克利福德值分数阶细胞神经网络的概自守解.pdf

克利福德值分数阶细胞神经网络的概自守解王瑶路*,李雯雯（河南科技职业大学 公共基础教学部,河南 周口 466000）摘要:研究一类 Clifford 值 Caputo 分数阶细胞神经网络的概自守解的存在性和Mit-tag-Leffler 稳定性.所采用的主要的方法是将复杂的 Clifford 值神经网络转化为高维的实值神经网络来进行研究.其次,根据压缩映射原理,得到了这类神经网络概自守解存在唯一性的充分条件.然后通过构造 Lyapunov 泛函来研究概自守解的 Mittag-Leffler 稳定性存在的条件.最后,用一个具体例子来阐述所得结果的有效性.关键词:克利福德值神经网络;概自守解;压缩映射原理;Mittag-Leffler 稳定性中图分类号:O175.文献标识码:A文章编号:1674-5248（2023）05-0032-07收稿日期:2022-11-25作者简介:王瑶路（1994）,女,河南周口人.助教,硕士,主要从事泛函微分方程的研究.*通讯联系人,e-mail:.第33卷第5期Vol.33 No.5四川文理学院学报Sichuan University of Arts and Science Journal2023年9月Sep.2023引言概自守函数的概念是由 Bochner1引入的,它是概周期函数的重要推广.随着这一概念的引入,越来越多的数学家对其产生了兴趣,并将其应用到了许多领域.2,3在过去的二十年中,分数阶微分方程取得了巨大进展,许多科学家发现分数阶微分方程可以更准确地表示一些物理系统.4许多关于分数微分方程的文章也已经发表,5有关详细信息,可以参见 Podlubny6的著作.许多作者还证明了分数阶微分方程解的存在性和唯一性.3,6Chua和Yang 发明了细胞神经网络.7,8它是一个十分重要的模型,可以描述许多领域的现象,例如信号处理、模式识别、优化、计算机视觉和联想记忆.神经网络问题最重要的研究方向之一是解的存在性和稳定性.近年来,无论是实值还是复值神经网络模型都已经建立起来.9一些四元数值神经网络也得到了广泛的研究.10然而,关于克利福德值神经网络的研究并不多.威廉.克利福德于1878年引入了克利福德代数.其已被广泛应用于神经计算、量子计算、卫星导航、图像处理、机器人技术等各个领域.11Pearson 首先提出了多层 Clifford 神经网络模型.12此后,许多科学家发现 Clifford值的多层神经网络优于实值神经网络.13目前关于Clifford值神经网络的动力学行为的研究,例如周期解、概周期解和概自守解,还比较少.32王瑶路,李雯雯：克利福德值分数阶细胞神经网络的概自守解2023年第5期综上所述,本文研究了 Clifford 值 Caputo 分数阶细胞神经网络的概自守解的存在性和Mittag-Leffler 稳定性.根据压缩映射原理,推出了此类神经网络系统概自守解的存在性和唯一性的充分条件.通过构建 Lyapunov 泛函来研究概自守解的 Mittag-Leffler 稳定性条件.研究的结论也概括了实值、复值和四元值系统的相应结论.文章采用的主要方法是将复杂的 Clifford 值神经网络转化为高维的实值神经网络来进行研究.1准备知识我们首先回顾一下Clifford 代数的定义和性质.14含有m个生成元的集合被称为实数上的克利福德代数,其中,m 个生成元1,2,满足关系式：.,.3,2,1,1,02miejieeeeiijji，为简单起见,当一个元素是多个Clifford 生成元的乘积时,我们将把它的下标写在一起.例如：23=23和3672=3672,则克利福德代数的基为：=1h2h,1 h1 h2 0).函数的阶 Caputo 分数阶导数定义为：+1,+,=1+1?,其中 0,是一个正整数,且满足 1 ,是经典的伽马函数,其定义为：=01?.本文研究了以下分数阶细胞神经网络:,),()(,),()()()()(000010tttutxtttItxftktxdtxDiiinjjjijiiitCt(2.1)其中1 ,0 0 =1,2,=,=1,2,=11,22,.定义2.1.2函数 ,被称为概自守函数,如果对每一个实数列,都存在一个子数列使得：:=:=:=lim +,是良定义且：lim =,.,表示此类函数组成的集合.,是巴拿赫空间,其上确界范数为：=sup .定义 2.2.函数=1,2,:被称为概自守函数，如果每个=?,:,.定义 2.3.(Mittag-Leffler 函数5)双参数 Mittag-leffler 函数定义为：,=0+?,其中 0,0,.当=1,其单参数形式为：=0+?=,1.特别地,=1,1,1=.定义 2.4.15如果,0,0是系统(2.2)的一个解，则解 被称为 Mittag-Leffler 稳定的,如果：0 0 0,0.