff=D2yx=sec tan=1y=csc=4=34=D1D2D3D：；：；：.因此.5.15 解：解：因是上的连续函数，于是二重积分存在，可设，在已知等式两边求区域上的二重积分，有.从而，即.在极坐标系，中，所以 .故 .1D0sectan,042D30csc,443D30sectan,4()()sec tan400,d ddcos,sindDf x yx yf =()()3cscsec tan430044dcos,sinddcos,sindff +(),f x yD(),d dDf u vu v()(),d d,d dDDf u vu vf x yx yA=D()228,d d1d dd dDDDAf x yx yxyx yx y=221d dDAxyx yA=2221d dDAxyx y=cosx=siny=(),|0,0sin2D=()sin232200011 22d1d1 cosd33 23A=1 26 23A=于是 .()2242,1323f x yxy=第第六六章章 常微分方程常微分方程 6.1【答案】【答案】C【解析】【解析】原方程写成，分离变量有，积分得，其中为任意常数.6.2【答案】【答案】，其中为任意常数.【解析】【解析】原方程分离变量，有，积分得，通解为或，其中为任意常数.6.3【答案】【答案】【解析】【解析】原方程化为.积分得通解，即.由初值解出得特解.故答案为：.6.4【答案】【答案】B【解析】【解析】原方程求导得，即，积分得，又，故，从而.故应选 B.6.5 解：解：曲线在点处的切线方程为，令，得到切线在轴截距为，即.此为一阶可分离变量的方程，于是，两边积分有，得到.又，故，于是曲线方程为.6.6 解：解：，得，变量分离.两边积分得.可得又，则.所以23e0+=yxyy23ed=e dyxyyx232e3e=xyCCsine=CxyCdcosdlnsin=yxxyyx1ln|ln|ln|sin|ln=+yxClnsin=yCxsine=CxyC()2112e=xyxd1d=yxxyx211ln|ln|2yC xx=122exyCx=(1)1=y12eC=()2112e=xyx()2()=fxf x()2()=fxf x2()e=xf xC(0)ln2=fln2=C2()eln2=xf x()=yf x(,)x y()=Yyy Xx0=Xy=xyyxy(1)=xyyxd11 d=yxyx1ln|ln=yC xxe=xCxy()11ey=1=Ce=xxy22dd11+yyyxxxx=+2dd1=+yyxx2d1d1=+yxyx1lnarctanyxC=+arctanexyC=()0y=C=，.6.7 解解：方 程 两 边 同 时 除 以，得.因，故，做变换，有，即.解之，得.再将代回，使得原方程的通解：，即，其中为任意正常数.6.8 解：解：令，即，则，又由题给表达式可得，即有可得，两边积分得，即.6.9 解解：原方程可化为，此一阶线性微分方程的通解为，即.由，得，故满足初始条件的特解为.6.10【答案】【答案】【解析】【解析】属于一阶非齐次线性方程，直接根据一阶非齐次线性微分方程的通解公式即可得出答案.故答案为：，其中为任意常数.6.11【答案】【答案】1【解析】【解析】arctanexy=()arctan141eey=x22d1dyyxyxxx=+0 x 2d1dyyyxxx=+yux=2d+1duu xuux=+2dd1uxxu=arcsinlnuCx=yux=arcsinlnyCxx=()sin lnyxCx=C=yux=yuxyu xu=+2yuu=u xu+2 uu=d1d22=uxxuu1ln 1ln lnuxC=+ln(1)lnln1=+=yCuxCxxyCxx22d2cos+d11yxxyxxx=2222dd112coseed1xxxxxxxyxCx=+2sin1xCyx+=()01y=1C=2sin11xyx=()cos+xCx()cos+xCxC()2d2d22e4 ede4 e dxxxxyxxCxxC=+=+.当时，则.可得，则.故答案为 1.6.12 解解：将微分方程变形为yyxdydx3=+，这是一阶线性微分方程，其通解为.将代入上式，得，于是，即.注意到，故将舍去，得.6.13 解：解：000()()limlimlim cossin()11xxxg xg xxxg xx=.6.14 解：解：，则，即.6.15 解：解：令，则，则代入到题给表达式，可得.两边求导得()2()2()2f xf xxfxx=+，则.从而.6.16 解：解：将原方程改写成，并令，则，且原方程化为.