投稿邮箱院sxjk@vip.163.com数学教学通讯2023年10月（下旬）<作者简介院贺姣妮（1990—），本科学历，中小学一级教师，从事高中数学教学工作.空间几何解析，坐标建系探究———以一道空间几何题为例贺姣妮江苏省苏州市吴江中学215200咱摘要暂空间几何是高中数学的重点内容袁问题解析对学生的空间几何观有一定的要求.求解时常借助空间向量法袁直接利用向量法对应的问题公式转化求解袁如角度尧距离等问题.文章对一道高考真题进行解法探究袁总结归纳袁并结合实例探究向量法建系的四种情形.［关键词］空间距离曰二面角曰坐标系曰向量法真题探究1.考题再现渊2022年高考全国玉卷第19题冤如图1所示袁直三棱柱ABC原A1B1C1的体积为4袁吟A1BC的面积为22姨.渊1冤求A到平面A1BC的距离曰渊2冤设D为A1C的中点袁AA1=AB袁平面A1BC彝平面ABB1A1袁求二面角A原BD原C的正弦值.A1B1C1DCAB图12.思路分析此为立体几何综合题袁考查立体几何相关知识袁题设两问袁分别求点到平面的距离与二面角的正弦值.渊1冤该问为空间距离问题袁可利用柱与锥的体积关系求得三棱锥的体积袁再由等体积法求点A到平面A1BC的距离.渊2冤该问为空间二面角问题袁可利用空间向量法求解.即以B为原点袁BC袁BA袁BB1所在直线分别为x轴尧y轴尧z轴建立空间直角坐标系袁结合向量法解二面角的思路来构建模型尧转化求解.3.过程解析渊1冤用等体积法构建关于距离的方程.因为直三棱柱ABC原A1B1C1的体积为4袁所以VA1原ABC=13VA1B1C1原ABC=43.设A到平面A1BC的距离为d袁由VA1原ABC=VA原A1BC可得13S吟A1BC窑d=43袁即13窑22姨窑d=43袁解得d=2姨.所以A到平面A1BC的距离为2姨.渊2冤野面面垂直+空间向量冶模型.由直三棱柱ABC原A1B1C1可知袁BB1彝平面ABC.又BB1奂平面ABB1A1袁所以平面ABC彝平面ABB1A1.因为平面A1BC彝平面ABB1A1袁平面ABC疑平面A1BC=BC袁所以BC彝平面ABB1A1袁所以BC彝A1B袁BC彝AB.以B为原点袁BC袁BA袁BB1所在直线分别为x轴尧y轴尧z轴建立如图2所示的空间直角坐标系.A1B1C1DCABzxy图2由于AA1=AB袁因此BC窑2姨AB窑12=22姨.又12AB窑BC窑AA1=4袁解得AB=BC=AA1=2袁则B渊0袁0袁0冤袁A渊0袁2袁0冤袁C渊2袁0袁0冤袁A1渊0袁2袁2冤袁D渊1袁1袁1冤袁故BA=渊0袁2袁0冤袁BD=渊1袁1袁1冤袁BC=渊2袁0袁0冤.设平面ABD的法向量为n=渊x袁y袁z冤袁则n窑BA=2y=0袁n窑BD=x+y+z=0.令x=1袁则y=0袁z=原1袁所以平面ABD的法向量为n=渊1袁0袁原1冤.设平面BCD的法向量为m=渊a袁b袁c冤袁则m窑BC=2a=0袁m窑BD=a+b+c=0.令b=>试题研究83投稿邮...