其中 =,0,0是系统(2.2)的一个任意解,0,0,0=0,0,且 在 上满足局部的 Lipschitz 条件,Lipschitz 常数为0.注 2.1.Mittag-Leffler 稳定性意味着渐进稳定性，即 0当+.引理 2.1.15分数阶系统：0 =,0,0=0,=0,其中 0,1,=1,2,3,:0,+在 t 上连续,被称为在平衡点?=0是 Mittag-Leffler 稳定的,如果存在一个连续函数,满足：1 ,2 ,0+,+3 (几乎处处成立),其中,:0,在 x 上满足局部的 Lipschitz 条件,是分段连续函数,lim+,对任意的 0,都存在;是包含原点的区域,+,+:=:=:=lim+,;0,0,1,1,2,3,均是任意的正常数.引理 2.2.15如果h 10,+,表示一个连续可微的函数，则下列不等式几乎处处成立：0h+sgn h 0h ,0 0，且 是系统(3.2)的有界温和解，根据系统(3.3)，令0 可得：=1?+?.(3.4)则(3.4)是系统(3.2)的温和解.接下来,我们做一些假设:1对于1 ,是连续函数,存在常数 0使得：.2对所有的1 ,和是概自守函数.注 3.2.根据1,对所有的=12?,=12?,可得：1,2,2 1,2,2=12?.定理 3.1.假设1和2成立.进一步假设3 1,成立,其中：=2?+,?+=sup?,=max1,=min1，则系统(3.2)有唯一的概自守解.证明：定义一个算子：:,2 ,2=1?+?,王瑶路,李雯雯：克利福德值分数阶细胞神经网络的概自守解2023年第5期 35,2.第一步,证明 F 是一个自映射.由于 ,2和?是 Lipschitz 连续，则?,2.根据2,我们得出?,22以及?,2.因此h =?+?,2.综上，对每一个序列,都存在一个子序列 使得=lim +,=lim ，我 们 定 义:=1?.可 得:+=|+1?+1?|1?+1?=1?+=1?0?h +h 1?0?h +h=0?1 h +h0+0+?1h?+=0?0?1?+=0?+?1=1?+,其中h?=suph ,h=suph.根据勒贝格控制收敛定理,可得lim+=.同理,可得lim =,这意味着 ,2.第二步,证明 F 是一个压缩映射.对任意的,2,=1?2?+1?12?+=.由于 0,其中+=,=1,2,=1,2,.证 明：根 据 定 理 3.1 可 知 系 统(3.1)有 唯 一 的 概 自 守 解.设 =10,20,0,11,21,1,112,212,12 是 系 统(3.1)的 任 意 解.我 们 定 义:=10,20,0,11,21,1,112,212,12,其中=,1 ,.根据系统(3.1),可得0=+=1?1,2,2?1,2,2=1,2,.接下来,将证明系统(3.1)的唯一概自守解 是 Mittag-Leffler 稳定的.考虑下面的 Lyapunov 泛函:,=1?.显然,V 满足定理 2.1 的第一个条件.根据1,2和引理 2.2 可知,下列不等式几乎处处成立:0+,+=0=1+?=10?+=1sgn?0=1sgn?+=1?1,2,2 1,2,2=1+?=1?=12?=1?+=1=1?=12?=12=1?+4=1=1+?=12?=1?=12?+=14=1+?=12?=1+?4=1+?=12?=1 4=1+?=12?.2023年第5期王瑶路,李雯雯：克利福德值分数阶细胞神经网络的概自守解,2.第一步,证明 F 是一个自映射.由于 ,2和?是 Lipschitz 连续，则?,2.根据2,我们得出?,22以及?,2.因此h =?+?,2.综上，对每一个序列,都存在一个子序列 使得=lim +,=lim ，我 们 定 义:=1?.可 得:+=|+1?+1?|1?+1?=1?+=1?0?h +h 1?0?h +h=0?1 h +h0+0+?1h?+=0?0?1?+=0?+?1=1?+,其中h?=suph ,h=suph.根据勒贝格控制收敛定理,可得lim+=.同理,可得lim =,这意味着 ,2.第二步,证明 F 是一个压缩映射.对任意的,2,=1?2?+1?12?+=.由于 0,其中+=,=1,2,=1,2,.证 明：根 据 定 理 3.1 可 知 系 统(3.1)有 唯 一 的 概 自 守 解.设 =10,20,0,11,21,1,112,212,12 是 系 统(3.1)的 任 意 解.我 们 定 义:=10,20,0,11,21,1,112,212,12,其中=,1 ,.根据系统(3.1),可得0=+=1?1,2,2?1,2,2=1,2,.接下来,将证明系统(3.1)的唯一概自守解 是 Mittag-Leffler 稳定的.考虑下面的 Lyapunov 泛函:,=1?.显然,V 满足定理 2.1 的第一个条件.