高数11 定积分的应用【空白版】【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

2025 定积分的应用 第八章 第二部分、题型解析 题型一：求函数的平均值()解题思路利用公式()()baf x dxf xba=计算.【例【例8.1】函数221xyx=在区间13,22上的平均值为 .题型二：求平面图形的面积()解题思路：平面图形面积根据图形的不同类型，选择相应的计算方法来计算。类型 1 直角坐标系下求曲边梯形的面积(),f x xa b 与x轴所围面积|()|baSf xdx=.类型 2 参数方程型曲线求面积（仅数一、数二）若曲线方程为(),()xx tyy t=且当xa=时,;t=当xb=时,t=.则该曲线在,xa b 内与x轴所围面积为()()()()x x tbay x dxy t x t dt =.类型 3 极坐标系下平面图形面积 由曲线()=及射线=,=围成的曲边扇形的面积为21().2Sd =类型 4 两曲线所围图形面积 思路设平面图形由曲线1()yfx=与2()yfx=所围成，则两曲线所围面积计算如下：1.解两曲线的交点(,)AAA xy和(,)BBB xy的坐标.2.分析图形，确定切割方法，以不分块为妙.3.如果选用竖向切割，则12|()()|BAxxSfxfxdx=.如果选用横向切割，需要把曲线中分别解出1()xy=与2()xy=，于是12|()()|BAyySyxydy=.【例【例8.2】曲线322yxxx=+=+与x轴所围成的图形的面积A=_.【例【例8.3】求曲线22yx=在点1,12处法线与曲线所围成图形的面积.【例【例8.4】双纽线22 222()xyxy+=+=所围成的区域面积为_.题型三：求旋转体的体积()二、求旋转体的体积 1.求()f x绕x轴旋转所得的旋转体的体积 由曲线()yf x=，xa=,xb=及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为2()baVfx dx=.推广：由曲线()yf x=，直线xa=,xb=及0yy=所围成的图形绕0yy=旋转一周所得的旋转体的体积为20()baVf xydx=.2.()xy=绕y轴旋转所得的旋转体的体积 由曲线()xy=,直线yc=,yd=及y轴所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为2()dcVy dy=.3.()yf x=绕y轴旋转所得体积 由曲线()yf x=，直线xa=，xb=及x轴所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为2|()|baVxf xdx=.推广：由曲线()yf x=，直线xa=，xb=及x轴所围成的平面图形绕0 xx=轴旋转一周所得旋转体的体积为02|()()|baVxxf xdx=.解题思路：如果要求某区域绕x轴(或某水平线)、y轴(或某铅直线)的体积，则 思路 1如果该区域边界由一条曲线及x轴或y轴构成，则可用相应公式直接计算.思路 2如果该区域边界由两条曲线所围成，则往往采取“大减小”这种间接法，将两条曲线分别代入公式计算再相减.【例【例8.5】设曲线sin0,12yxxy=及0 x=所围平面图形为D.(I)求D绕直线2x=旋转一周所得体积1V;(II)求D绕x轴旋转一周所得体积2V.【例【例8.6】设平面图形D由222xyx+与yx 围成，求图形D绕直线1y=及1x=旋转一周所成的旋转体的体积.题型四：求弧长（仅数学一、二要求）()解题思路求弧长的题目一般比较基础，看清楚曲线类型，代入相应公式计算即可.1.直角坐标系求弧长 设曲线方程为()()yf xaxb=，则弧长为21()basfx dx=+=+.2.参数方程求弧长 设曲线方程()()()xx ttyy t=，则弧长22()()sxtyt dt =+=+.3.极坐标求弧长 设曲线()=()，则弧长为22()()sdt =+=+.【例【例8.7】曲线3223yx=上相应于x从 3 到 8 的一段弧的长度为().(A)383 (B)253 (C)9 (D)6 【例【例8.8】设曲线L由220011ttxuduyudu=+=+=确定，则该曲线对应于01t 的弧长为 .【例【例8.9】求心形线(1cos)ra=+=+的全长，其中0a 是常数 题型五：求旋转曲面的侧面积（仅数学一、二要求）()解题思路曲面侧面积考的较少，一般代入相应公式计算即可.设()(0)f x 在,a b上连续，则由曲线()yf x=()axb绕x轴旋转一周所得旋转体的侧面积为22()1()baSf xfx dx =+=+.【例【例8.10】设有曲线1yx=，过原点作切线，求此曲线切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积