，其中，故 222e(21)e(21)exxxxCxC=+=+0=x1=y0=C21=yx()11=y()11dd221e3 ed3dyyyyCxyyCyyCyyy=+=+=+11xy=0C=2xy=yx=11xy=yx=yx=2d1d2yxxy=2d2dxxyy=2d2dxxyy=()()2d2 d222222111eedeede224yyyyyxyyCyyCyyC=+=+=+=txuutxdd=1001()d()dxf txtf uux=20()d2()xf uuxf xx=+()2()2f xxfxx+=11131dd2222222()e(1)ed33xxxxf xxCxxCxCx=+=+=211cossinyxxyy+=1zy=21zyy=sincoszzxx=dde(sincos)edxxzxxxC=+e(sincos)e dxxxxxC=+()esin e dcos e dxxxxxxxC=+()sin e dsin d esin eecos dxxxxxxxxx x=+，即为所求通解.6.17【答案】【答案】C【解析】【解析】因原方程阶数为 2，通解中应包含两个任意常数（可求出通解为）；特解中不含有任意常数（为特解）；满足原方程，为原方程的解，故选项 A，B，D 都不对，应选 C.6.18 解：解：（1）令，则，从而，则积分得，故，则两边对积分，得.（2），即，故.6.19【答案】【答案】C【解析】【解析】实际上有下述定理.设，为连续函数，考虑二阶线性非齐次方程 与对应的二阶线性齐次方程 有下述论断：（1）设,是方程（1）的 3 个解，是常数，并设，则是方程的解的充要条件是；是方程的解的充要条件是.（2）设,是方程的 3 个线性无关的解，中两个为任意常数，则是方程的通解的充分条件是；是方程的通解的充()esin eesinxxxzxCCx=+=1esinxCxy=3126+xCC x3*6=xy36+xCxyp=ddpyx=2d1dppx=+2dd1pxp=+parctan1arctan pxC=+()1dtandypxCx=+=x1dtan()dyxCx=+()1121sin()dln coscos()xCyxxCCxC+=+()10 xyxyC=1yxC=12lnyCxC=+()p x()q x()()()0f xf x()()()yp x yq x yf x+=()()0yp x yq x y+=()1yx()2yx()2yx,a b c()()()123yayxbyxcyx=+1abc+=0abc+=()1yx()2yx()2yx,a b c1abc+=要条件是.C 选项中，根据（2），故选 C.6.20 解：解：由，得，；由，得，.因.故与都是方程的解.又因不等于常数，故与线性无关.于是方程的通解为.4.21 解解：特征方程，特征根为，于方程的通解是，由于，代入方程后得，得.则22002ede1xxx+=.6.22 解解：特征方程，特征根为，于是相应的齐次方程的通解是.由于是特征方程的重根，而为一次多项式，故应设原方程的特解.将特解代入原式有，比较系数可 得.故 原 方 程 的 一 个 特 解，其 通 解 是，其中为任意常数.6.23 解解：特征方程有重根，因此，对应的齐次线性微分方程的通解为，其中为任意常数.现求非齐次线性微分方程的一个特解.因为不是特征根，我们求形如的特解，将它带入原方程并化简得到8 cos28 sin2cos2BxAxx=，比较同类项系0abc+=121211CCCC+=21exy=212 exyx=()22124exyx=+22exyx=222(12)exyx=+()22364exyxx=+()()()22222211144224e42 e42 e0 xxxyxyxyxxxx+=+=()()()()222232222244264e412e42e0 xxxyxyxyxxxxxx+=+=1y2y21yxy=1y2y()2112212exyC yC yCC x=+=+24+40rr+=122rr=()212exyCC x=+()()02,04yy=122,0CC=22exy=24+40rr=122rr=()212exyCC x=+2=()3nP xx=()*22exyxaxb=+623axbx+=1,02ab=*321e2xyx=()232121e+e2xxyCC xx=+12,C C2440+=122=()212exyCC x=+12,C C2icos2sin2yAxBx=+数得，从而，因此原方程的通解为.6.24【答案】【答案】，其 中为 任 意 常 数；.【解析】【解析】特征方程为，解得，故对应的齐次微分方程的通解，其中为任意常数.非齐次微分方程特解形式的假设，可分为两个方程进行：，式的特解形式是；式的特解形式是，则即为原方程的特解形式.6.25【答案】【答案】D【解