根据1,2和引理 2.2 可知,下列不等式几乎处处成立:0+,+=0=1+?=10?+=1sgn?0=1sgn?+=1?1,2,2 1,2,2=1+?=1?=12?=1?+=1=1?=12?=12=1?+4=1=1+?=12?=1?=12?+=14=1+?=12?=1+?4=1+?=12?=1 4=1+?=12?.,2.第一步,证明 F 是一个自映射.由于 ,2和?是 Lipschitz 连续，则?,2.根据2,我们得出?,22以及?,2.因此h =?+?,2.综上，对每一个序列,都存在一个子序列 使得=lim +,=lim ，我 们 定 义:=1?.可 得:+=|+1?+1?|1?+1?=1?+=1?0?h +h 1?0?h +h=0?1 h +h0+0+?1h?+=0?0?1?+=0?+?1=1?+,其中h?=suph ,h=suph.根据勒贝格控制收敛定理,可得lim+=.同理,可得lim =,这意味着 ,2.第二步,证明 F 是一个压缩映射.对任意的,2,=1?2?+1?12?+=.由于 0,其中+=,=1,2,=1,2,.证 明：根 据 定 理 3.1 可 知 系 统(3.1)有 唯 一 的 概 自 守 解.设 =10,20,0,11,21,1,112,212,12 是 系 统(3.1)的 任 意 解.我 们 定 义:=10,20,0,11,21,1,112,212,12,其中=,1 ,.根据系统(3.1),可得0=+=1?1,2,2?1,2,2=1,2,.接下来,将证明系统(3.1)的唯一概自守解 是 Mittag-Leffler 稳定的.考虑下面的 Lyapunov 泛函:,=1?.显然,V 满足定理 2.1 的第一个条件.根据1,2和引理 2.2 可知,下列不等式几乎处处成立:0+,+=0=1+?=10?+=1sgn?0=1sgn?+=1?1,2,2 1,2,2=1+?=1?=12?=1?+=1=1?=12?=12=1?+4=1=1+?=12?=1?=12?+=14=1+?=12?=1+?4=1+?=12?=1 4=1+?=12?.36,2.第一步,证明 F 是一个自映射.由于 ,2和?是 Lipschitz 连续，则?,2.根据2,我们得出?,22以及?,2.因此h =?+?,2.综上，对每一个序列,都存在一个子序列 使得=lim +,=lim ，我 们 定 义:=1?.可 得:+=|+1?+1?|1?+1?=1?+=1?0?h +h 1?0?h +h=0?1 h +h0+0+?1h?+=0?0?1?+=0?+?1=1?+,其中h?=suph ,h=suph.根据勒贝格控制收敛定理,可得lim+=.同理,可得lim =,这意味着 ,2.第二步,证明 F 是一个压缩映射.对任意的,2,=1?2?+1?12?+=.由于 0,其中+=,=1,2,=1,2,.证 明：根 据 定 理 3.1 可 知 系 统(3.1)有 唯 一 的 概 自 守 解.设 =10,20,0,11,21,1,112,212,12 是 系 统(3.1)的 任 意 解.我 们 定 义:=10,20,0,11,21,1,112,212,12,其中=,1 ,.根据系统(3.1),可得0=+=1?1,2,2?1,2,2=1,2,.接下来,将证明系统(3.1)的唯一概自守解 是 Mittag-Leffler 稳定的.考虑下面的 Lyapunov 泛函:,=1?.显然,V 满足定理 2.1 的第一个条件.根据1,2和引理 2.2 可知,下列不等式几乎处处成立:0+,+=0=1+?=10?+=1sgn?0=1sgn?+=1?1,2,2 1,2,2=1+?=1?=12?=1?+=1=1?=12?=12=1?+4=1=1+?=12?=1?=12?+=14=1+?=12?=1+?4=1+?=12?=1 4=1+?=12?.因此，引理 2.1 的所有条件都满足.综上,系统(3.1)的唯一概自守解是 Mittag-Leffler 稳定的.证明完毕.3例子下面给出一个分数阶细胞神经网络的例子来验证所得的结论.例 4.1.考虑一个双神经元的 Clifford 值神经网络0 =+,0,0=0,其中=2,=6007,=cos0+sin1+sin3 2+cos 2+sin 3 12,=0.5sin 2+sin 311+0.3cos 32+0.6120.05 0.25cos+0.25cos 3 2+121+21+0.05 sin+sin 2 12,=1400+1 0 1+1402+1 21 2+14012+1 12 1 12.根据上述定义可得：0=0.5sin 210.051,1=sin 3002,2=00.3cos 30.25cos 0.25cos 30,12=00.610.05 sin+sin 2?=012121111211222122212121211221212=0 1 2 1210 1222120 112 210.