空间几何解析,坐标建系探究——以一道空间几何题为例.pdf

投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 10 月（下旬）试题研究83投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 10 月（下旬）1袁则a=0袁c=原1袁所以平面BCD的法向量为m=渊0袁1袁原1冤.因此袁cos掖n袁m业=12 姨伊2 姨=12.所以二面角A原BD原C的正弦值为1-122=3 姨2.渊3冤解题评析.求点到平面的距离袁以及二面角的正弦值袁属于空间几何中的重难点问题.第渊1冤问求点到平面的距离袁采用的是等体积法袁借助直三棱柱的体积模型袁转换空间视角构建方程解距离.第渊2冤问求二面角的正弦值袁借助野面面垂直+空间向量冶模型袁通过面面垂直确定空间几何特性袁构建空间直角坐标系后用向量公式求解.解后探究空间几何中的角度问题是高考的重难点问题袁命题形式及解题方法具有一定的共性袁可生成相应的解题策略.因此袁探究时要注意透视问题袁总结考点知识袁构建解题思路.下面从问题的知识背景入手进行归纳总结.探究1院两个平面的夹角的定义.平面琢与平面茁的夹角院平面琢与平面茁相交袁形成四个二面角袁我们把这四个二面角中不大于90毅的二面角称为平面琢与平面茁的夹角.探究2院空间角度问题的解法.对于空间几何中的角度问题袁常使用空间向量法求解袁 解题分三步院第一步袁挖掘几何的特征性质袁合理建立空间直角坐标系曰第二步袁结合几何性质袁求关键点的空间坐标袁推导关键向量的坐标曰第三步袁求解直线的方向向量尧平面的法向量袁利用向量公式求二面角.探究3院角度问题的分类及向量求法渊如表1所示冤.建系探究利用空间向量法求解角度问题袁关键是建立空间直角坐标系要要要合理建系可降低运算的难度.空间建系的方法有很多袁常用的是如下四种袁下面结合实例深入探究.1.棱垂直建系例1 在长方体ABCD原A1B1C1D1中袁AB越BC越1袁AA1越3 姨袁则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为_.分析 求异面直线所成角的余弦值袁 属于空间几何中的线线角问题袁可以利用向量法求解.本题以长方体为背景袁显然可从长方体中的有共同顶点的三条相互垂直的棱入手袁建立空间直角坐标系求解.解析 以D为原点袁DA袁DC袁DD1所在直线分别为x轴尧y轴尧z轴袁建立空间直角坐标系袁则D渊0袁0袁0冤袁A渊1袁0袁0冤袁B1渊1袁1袁3 姨冤袁D1渊0袁0袁3 姨冤袁所以AD1越渊原1袁0袁3 姨冤袁DB1越渊1袁1袁3 姨冤.因为cos掖AD1袁DB1业越AD1窑DB1AD1DB1越-1+325 姨越5 姨5袁所以异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为5 姨5.评析 利用棱垂直建系袁有利于后续推导点尧向量的坐标袁可简化解题过程袁降低解题难度.2.线面垂直建系例2 如图3所示袁 在四棱锥P原ABCD中袁PD彝底面ABCD袁CD椅AB袁AD=DC=CB=1袁AB=2袁DP=3 姨.渊1冤证明院BD彝PA曰渊2冤求PD与平面PAB所成角的正弦值.ABCDP图3分析 本题的第渊2冤问属于空间几何中的线面角问题袁关注图中的特性要要要PD彝底面ABCD袁CD椅AB袁建立合理的空间直角坐标系.解析 渊1冤在四边形ABCD中袁作DE彝AB于E袁CF彝AB于F袁如图4所示.ABCDEF图4因 为CD椅AB袁AD=DC=CB=1袁AB=2袁所以四边形ABCD为等腰梯形袁所以AE=BF=12袁故DE=3 姨2袁BD=DE2+BE2 姨=3 姨袁所以AD2+BD2=AB2袁因此AD彝BD.因为PD彝平面ABCD袁BD奂平面ABCD袁所以PD彝BD.又PD疑AD=D袁所以BD彝平面PAD袁而PA奂平面PAD袁所以BD彝PA.渊2冤如图5所示袁以D为原点建立角的分类向量求法范围两条异面直线所成的角设两异面直线l1袁l2所成的角为兹袁 其方向向量分别为u袁v袁则cos兹越cos掖u袁v业=u 窑 vuv.0，2蓡直线与平面所成的角设直线AB与平面琢所成的角为兹袁直线AB的方向向量为u袁平面琢的法向量为n袁则sin兹越cos掖u袁n业越u 窑 nun.蓘0袁仔2蓡两个平面的夹角设平面琢与平面茁的夹角为兹袁平面琢袁茁的法向量分别为n1袁n2袁则cos兹越cos掖n1袁n2业越n1窑 n2n1n2.蓘0袁仔2蓡表1ABCDPzxy图5试题研究84投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 10 月（下旬）试题研究85