易得不等式：120 ,=21?+4 16 5 120=16 6 16 1.5+1.55 0.05=3.56 0,2 4=122+?7 16 1.9+3.1 0.05=3 0.因此,定理 3.2 的所有条件都满足了.由此可得,系统(4.1)有唯一的概自守解，且它是Mittag-Leffler 稳定的.参考文献：1 S Bochner.Uniform convergence of monotone sequences of functions J .these Proceedings,1961（46）:582-585.2 D Araya,C Lizama.Almost automorphic mild solutions to fractional differential equations J .Nonlinear Anal,2008（69）:3692-3705.3 C Cuevas,C Lizama.Almost automorphic solutions to a class of semilinear fractional differential equations J .Appl.Math.Lett.,2008（21）:1315-1319.4 N Heymans,I Podlubny.Physical interpretation of initial conditions for fractional differential equations with Rie-mann-Liouville fractional derivatives J .Rheol.Acta,2006（5）:765-771.5 古传运,胡攀.非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在唯一性 J .四川文理学院学报,2014（2）:024.6 I Podlubny.Fractional differential equations,Academic Press M .London:Academic Press,1999:121-137.7 LO Chua,L Yang.Cellular neural networks:theory J .IEEE Trans Circuits Syst,1988（35）:1257-1272.8 LO Chua,L.Yang.Cellular neural networks:applications J .IEEE Trans Circuits Syst.,1988（35）:1273-1290.9 J Hu,J Wang.Global stability of complex-valued recurrent neural networks with time-delays J .IEEE Trans.Neural Netw.Learn.Syst.,2012（6）:853-865.王瑶路,李雯雯：克利福德值分数阶细胞神经网络的概自守解2023年第5期,2.第一步,证明 F 是一个自映射.由于 ,2和?是 Lipschitz 连续，则?,2.根据2,我们得出?,22以及?,2.因此h =?+?,2.综上，对每一个序列,都存在一个子序列 使得=lim +,=lim ，我 们 定 义:=1?.可 得:+=|+1?+1?|1?+1?=1?+=1?0?h +h 1?0?h +h=0?1 h +h0+0+?1h?+=0?0?1?+=0?+?1=1?+,其中h?=suph ,h=suph.根据勒贝格控制收敛定理,可得lim+=.同理,可得lim =,这意味着 ,2.第二步,证明 F 是一个压缩映射.对任意的,2,=1?2?+1?12?+=.由于 0,其中+=,=1,2,=1,2,.证 明：根 据 定 理 3.1 可 知 系 统(3.1)有 唯 一 的 概 自 守 解.设 =10,20,0,11,21,1,112,212,12 是 系 统(3.1)的 任 意 解.我 们 定 义:=10,20,0,11,21,1,112,212,12,其中=,1 ,.根据系统(3.1),可得0=+=1?1,2,2?1,2,2=1,2,.接下来,将证明系统(3.1)的唯一概自守解 是 Mittag-Leffler 稳定的.考虑下面的 Lyapunov 泛函:,=1?.显然,V 满足定理 2.1 的第一个条件.根据1,2和引理 2.2 可知,下列不等式几乎处处成立:0+,+=0=1+?=10?+=1sgn?0=1sgn?+=1?1,2,2 1,2,2=1+?=1?=12?=1?+=1=1?=12?=12=1?+4=1=1+?=12?=1?=12?+=14=1+?=12?=1+?4=1+?=12?=1 4=1+?=12?.37 10 T Isokawa,T Kusakabe,N Matsui,et al.Quaternion neural network and its application,In:Knowledge-Based Intel-ligent Information and Engineering Systems J .Springer,2003:318-324.11 E Hitzer,T Nitta,Y Kuroe.Applications of Clifford s geomeric algebra J .Adv.Appl.Clifford Algebras,2013（2）:377-404.12 J Pearson,D Bisset.Back propagation in a Clifford algebra J .Artif.Neural Netw.,1992（2）:413-416.13 S Buchholz,G Sommer.On Clifford neurons and Clifford multi-layer perceptrons J .Neural Netw,2008（7）:925-935.14 Y Liu,P Xu,JQ Lu,et al.Global stability of Clifford-valued recurrent neural networks with time delays J .Non-linear Dyn,2016（84）:767-777.15 S Zhang,Y Yu,H Wang.Mittag-Leffler stability of fractional-order Hopfied neural networks J .Nonlinear Anal,2015（16）:104-121.16 Y Zhou,F Jiao.Existence of mild solutions for fractional neutral evolution equations J .Comp.Math.Appl.,2010（59）:1063-1077.责任编辑加晓昕Almost Automorphic Solutions of Clifford-valued Fractional-orderCellularNeural NetworksWANG Yaolu*,LI Wenwen(Department of Public Basic Education of Henan Vocational University of Science and Technology,Zhoukou Henan 466000,China)Abstract:The existence and Mittag-Leffler stability of Almost automorphic solutions for a class of Clifford-valuedCaputo fractional cellular neural networks were studied.The main method used was to convert complex Clifford-valuedneural networks into high-dimensional real-valued neural networks for research.Secondly,according to Contraction map-ping principle,the sufficient conditions for the existence and uniqueness of the almost automorphic solution of this kind ofneural network were obtained.Then,the conditions for the existence of Mittag-Leffler stability of the almost automorphicsolution were studied by constructing Lyapunov functionals.Finally,a specific example was used to illustrate the validity ofthe results.Key words:Clifford-valued neural networks;almost automorphic solutions;contraction mapping principle;Mittag-Leffler stability.2023年第5期王瑶路,李雯雯：克利福德值分数阶细胞神经网络的概自守解 38